9.一元二次方程的概念及解法——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·荔湾月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．（2024九上·罗湖月考）一元二次方程的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D．和2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
3．（2024九上·深圳月考） 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵该方程为 关于x的一元二次方程
∴k≠0，
又∵该方程 有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4×k×3=36-12k＞0，解得k＜3，
综上可得，且 ，D正确。
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程定义（ ）可先求出k的一个取值范围，再根据该一元二次方程 有两个不相等的实数根，又可求出k的另一个取值范围，最后两个范围相结合，即可确定k的取值范围。
4．（2024九上·茂名月考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，由题意得．
故答案为：B
【分析】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，根据“某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
5．（2024九上·佛山期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
6．（2024九上·新会期中）关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
7．（2024九上·天河期中）若m是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
8．（2024九上·龙岗期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，
∵每件零售价由560元降为315元，两次降价的百分率相同，
∴
故答案为：B
【分析】设每次降价的百分率为，根据“每件零售价由560元降为315元，两次降价的百分率相同”列出一元二次方程，进而即可求解。
9．（2024九上·鹤山期中）已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．16或14 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
10．（2024九上·广东期中）如果关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
11．（2024九上·香洲期中）2024年11月12日至17日将在珠海国际航展中心举办第十五届中国航展，为了解航展相关资料，小明同学上网查阅过往资料．他看到这样一组数据：2018年第十二届航展签约金额212亿美元，2022年第十四届航展签约金额398亿美元，设第十二届到第十四届签约金额的届平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得x满足方程，
故答案为：C．
【分析】根据“2018年第十二届航展签约金额212亿美元，2022年第十四届航展签约金额398亿美元，设第十二届到第十四届签约金额的届平均增长率为”即可列出关于x的一元二次方程.
12．（2024九上·南海月考）如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一次函数的实际应用-几何问题
二、填空题（每空3分，共15分）
13．（2024·深圳模拟）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
【答案】否
【知识点】无理数的估值；直接开平方法解一元二次方程；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，大正方形的面积，
大正方形的边长，
设长方形纸片的长为，宽为，
依题意可得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
因此，若将此大正方形纸片的局部剪掉，不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，
故答案为：否．
【分析】先利用算术平方根的实际应用求出大正方形的边长，然后设长方形纸片长为，宽为，依题意得到一元二次方程，解方程即可求出的值，再用长方形纸片的长与大正方形的边长进行比较即可得出结论．
14．（2024九上·罗湖月考）若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
15．（2024九上·南山期中） 若方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】 且.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义可得k≠0，根据方程 有两个不相等的实数根可得：Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，解不等式组可求出实数k的取值范围．
16．（2024九上·龙华期中）如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为 ．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
17．（2024九上·珠海期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【分析】设每个支干长出个小分支，根据题意可得每个小分支又长出个分支，则共有个分支，据此即可列出方程．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024九上·宝安模拟）用适当的方法解方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，∴，即，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，即，
∴或，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意运用公式法解方程即可；
（2）根据题意运用提公因式法解方程，进而即可求解；
（3）根据题意运用平方差公式解方程，进而即可求解。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴或，
解得．
19．（2024九上·鹤山月考）已知关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）等腰（非等边三角形）中有一边长为2，另两边长均为方程的实数根，求该三角形的周长．
【答案】（1）
（2）8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系
20．（2024九上·中山期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求这个方程的解；
（2）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
21．（2024九上·中山月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】实数k的取值范围为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
22．（2024九上·深圳月考）粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
【答案】（1）
（2）解：根据题意可得：
，
整理，得：，
解得：，，
又要让购买者得到实惠，
，
答：每盆应降价元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，得：
降价后平均每天卖出：（盆），
故答案为：；
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程．
（1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”，据此可列出式子，再进行化简可求出答案；
（2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，可列方程，解方程可求出x的值，再根据要让购买者得到实惠，进而可确定x的值，据此可确定答案.
23．（2024九上·宝安月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0；
②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【答案】(1)②是“邻根方程”，(2) m＝0或﹣2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
24．（2024九上·福田期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是"倍根方程".
（1）根据上述定义，一元二次方程 （填"是"或"不是"）"倍根方程"；
（2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是"倍根方程"；
【答案】（1）不是
（2）解： 点 在双曲线 上，
方程 化为方程 ，
解得 ，
方程 是"倍根方程".
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）x2＋2x-8＝0，
（x-2）（x＋4）＝0，
解得x1＝2，x2＝-4，
故一元二次方程x2＋2x-8＝0 不是“倍根方程”．
故答案为：不是.
【分析】（1）先利用十字相乘法求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可.
1 / 19.一元二次方程的概念及解法——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·荔湾月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·罗湖月考）一元二次方程的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D．和2
3．（2024九上·深圳月考） 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．（2024九上·茂名月考）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·佛山期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·新会期中）关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·天河期中）若m是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（2024九上·龙岗期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·鹤山期中）已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．16或14 D．以上都不对
10．（2024九上·广东期中）如果关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D． 且
11．（2024九上·香洲期中）2024年11月12日至17日将在珠海国际航展中心举办第十五届中国航展，为了解航展相关资料，小明同学上网查阅过往资料．他看到这样一组数据：2018年第十二届航展签约金额212亿美元，2022年第十四届航展签约金额398亿美元，设第十二届到第十四届签约金额的届平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九上·南海月考）如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每空3分，共15分）
13．（2024·深圳模拟）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
14．（2024九上·罗湖月考）若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 ．
15．（2024九上·南山期中） 若方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
16．（2024九上·龙华期中）如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为 ．
17．（2024九上·珠海期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024九上·宝安模拟）用适当的方法解方程
（1）
（2）
（3）
19．（2024九上·鹤山月考）已知关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）等腰（非等边三角形）中有一边长为2，另两边长均为方程的实数根，求该三角形的周长．
20．（2024九上·中山期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求这个方程的解；
（2）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？
21．（2024九上·中山月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22．（2024九上·深圳月考）粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
23．（2024九上·宝安月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0；
②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
24．（2024九上·福田期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是"倍根方程".
（1）根据上述定义，一元二次方程 （填"是"或"不是"）"倍根方程"；
（2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是"倍根方程"；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵该方程为 关于x的一元二次方程
∴k≠0，
又∵该方程 有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4×k×3=36-12k＞0，解得k＜3，
综上可得，且 ，D正确。
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程定义（ ）可先求出k的一个取值范围，再根据该一元二次方程 有两个不相等的实数根，又可求出k的另一个取值范围，最后两个范围相结合，即可确定k的取值范围。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，由题意得．
故答案为：B
【分析】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，根据“某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，
∵每件零售价由560元降为315元，两次降价的百分率相同，
∴
故答案为：B
【分析】设每次降价的百分率为，根据“每件零售价由560元降为315元，两次降价的百分率相同”列出一元二次方程，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得x满足方程，
故答案为：C．
【分析】根据“2018年第十二届航展签约金额212亿美元，2022年第十四届航展签约金额398亿美元，设第十二届到第十四届签约金额的届平均增长率为”即可列出关于x的一元二次方程.
12．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一次函数的实际应用-几何问题
13．【答案】否
【知识点】无理数的估值；直接开平方法解一元二次方程；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，大正方形的面积，
大正方形的边长，
设长方形纸片的长为，宽为，
依题意可得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
因此，若将此大正方形纸片的局部剪掉，不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，
故答案为：否．
【分析】先利用算术平方根的实际应用求出大正方形的边长，然后设长方形纸片长为，宽为，依题意得到一元二次方程，解方程即可求出的值，再用长方形纸片的长与大正方形的边长进行比较即可得出结论．
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
15．【答案】 且.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义可得k≠0，根据方程 有两个不相等的实数根可得：Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，解不等式组可求出实数k的取值范围．
16．【答案】2025
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【分析】设每个支干长出个小分支，根据题意可得每个小分支又长出个分支，则共有个分支，据此即可列出方程．
18．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，∴，即，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，即，
∴或，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意运用公式法解方程即可；
（2）根据题意运用提公因式法解方程，进而即可求解；
（3）根据题意运用平方差公式解方程，进而即可求解。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴或，
解得．
19．【答案】（1）
（2）8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
21．【答案】实数k的取值范围为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意可得：
，
整理，得：，
解得：，，
又要让购买者得到实惠，
，
答：每盆应降价元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，得：
降价后平均每天卖出：（盆），
故答案为：；
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程．
（1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”，据此可列出式子，再进行化简可求出答案；
（2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，可列方程，解方程可求出x的值，再根据要让购买者得到实惠，进而可确定x的值，据此可确定答案.
23．【答案】(1)②是“邻根方程”，(2) m＝0或﹣2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
24．【答案】（1）不是
（2）解： 点 在双曲线 上，
方程 化为方程 ，
解得 ，
方程 是"倍根方程".
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）x2＋2x-8＝0，
（x-2）（x＋4）＝0，
解得x1＝2，x2＝-4，
故一元二次方程x2＋2x-8＝0 不是“倍根方程”．
故答案为：不是.
【分析】（1）先利用十字相乘法求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可.
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