专题15 圆锥曲线的离心率（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 4
【热考点一】顶角为直角焦点三角形与离心率的取值范围 4
【热考点二】焦点三角形顶角范围与离心率 5
【热考点三】共焦点的椭圆与双曲线离心率 6
【热考点四】椭圆与双曲线的通径与离心率 7
【热考点五】椭圆与双曲线的等腰三角形问题 8
【热考点六】双曲线的底边等腰三角形 9
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
7．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
10．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
11．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【热考点一】顶角为直角焦点三角形与离心率的取值范围
【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【热考点二】焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，
若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法：
①当时，使为直角三角形的点有且只有4个；
②当时，使为直角三角形的点有且只有6个；
③当时，使为直角三角形的点有且只有8个；
以上说法中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【热考点三】共焦点的椭圆与双曲线离心率
【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【热考点四】椭圆与双曲线的通径与离心率
【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【热考点五】椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例5-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【变式5-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【热考点六】双曲线的底边等腰三角形
【典例6-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】设双曲线的左 右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．专题15 圆锥曲线的离心率（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 13
【热考点一】顶角为直角焦点三角形与离心率的取值范围 13
【热考点二】焦点三角形顶角范围与离心率 18
【热考点三】共焦点的椭圆与双曲线离心率 22
【热考点四】椭圆与双曲线的通径与离心率 27
【热考点五】椭圆与双曲线的等腰三角形问题 32
【热考点六】双曲线的底边等腰三角形 37
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
7．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
10．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
11．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C A B A AC
1．C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
2．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
3．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
4．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
5．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
6．
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
7．
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
8．/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
9．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
10．
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
11．2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
【热考点一】顶角为直角焦点三角形与离心率的取值范围
【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为，
因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，
所以，
在中，，
根据椭圆定义可知：，
所以，
所以，，所以，
所以离心率为
故选：B．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的左焦点为，设，
则根据题意得，
则双曲线的离心率为
，
令，
易知在单调递增，
且，
则，即.
故选：C.
【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，则，
因为双曲线左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，，
所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以双曲线的离心率的范围为，
故选：D
1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，
因为，则四边形为矩形，
所以，
则，．
．
．
即，
则，
因为，则，
可得，即，
所以，
即双曲线离心率的取值范围是，
故选：C．
【热考点二】焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，
若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，
故选：C．
【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
【答案】B
【解析】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
因为为短轴一端点，令，长度的最大值为，
椭圆，
所以说明椭圆与圆有且仅有下顶点这唯一交点，
设 ，
所以 ，即
所以 ，
因为，
所以带入中得：
，
因为 ，
所以，
所以，
所以，
因为，
当 带入得：
所以，
所以，
所以即 ，
当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点有2个，
当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点有0个，
所以使为直角三角形的点共有4个或6个，
故选：B.
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上，
由此可得该圆的半径，，即，
，.
故选：A.
【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法：
①当时，使为直角三角形的点有且只有4个；
②当时，使为直角三角形的点有且只有6个；
③当时，使为直角三角形的点有且只有8个；
以上说法中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当时，使为直角三角形的点有且只有4个，分别为横坐标为的四个点；
当时，使为直角三角形的点有且只有6个，分别为横坐标为的四个点及短轴两个顶点；
当时，使为直角三角形的点有且只有8个，分别为横坐标为的四个点及为直角的四个点
1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当轴时，有两个点满足为直角三角形；
当轴时，有两个点满足为直角三角形.
使为直角三角形的点有且只有4个，
以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，，
，又，解得.
故选：A.
【热考点三】共焦点的椭圆与双曲线离心率
【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点在第一象限，由题知，
解得，，
在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
所以，
令，因为，所以，
则，
由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增，
所以．
故选：C
【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设，设双曲线的实轴长为，
双曲线与椭圆在一象限的交点为，
设，则，
故，
由，得，
即；
动点在直线上运动，设l与x轴交点为E，设，
在中，，
在中，，
由题意知为锐角，且,
即，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为，而当与相等时，取得最大值，
可知，即，结合，
得，则，
故双曲线的离心率，
故选：C
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
故焦点坐标为、，
则椭圆的离心率为，
由，，则，
过点作于点，由为中点，
故，，
由，故，
则，，
由双曲线定义可知，，
故，则离心率为，
故与的离心率之和为.
故选：B.
【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的上顶点为M，且，
所以，
所以，所以，
设双曲线的方程为，
假设点在第一象限，则
，得，
在中，由余弦定理得
，即，
整理得，
所以，则，
，所以，
所以，
故选：D
【热考点四】椭圆与双曲线的通径与离心率
【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
，
因为，
故，整理可得，故该双曲线的离心率为.
故选：B.
【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，
若，
由双曲线的定义，可得，
，则，
所以，
故为等边三角形，则，
在中，，，，
由余弦定理，可得
，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题，，又，，．
，直线MN过点，
，，
，．
在中，
．
设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为，
在中，
，
，，．
，，，，
椭圆C的方程为.
故选：B．
【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过原点的直线交椭圆于，两点，被平分，
又被平分，四边形是平行四边形，
又，四边形是矩形，
，
由对称性可得，设，，
，，
，
．
故选：B．
【热考点五】椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例5-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
【典例5-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
同角余弦定理使用两次
【变式5-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，
在和中利用余弦定理可得
即
化简可得
同除得：解得或（舍去）
故选：
【变式5-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设则，，由双曲线的定义可得，，在和中，利用余弦定理求出，进而求出双曲线的标准方程.如图，设则，，
由双曲线的定义可得，
在和中，由余弦定理得
又互补，，
两式消去，可得，
所以，，
所以双曲线的标准方程可得.
故选：B
1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
【热考点六】双曲线的底边等腰三角形
【典例6-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【典例6-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．
当或者时，令,则一定存在①，②
【变式6-1】设双曲线的左 右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，如图：
设M，N的中点为P，连接 ，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有 ， ；
直线l的方程为 ，令 ，
，由双曲线的性质可得 ，
解得 ，
在 中， ，在 中， ，
解得 ，由于 ， ，
解得 ；
故选：D.
