10.一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2023九上·南山期中）若x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝-6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
2．（2021九上·南海期末）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2021·南山模拟）菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
5．（2017·河北模拟）已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
7．（2021九上·揭阳期中）已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
8．（2021·阳西模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
9．（2019·广州）关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
10．（2019九上·潮阳月考）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
11．（初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程练习题 (4)）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
12．（2016九上·越秀期末）已知函数 的图像与x轴的交点坐标为 且 ，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九上·陆河期中）已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是
14．（2023·汕尾模拟）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
15．（2020·南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 .
16．（2022九上·南山期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则 ．
17．（2022九上·南海月考）已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根 ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2018九上·深圳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2 2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，求m的值．
19．（初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用练习题）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）求 的最大值．
20．（2019九上·潮阳月考）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
21．（2021九上·海珠期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
22．（2021九上·香洲月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求 的值．
23．（2021九上·吴川月考）已知关于的方程 ．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．
24．（2020九上·怀集期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，
∴x1+x2＝.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故答案为：C．
【分析】设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得，所以，再求出n的值。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 能组成三角形，即存在菱形， 菱形的周长为 .
故答案为： .
【分析】先求出方程 的两个根，再根据三角形的三边关系判断出正确的菱形的边AB，即可求出菱形的周长.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，
∵a+b=﹣2013，ab=1．
∴（1+2015a+a2）（1+2015b+b2），
=（ab+2015a+a2）（ab+2015b+b2），
=a（b+a+2015）b（a+b+2015），
=ab（2015﹣2013）（2015﹣2013），
=4ab=4．
故选D．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系，可得出a+b=﹣2013，ab=1，再将代数式（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）中的1替换成ab，提取公因数化解即可得出结论．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再将变形为，最后将m＋n＝4，mn＝-3代入计算即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x2．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系再结合倒数的定义求出m的值，再根据根的判别式求解即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理，得：
＝k－1， ,
由 ，得：
，
即 ，
所以， ,
化简，得： ，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程 有两个实数根，
所以，△＝ ＝ 〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理和一元二次方程的根的判别式，可解出k的值。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0,
∴m＜1，m≠0,
∴m≤ 且m≠0,
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的情况判断出根的判别式△的取值范围，并据此列出不等式；再利用一元二次方程根与系数的关系写出x1+x2、x1·x2的值，根据题意列出不等式；求出这几个不等式的解集的公共部分即为所求。
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵“ 和 符号相同， 和 符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c=0，
∴a+ b+ c=0，
∴ 是方程N的一个根，正确；
D、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a=0，即（a﹣c）x2=a﹣c，
∵a﹣c≠1，
∴x2=1，解得：x=±1，错误．
故选D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“ 和 符号相同， 和 符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出 是方程N的一个根，C正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误．综上即可得出结论．
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1 x2= ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1 （-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- ）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故答案为：D．
【分析】函数 y = 4 x 2 4 x + m 的图像与x轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0 ) ( x 2， 0 )即为方程4x2-4x+m=0的两根，再由根于系数的关系可得x1+x2=1，x1 x2= 代入( x 1 + x 2 ) ( 4 x 12 5 x 1 x 2 ) = 8最终化为关于m的方程，解得m=-9，这样我们得到了抛物线解析式为y=4x2-4x-9最后化为顶点式，求得最小值为-10
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n为方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴m2+m=2023，m+n=-1，
∴m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2023-1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得m2+m=2023，由根与系数的关系可得m+n=-1，然后将两式相加就可求出m2+2m+n的值.
15．【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
17．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，
．
故答案为：-3．
【分析】根据根与系数的关系求解即可.
18．【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥ ，
所以m的最小整数值为﹣2。
（2）解：根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，
，
，
∴ ，
整理得 ，解得 。
，
∴m的值为2。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意可得△≥0，得到关于m的不等式，求出m的解集，再得出最小整数值即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，然后将给出的等式左边变形，再代入得到关于m的一元二次方程，求出m的值即可.
19．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6
∴ ，
∵﹣1≤m＜1，
∴
（2）解： =
= （﹣1≤m＜1）．
∴当m=﹣1时，式子取最大值为10
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
20．【答案】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，
解得m=﹣4；
又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
21．【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=2m-4， 再将其代入（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，再求出m的值即可。
22．【答案】（1）解：由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）解：∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为 ，即 ，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）由（1）求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 x1+x2=-2，x1 x2=-1，最后代入计算即可。
23．【答案】（1）解：依题意得：△ ，
解得： ．
若该方程有两个不相等的实数根，实数 的取值范围为 ．
（2）解：设方程的另一根为 ，
由根与系数的关系得： ，
解得： ，
的值为 ，该方程的另一根为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 (1) 利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
(2)由一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可。
24．【答案】（1）解：由题意得： ，
∴
解得：
∵ 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根，
∴ 得：
∴
（2）解：①当7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当 时， =10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）分情况讨论，①当7为底，②当7为腰，再结合根的判别式及解方程求解即可。
1 / 110.一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2023九上·南山期中）若x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝-6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，
∴x1+x2＝.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.
2．（2021九上·南海期末）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故答案为：C．
【分析】设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得，所以，再求出n的值。
3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
4．（2021·南山模拟）菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 能组成三角形，即存在菱形， 菱形的周长为 .
故答案为： .
【分析】先求出方程 的两个根，再根据三角形的三边关系判断出正确的菱形的边AB，即可求出菱形的周长.
5．（2017·河北模拟）已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，
∵a+b=﹣2013，ab=1．
∴（1+2015a+a2）（1+2015b+b2），
=（ab+2015a+a2）（ab+2015b+b2），
=a（b+a+2015）b（a+b+2015），
=ab（2015﹣2013）（2015﹣2013），
=4ab=4．
故选D．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系，可得出a+b=﹣2013，ab=1，再将代数式（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）中的1替换成ab，提取公因数化解即可得出结论．
6．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
7．（2021九上·揭阳期中）已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再将变形为，最后将m＋n＝4，mn＝-3代入计算即可。
8．（2021·阳西模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x2．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系再结合倒数的定义求出m的值，再根据根的判别式求解即可。
9．（2019·广州）关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理，得：
＝k－1， ,
由 ，得：
，
即 ，
所以， ,
化简，得： ，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程 有两个实数根，
所以，△＝ ＝ 〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理和一元二次方程的根的判别式，可解出k的值。
10．（2019九上·潮阳月考）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0,
∴m＜1，m≠0,
∴m≤ 且m≠0,
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的情况判断出根的判别式△的取值范围，并据此列出不等式；再利用一元二次方程根与系数的关系写出x1+x2、x1·x2的值，根据题意列出不等式；求出这几个不等式的解集的公共部分即为所求。
11．（初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程练习题 (4)）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵“ 和 符号相同， 和 符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c=0，
∴a+ b+ c=0，
∴ 是方程N的一个根，正确；
D、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a=0，即（a﹣c）x2=a﹣c，
∵a﹣c≠1，
∴x2=1，解得：x=±1，错误．
故选D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“ 和 符号相同， 和 符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出 是方程N的一个根，C正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误．综上即可得出结论．
12．（2016九上·越秀期末）已知函数 的图像与x轴的交点坐标为 且 ，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1 x2= ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1 （-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- ）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故答案为：D．
【分析】函数 y = 4 x 2 4 x + m 的图像与x轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0 ) ( x 2， 0 )即为方程4x2-4x+m=0的两根，再由根于系数的关系可得x1+x2=1，x1 x2= 代入( x 1 + x 2 ) ( 4 x 12 5 x 1 x 2 ) = 8最终化为关于m的方程，解得m=-9，这样我们得到了抛物线解析式为y=4x2-4x-9最后化为顶点式，求得最小值为-10
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九上·陆河期中）已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．（2023·汕尾模拟）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n为方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴m2+m=2023，m+n=-1，
∴m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2023-1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得m2+m=2023，由根与系数的关系可得m+n=-1，然后将两式相加就可求出m2+2m+n的值.
15．（2020·南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 .
【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
16．（2022九上·南山期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
17．（2022九上·南海月考）已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，
．
故答案为：-3．
【分析】根据根与系数的关系求解即可.
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2018九上·深圳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2 2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥ ，
所以m的最小整数值为﹣2。
（2）解：根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，
，
，
∴ ，
整理得 ，解得 。
，
∴m的值为2。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意可得△≥0，得到关于m的不等式，求出m的解集，再得出最小整数值即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，然后将给出的等式左边变形，再代入得到关于m的一元二次方程，求出m的值即可.
19．（初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用练习题）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）求 的最大值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6
∴ ，
∵﹣1≤m＜1，
∴
（2）解： =
= （﹣1≤m＜1）．
∴当m=﹣1时，式子取最大值为10
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
20．（2019九上·潮阳月考）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
【答案】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，
解得m=﹣4；
又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
21．（2021九上·海珠期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=2m-4， 再将其代入（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，再求出m的值即可。
22．（2021九上·香洲月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求 的值．
【答案】（1）解：由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）解：∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为 ，即 ，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）由（1）求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 x1+x2=-2，x1 x2=-1，最后代入计算即可。
23．（2021九上·吴川月考）已知关于的方程 ．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．
【答案】（1）解：依题意得：△ ，
解得： ．
若该方程有两个不相等的实数根，实数 的取值范围为 ．
（2）解：设方程的另一根为 ，
由根与系数的关系得： ，
解得： ，
的值为 ，该方程的另一根为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 (1) 利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
(2)由一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可。
24．（2020九上·怀集期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）解：由题意得： ，
∴
解得：
∵ 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根，
∴ 得：
∴
（2）解：①当7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当 时， =10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）分情况讨论，①当7为底，②当7为腰，再结合根的判别式及解方程求解即可。
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