专题13 立体几何综合解答题（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 8
【热考考点】 35
【热考点一】“含圆”结构模型 35
【热考点二】立体几何探索性问题 42
【热考点三】立体几何折叠问题 48
【热考点四】立体几何补图问题 56
【热考点五】不常见建系问题 62
【热考点六】通过找几何关系建系 70
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a α，b α，a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
3.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
5.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
6.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
7.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
8.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
9.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
10.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
11.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
12.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
13.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，
则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
14.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
15.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
16.点P到直线l的距离
设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
17.点P到平面α的距离
若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示.
6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
9．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
11．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
12．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【详解】（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
2．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；
（2）先证明平面，结合等体积法即可求解.
【详解】（1）由题意得，，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，，因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，所以，故.
又平面，所以平面，
易知.
在中，，
所以.
设点到平面的距离为，由，
得，得，
故点到平面的距离为.
3．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；
（2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
（2）如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，令，得，即，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.
4．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
【详解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）连接，由，则，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，
所以，
所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
【点睛】
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出．
【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即．
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）过作垂直的延长线交于点，
因为是中点，所以，
在中，，
所以，
因为，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
又，
所以.
9．(1)证明见解析.
(2)
【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；
(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.
【详解】（1）证明：因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
（2）如图，
过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的高为.
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，,
又因为,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.
【详解】（1）如图，
底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距离为1，，
在中，，
设，则，
为直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
（2），
，
过B作，交于D，则为中点，
由直线与距离为2，所以
，，，
在，，
延长，使，连接，
由知四边形为平行四边形，
，平面，又平面，
则在中，，，
在中，，，
,
又到平面距离也为1，
所以与平面所成角的正弦值为.
11．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
（3）法一：过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.
法二：平面的法向量为，
平面的法向量为，
所以，
因为，所以，
故二面角的正弦值为.
12．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【详解】（1）
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]
过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
13．(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
14．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；
（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
【热考点一】“含圆”结构模型
【典例1-1】如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆心，，是底面圆的两条直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)若为的中点，求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：因为，为的中点，
所以，
又，且，平面，平面,
所以平面．
又平面，所以．
（2）由题意，在中，，所以，所以，
又为的中点，所以，.
设，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则
设平面的一个法向量为，
则，取，则．
因此，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【典例1-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）取中点，连结，
∵，，，，
∴，，∴为平行四边形，
∴，又面，面，
所以面.
（2）法一：过作于点，易知圆台底面，
∵，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，
∴，，又，∴，，
又，则，所以，
又由，可得，，
取中点，连结，，所以，
则为二面角的平面角，
又易知，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为
法二：如图，以为坐标原点，和垂直的直线为轴，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，
由法一知，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
若以，，为，，轴建立坐标系，
则，
所以，，，
同理可求得平面的法向量为；
平面的法向量为，
则.
关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．
【变式1-1】（2022·安徽黄山·二模）如图，侧面水平放置的正三棱台，，且侧棱长为.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）延长三条侧棱交于一点O.
因为，所以为的中位线，
因为侧棱长为，所以.
所以，于是
同理可得
因为是平面内两条相交直线.
所以，即平面；
（2）由（1）可知两两垂直，所以可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
则.
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
即平面的一个法向量为
取平面的一个法向量为，
所以，
由于二面角为钝角，则其余弦值为.
1．如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，：
(1)证明：；
(2)已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值．
【解析】（1）连接，因为弧是半径为a的半圆，
为直径，点E为弧的中点，所以，
在中，，
在中，，且点C是底边的中点，
所以，，
所以在中，有，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，而平面，所以.
（2）在平面内，过点C作交弧于G，
以点C为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
设，因为即，
所以，
则，，
，
所以当时，取得最小值，此时，
设，则，
由得，则，
则，，
设平面的法向量为，则，，
所以，令则，
所以，又由（1）知，平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面所成二面角的大小为，则，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
【热考点二】立体几何探索性问题
【典例2-1】如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，
则，
又平面，平面，
则有，
而，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）在平面内过点作交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则点即为所要找的点，
如下图所示，因为，，
所以与相似，
因此，
即有，于是，，所以.
【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知，平面平面，则，为中点，
又，，
，则．
过作平行线， 如图以此平行线所在直线为轴，，为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面法向量为，则，
则，
取，则直线与平面所成角的正弦值为；
（2）不存在
，，
所以，
设平面法向量为，
则， 则，令，则，
取，平面法向量为．
因为二面角为直二面角，，解得，
又因为，不符题意．
所以在线段上不存在一点，使得二面角为直二面角.
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
(1)求证：面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，,
,
，且平面平面
（2）由（1）得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）得，,．
设平面的法向量，
由得，，
令，则，
设，
．
整理得，，解得或存在点或．
1．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则，
则，，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面；
（2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直，
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，
设，则，
，
，
整理可得：，解得：，
存在满足题意的点，此时.
【热考点三】立体几何折叠问题
【典例3-1】如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长.
【解析】（1）
取中点，连接.
∵，∴，由折叠得.
∵平面，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵，
∴.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，取.
由题意得，平面的法向量为，
∴，
由图可得二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为.
（3）连接.
设，则.
∵翻折后与重合，∴，
由（2）得，，，
∴，解得，即.
【典例3-2】如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥.
(1)证明：；
(2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值.
【解析】（1）在菱形中，由，得△是等边三角形，由是的中点，得，
在四棱锥中，由，,平面，
得平面，而平面，
所以.
（2）菱形的边长为是的中点，，，
由（1）知平面，
以为坐标原点，以为轴正方向，为轴负方向建立空间直角坐标系（如图）
则，设，，
由，，得，解得，即，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的正弦值.
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【变式3-1】在平面四边形中，，，，将沿翻折至，得到如图所示的三棱锥．
(1)证明：；
(2)当三棱锥的体积为12时，求二面角的余弦值．
【解析】（1）如图①，取的中点，连接，
因为，所以，
因为，所以，所以．
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）过点作平面，垂足为，连接，
因为，，
所以，，
因为三棱锥的体积为12，
所以
，
解得，
因为，所以，
则，．
解法一：如图①，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，
过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
①
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
则平面的一个法向量为，
则，
由图知二面角为钝二面角，
故二面角的余弦值为．
解法二：如图②，易知，
则过分别作的垂线，垂足为，
则即为二面角的平面角，且，
因为平面，且平面，
所以，结合（1）中，
又，所以平面，
因为平面，所以，
所以，
在中，，
在中，由余弦定理得，
则，
由等面积法得，
解得，
则，
则在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值为．
②
1．如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.
(1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；
(2)若，①证明：平面平面；
②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离.
【解析】（1）取PA中点G，连FG，EG，
因为分别为的中点，则∥，且，
由题意可知：∥，且，
则∥，且，可知四边形CFGE为平行四边形，
则∥，且平面，平面，
所以∥平面.
（2）①在四边形中，连接，
由题意可知：是以边长为2的等边三角形，则，
且，则，
可知，即，且，
若，且，则，可知，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面；
②取中点，中点，连，
则，∥，可得，
因为为等边三角形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平行四边形的高即为等边的高，
设点到平面的距离为，
若，则，解得，
即，可知为中点，
以为原点，OA，OH，别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离.
【热考点四】立体几何补图问题
【典例4-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．
(1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
(2)若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小．
【解析】（1）不能．
在梯形ABCD中，，，，则AD不平行于BC，
直线AD与BC必相交于一点，而平面，则直线与平面有公共点
又平面，因此直线与平面相交，
所以在侧面PBC中不能作AD的平行线.
（2）过点B作于H，连接PH，
由平面ABCD，平面ABCD，得，而平面PCD，
则平面PCD，即PH是BP在平面PCD内的射影，是直线BP与平面PCD所成角，
在中，，，则是等边三角形，，，
又，则，即，
在中，，，又四棱锥的体积是，
即，解得，
在中，，因此，
所以直线BP与平面PCD所成角大小是.
【典例4-2】（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．
【解析】（1）连接，则为的中点，
因为为的中点，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）如图，过作直线与平行，
则，故共面．
延长与交于点，连接，与的交点即为点．
因为底面是正方形，是的中点，
所以，且，
因为是的中点，所以，
则，所以．
（1）利用公理和定理作截面图
（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线
（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线
【变式4-1】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥中，平面与直线和直线平行，点为的中点，点在上，且.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求作过作四棱锥的截面，使与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【解析】（1）∵平面，平面，平面平面，∴
∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∵平面，平面，平面平面，∴
∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）
如图，延长，与交于点，过点作直线,则直线为平面和平面的交线，延长，交于点，连接，与交于点，连接.∵点为的中点，点为的中点,∴是的一条中位线∴，又∵平面,平面,∴截面.
故平面即为所求截面.
1．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.
(1)求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），，
∵，∴，
∴，
延长，，设的延长线和的延长线交点为，连接，
则平面和平面的交线为直线.
（2）取的中点，连接，
∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
，，解得.
以点为坐标原点，以直线，分别为，轴，
以过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，
∴，，，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
设平面的法向量为，
则，即
令，可得，
平面与平面夹角的余弦值为
∴，
整理得，解得：或，
即在直线上存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，
此时或，
则或.
【热考点五】不常建系问题
【典例5-1】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
（1）证明：平面；
（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为侧面是矩形，分别为的中点，所以，，从而，
又是正三角形，是中点，所以，
因为，平面，所以平面，
平面，平面，平面平面，所以，而，所以，所以平面，平面，
所以平面；
（2），连接，
平面，平面平面，平面，所以，又由三棱柱的性质得，所以是平行四边形，所以，
是的中心，则，所以，
所以，
设，则，，
由三棱柱性质知四边形是等腰梯形，如图，，作于，则，又，
所以，．
由（1）知是平面的一个法向量，而是与的夹角，
所以直线与平面所成角的正弦值等于．
【典例5-2】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）证明：
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交.
如图所示，设，连结，则即为.
∵平面，平面，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，.
∴即为二面角的一个平面角.
在中，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的大小为.
利用传统方法解决
【变式5-1】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）；
(3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【解析】（1）因为平面，平面平面，平面，
所以，同理，则.
由三棱柱可知，平面平面，
又平面平面，且平面平面，
所以，所以四边形是平行四边形.
由，平面，平面，
所以平面， 又平面，，
又平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，且平面平面，
所以.
过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为，
作，垂足为，连接，
所以平面，，同理，，.
因为平面，平面，，
所以平面，平面，
则，同理.
在与中，为公共边，且，
故与全等，故，
在与中，，又为公共边，
则与全等，则，
所以即为的角平分线，
又为等边三角形，故，又，
因为平面，平面，，
所以平面，平面，
所以，又，，
所以有，故四边形为矩形.
（2）由为等边三角形，且边长为，则，
在中，；在中，；
在中，；
所以，
即，则，
则三棱锥的高，
.
（3）由（1）知，，则，
所以在中，，
过作平面，垂足为，
则三棱柱的高也即，由（2）知，
故即为直线与平面所成角，
则，
由，则.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
1．四面体，．
(1)求的面积；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求四面体的外接球半径．
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理可得，，，
所以，，
，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以；
（2）过作平面于，过作于，过作于，
连接，
因为平面，所以，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，同理可得，
又因为，，所以，所以，
所以，所以是的平分线，
因为，所以，进而在中，可得，
所以，
因为，所以三角形是直角三角形，
设点到平面的距离为，因为，
所以，所以，
所以OC与平面ABC所成角的正弦值为；
（3）三角形是直角三角形，则设三角形斜边的中点为，连接，
过作平面，因为四面体的外心在直线上，设球心为，
在中，因为，所以，
由余弦定理可得，
所以，设，
所以，，
因为，所以，整理得，
解得，所以外接球的半径为.
【热考点六】通过找几何关系建系
【典例6-1】（24-25高三上·河北衡水·期中）如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为，的中点，且平面平面.
(1)证明：；
(2)若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）
连接交于点，连接交于点，过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为分别为的中点，
所以，，
因为四边形为正方形，
所以，为中点，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为为中点，
所以.
（2）设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
由（1）可知，点在平面内，设，
由，
得，即，
所以当时，四棱锥的体积最大，此时，
则，，，,，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【典例6-2】四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；
(1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．
【解析】（1）因为底面为等腰梯形，，
所以，，，所以.
所以，
又，平面，且，所以平面.
又平面，所以平面平面.
取中点，因为是等边三角形，所以，
平面平面，
所以平面.
再取中点，连接，则，所以.
所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，，..
设，可得
所以，取平面的法向量.
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或（舍去）.
所以：线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
（2）当平面平面时, 与平面所成角为.
当平面与平面不垂直时，过做平面，连接，
则为与平面所成角，因为，
，，，所以.
故当平面平面时，与平面所成角最大.
此时，设棱锥的外接球球心为，,
所以，解得.
所以三棱锥的外接球的体积为：.
利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系．
【变式7-1】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且.
(1)求证：直线平面；
(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
【解析】（1）设，连接，
为底面圆的内接正三角形，，为中点，
，
又.
，且.
平面平面，，
平面平面，平面.
（2）为中点，
又，为中点，，，
，则，
以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设.
设平面的法向量，
则令，解得，
设直线与平面所成夹角为，
，
令，则，
，
当，即时，，
，
此时，
点到平面的距离.
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
(1)证明：平面；
(2)当为何值时，的长最小并求出最小值；
(3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2），其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.专题13 立体几何综合解答题（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 8
【热考考点】 13
【热考点一】“含圆”结构模型 13
【热考点二】立体几何探索性问题 15
【热考点三】立体几何折叠问题 16
【热考点四】立体几何补图问题 18
【热考点五】不常见建系问题 20
【热考点六】通过找几何关系建系 22
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a α，b α，a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
3.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
5.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
6.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
7.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
8.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
9.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
10.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
11.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
12.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
13.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，
则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
14.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
15.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
16.点P到直线l的距离
设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
17.点P到平面α的距离
若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示.
6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
9．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
11．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
12．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【热考点一】“含圆”结构模型
【典例1-1】如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆心，，是底面圆的两条直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)若为的中点，求二面角的余弦值．
【典例1-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【变式1-1】（2022·安徽黄山·二模）如图，侧面水平放置的正三棱台，，且侧棱长为.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
1．如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，：
(1)证明：；
(2)已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值．
【热考点二】立体几何探索性问题
【典例2-1】如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
(1)求证：面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【热考点三】立体几何折叠问题
【典例3-1】如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长.
【典例3-2】如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥.
(1)证明：；
(2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值.
【变式3-1】在平面四边形中，，，，将沿翻折至，得到如图所示的三棱锥．
(1)证明：；
(2)当三棱锥的体积为12时，求二面角的余弦值．
1．如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.
(1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；
(2)若，①证明：平面平面；
②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离.
【热考点四】立体几何补图问题
【典例4-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．
(1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
(2)若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小．
【典例4-2】（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．
【变式4-1】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥中，平面与直线和直线平行，点为的中点，点在上，且.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求作过作四棱锥的截面，使与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
1．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.
(1)求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
【热考点五】不常建系问题
【典例5-1】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
（1）证明：平面；
（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【典例5-2】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
【变式5-1】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）；
(3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
1．四面体，．
(1)求的面积；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求四面体的外接球半径．
【热考点六】通过找几何关系建系
【典例6-1】（24-25高三上·河北衡水·期中）如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为，的中点，且平面平面.
(1)证明：；
(2)若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【典例6-2】四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；
(1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．
【变式7-1】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且.
(1)求证：直线平面；
(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
(1)证明：平面；
(2)当为何值时，的长最小并求出最小值；
(3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
