8.三元一次方程组——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024七下·白云期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
2．（2023七上·顺德月考）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
4．（2024七下·潮南月考）已知方程组则的值为
A．4 B．5 C．3 D．6
5．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
6．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）已知a+b=16，b+c=12，c+a=10，则a+b+c等于（ ）
A．19 B．38 C．14 D．22
8．（2017·东营模拟）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．（2020七下·黄埔期末）有三种文具，每种价格分别是3元、7元和4元，现在有27元钱，三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
12．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---基础篇）已知 ，那么x：y：z为（ ）
A．2：（﹣1）：3 B．6：1：9
C．6：（﹣1）：9 D．
二、填空题（每空3分，共24分）
13．（2023七上·东莞开学考）有四个数，其中任意三个数相加分别得20、27、24、22，这四个数各是 、 、 、 ．
14．（2023九下·惠阳开学考）已知方程组 ，则a+b+c＝ ．
15．（2022七下·潮南期中）方程组的解为 ．
16．（2019八上·高州期末）在三元一次方程x+y+2z＝5中，若x＝﹣1，y＝2，则z＝ ．
17．（2024七下·新会期中）利用两个外形一致的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 ．
三、解答题（共6题，共40分）
18．（2023七下·东莞期中）解方程组：
19．（2017七下·东莞期末）解方程组：
20．（2024八上·电白期末）阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值.
21．（2023七下·澄海期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b、c满足．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在第一象限内有一点，其中，是否存在点P，使得四边形的面积等于面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2021八上·深圳期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
23．（2024七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段（点A对应点），
（1）若，，求点的坐标；
（2）连接
①若轴，求出此时m与n的数量关系；
②在①的结论下，过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，连接，且的最小值为8，若点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断的值是否随着s，t的变化而变化？若不变请求出其值，若变请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
解得：y+2z=7，
y=7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z=1时，y=5，x=3；
当z=2时，y=3，x=4；
当z=3时，y=1，x=5
当z=4时，y=﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z=7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
6．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
7．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解方程组，①+②+③得2a+2b+2c=38，所以a+b+c=19．故选A．
【分析】把三个方程相加得到2a+2b+2c=38，然后两边除以2即可得到a+b+c的值．
8．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
，
把代入得，
解得z=（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选：B．
【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况．
9．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每种文具的数量分别为 个， 个， 个，
根据题意得： ， ， ，
则当 ， 时， ，符合题意；
当 ， 时， ，符合题意，
∵三种文具都要买，则恰好使钱用完的买法数有2种．
故答案为：B．
【分析】设每种文具的数量分别为 个， 个， 个，根据题意列出方程，求出方程的正整数解即可。
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
11．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
12．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组整理得： ，
①﹣②得：3x=2z，即x= z，
将x= z代入②得：y=﹣ z，
则x：y：z= z：（﹣ z）：z=6：（﹣1）：9．故答案为：C
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点，可知y的系数相等，因此将两方程相减，消去y，用含z的代数式表示x，再用含z的代数式表示y，代入x：y：z计算即可得出答案。
13．【答案】；；；
【知识点】三元一次方程组的应用
14．【答案】2
【知识点】三元一次方程组及其解法
15．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
16．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5得：
﹣1+2+2z＝5，
解得：z＝2，
故答案为：2．
【分析】根据方程解得定义，直接把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5中，解出z即可.
17．【答案】85cm.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】设桌子的长为x，长方体木块的长为y，宽为z，则由图可得
x+y-z=90①，x-y+z=80②，①+②得2x=170，x=85cm.
故答案：85cm.
【分析】分别设桌子和木块的长与宽，列出方程，即可求出桌子的高度.
18．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
19．【答案】解：①-③得： ④
④-②得：
∴
将 代入②得：
将 ， 代入③得：
∴该方程组的解为
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】用加减消元法将三元化成二元，通过第一个方程减去第三个方程得到2a-2b=8，再将此方程去减去第二个方程即可求出b=-2;
将b的值分别代入可以求出a=2,c=-1,从而得到这个方程组的解。
20．【答案】（1）10；8
（2）解：设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
由①×4-②得，
答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）解：根据题意得：
，
由①×3-②×2可得：，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②，可得：x-y=10，
由（①+②）÷3，可得：x+y=8，
故答案为：10；8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x-y=10和x+y=8即可；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元”列出方程组，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，求出，再求出即可.
21．【答案】（1）解：
把①代入③得：，
解得：，
∴，
解得：，
∴、、．
（2）解：过点C作轴于点M，过点B作轴，与交于点N，
由题意可得：，，，，，，
∴
．
（3）解：存在满足条件的点P．
过点P作轴于点G，
依题意得：，
解得：，
∵，
∴点P的坐标为．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；坐标与图形性质；三角形的面积；直角梯形
【解析】【分析】（1）将a+b=5代入a+b+3c中可求出c的值，据此可得关于a、b的方程组，利用加减消元法求出a、b的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）过点C作CM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴，CM与BN交于点N，由题意可得OA=2，OB=3，OM=BN=4，AM=2，CM=2，CN=1，然后根据S△ABC=S长方形OMNB-S△AOB-S△ACM-S△BCN结合长方形、三角形的面积公式进行计算；
（3）过点P作PG⊥x轴于点G，根据S四边形AOBP=S△ABC可求出m的值，据此可得点P的坐标.
22．【答案】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米．依题意得：解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．
23．【答案】（1）解：∵点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，∴点B的坐标为，
∵把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段，点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，又，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）点的坐标为，点的坐标为，①，
∵轴，
∴，
∴；
②的值不会随着s，t的变化而变化，共值为7．
理由：∵过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，
∴点E的纵坐标为，
∵的最小值为8，
∴，
解得，
由①得，
∵点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，
∴，即，
由①和②得，
解得，
由②和③得，即，
∵，
∴，
∴，整理得，
∴的值不会随着s，t的变化而变化，其值为7．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，得到B的坐标为，利用平移的性质求得点的，，再由，求得，，代入进行，即可求解；
（2）①由轴，得到，求得，即可求解；
②求得点E的纵坐标为，根据的最小值为8，得到，求得；由题意，的得出方程组，求得，结合，推出，得到，整理得到，结合的值不会随着s，t的变化而变化，即可求解.
（1）解：∵点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，
∴点B的坐标为，
∵把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段，点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，又，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）点的坐标为，点的坐标为，
①，
∵轴，
∴，
∴；
②的值不会随着s，t的变化而变化，共值为7．
理由：∵过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，
∴点E的纵坐标为，
∵的最小值为8，
∴，
解得，
由①得，
∵点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，
∴，即，
由①和②得，
解得，
由②和③得，即，
∵，
∴，
∴，整理得，
∴的值不会随着s，t的变化而变化，其值为7．
1 / 18.三元一次方程组——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024七下·白云期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
2．（2023七上·顺德月考）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
4．（2024七下·潮南月考）已知方程组则的值为
A．4 B．5 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
5．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
解得：y+2z=7，
y=7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z=1时，y=5，x=3；
当z=2时，y=3，x=4；
当z=3时，y=1，x=5
当z=4时，y=﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z=7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
6．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）已知a+b=16，b+c=12，c+a=10，则a+b+c等于（ ）
A．19 B．38 C．14 D．22
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解方程组，①+②+③得2a+2b+2c=38，所以a+b+c=19．故选A．
【分析】把三个方程相加得到2a+2b+2c=38，然后两边除以2即可得到a+b+c的值．
8．（2017·东营模拟）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
，
把代入得，
解得z=（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选：B．
【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况．
9．（2020七下·黄埔期末）有三种文具，每种价格分别是3元、7元和4元，现在有27元钱，三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每种文具的数量分别为 个， 个， 个，
根据题意得： ， ， ，
则当 ， 时， ，符合题意；
当 ， 时， ，符合题意，
∵三种文具都要买，则恰好使钱用完的买法数有2种．
故答案为：B．
【分析】设每种文具的数量分别为 个， 个， 个，根据题意列出方程，求出方程的正整数解即可。
10．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
11．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
12．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---基础篇）已知 ，那么x：y：z为（ ）
A．2：（﹣1）：3 B．6：1：9
C．6：（﹣1）：9 D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组整理得： ，
①﹣②得：3x=2z，即x= z，
将x= z代入②得：y=﹣ z，
则x：y：z= z：（﹣ z）：z=6：（﹣1）：9．故答案为：C
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点，可知y的系数相等，因此将两方程相减，消去y，用含z的代数式表示x，再用含z的代数式表示y，代入x：y：z计算即可得出答案。
二、填空题（每空3分，共24分）
13．（2023七上·东莞开学考）有四个数，其中任意三个数相加分别得20、27、24、22，这四个数各是 、 、 、 ．
【答案】；；；
【知识点】三元一次方程组的应用
14．（2023九下·惠阳开学考）已知方程组 ，则a+b+c＝ ．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组及其解法
15．（2022七下·潮南期中）方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
16．（2019八上·高州期末）在三元一次方程x+y+2z＝5中，若x＝﹣1，y＝2，则z＝ ．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5得：
﹣1+2+2z＝5，
解得：z＝2，
故答案为：2．
【分析】根据方程解得定义，直接把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5中，解出z即可.
17．（2024七下·新会期中）利用两个外形一致的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 ．
【答案】85cm.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】设桌子的长为x，长方体木块的长为y，宽为z，则由图可得
x+y-z=90①，x-y+z=80②，①+②得2x=170，x=85cm.
故答案：85cm.
【分析】分别设桌子和木块的长与宽，列出方程，即可求出桌子的高度.
三、解答题（共6题，共40分）
18．（2023七下·东莞期中）解方程组：
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
19．（2017七下·东莞期末）解方程组：
【答案】解：①-③得： ④
④-②得：
∴
将 代入②得：
将 ， 代入③得：
∴该方程组的解为
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】用加减消元法将三元化成二元，通过第一个方程减去第三个方程得到2a-2b=8，再将此方程去减去第二个方程即可求出b=-2;
将b的值分别代入可以求出a=2,c=-1,从而得到这个方程组的解。
20．（2024八上·电白期末）阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值.
【答案】（1）10；8
（2）解：设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
由①×4-②得，
答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）解：根据题意得：
，
由①×3-②×2可得：，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②，可得：x-y=10，
由（①+②）÷3，可得：x+y=8，
故答案为：10；8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x-y=10和x+y=8即可；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元”列出方程组，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，求出，再求出即可.
21．（2023七下·澄海期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b、c满足．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在第一象限内有一点，其中，是否存在点P，使得四边形的面积等于面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
把①代入③得：，
解得：，
∴，
解得：，
∴、、．
（2）解：过点C作轴于点M，过点B作轴，与交于点N，
由题意可得：，，，，，，
∴
．
（3）解：存在满足条件的点P．
过点P作轴于点G，
依题意得：，
解得：，
∵，
∴点P的坐标为．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；坐标与图形性质；三角形的面积；直角梯形
【解析】【分析】（1）将a+b=5代入a+b+3c中可求出c的值，据此可得关于a、b的方程组，利用加减消元法求出a、b的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）过点C作CM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴，CM与BN交于点N，由题意可得OA=2，OB=3，OM=BN=4，AM=2，CM=2，CN=1，然后根据S△ABC=S长方形OMNB-S△AOB-S△ACM-S△BCN结合长方形、三角形的面积公式进行计算；
（3）过点P作PG⊥x轴于点G，根据S四边形AOBP=S△ABC可求出m的值，据此可得点P的坐标.
22．（2021八上·深圳期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
【答案】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米．依题意得：解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．
23．（2024七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段（点A对应点），
（1）若，，求点的坐标；
（2）连接
①若轴，求出此时m与n的数量关系；
②在①的结论下，过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，连接，且的最小值为8，若点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断的值是否随着s，t的变化而变化？若不变请求出其值，若变请说明理由．
【答案】（1）解：∵点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，∴点B的坐标为，
∵把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段，点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，又，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）点的坐标为，点的坐标为，①，
∵轴，
∴，
∴；
②的值不会随着s，t的变化而变化，共值为7．
理由：∵过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，
∴点E的纵坐标为，
∵的最小值为8，
∴，
解得，
由①得，
∵点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，
∴，即，
由①和②得，
解得，
由②和③得，即，
∵，
∴，
∴，整理得，
∴的值不会随着s，t的变化而变化，其值为7．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，得到B的坐标为，利用平移的性质求得点的，，再由，求得，，代入进行，即可求解；
（2）①由轴，得到，求得，即可求解；
②求得点E的纵坐标为，根据的最小值为8，得到，求得；由题意，的得出方程组，求得，结合，推出，得到，整理得到，结合的值不会随着s，t的变化而变化，即可求解.
（1）解：∵点向右平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，
∴点B的坐标为，
∵把线段先向右平移3个单位，再向上平移个单位得到线段，点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，又，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）点的坐标为，点的坐标为，
①，
∵轴，
∴，
∴；
②的值不会随着s，t的变化而变化，共值为7．
理由：∵过点B作y轴的垂线l．已知E是l上一点，
∴点E的纵坐标为，
∵的最小值为8，
∴，
解得，
由①得，
∵点，及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，
∴，即，
由①和②得，
解得，
由②和③得，即，
∵，
∴，
∴，整理得，
∴的值不会随着s，t的变化而变化，其值为7．
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