12.分式方程——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2021八下·罗湖期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2024九下·丰顺模拟）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·光明期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·新会模拟）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024九下·揭阳模拟）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（2023九上·南海月考）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九下·潮阳模拟）若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2或1 D．2或
8．（2023八下·金平月考）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度，若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．=2
C． D．
9．（2024九上·福田开学考）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．（2024八下·深圳期末）若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．－6 B．8 C．24 D．6
11．（2024·濠江模拟）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023九上·福田开学考）下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九下·新会月考）当m= 时，方程无解．
14．（2024·揭西模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15．（2024九下·惠阳月考）分式方程 的解为 ．
16．（2023八下·佛冈期中）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
17．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024八下·深圳期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（2024九下·乐昌开学考）若关于的分式方程 无解，求的值．
20．以下是小明同学解方程的过程.
方程两边同时乘，得...第一步
解得。...第二步
检验：当时，第三步
所以，原分式方程的解为第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程.
21．（2024八上·恩平期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，则_________．
（2）解分式方程组：
（3）已知，，，求的值．
22．（2024八下·深圳期末）先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”.例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为可分解分式方程，则： x1= ，x2= .
（2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值.
（3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为x1、x2(k为实数)，且 求k的值.
23．（2024·潮南模拟）“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
24．（2024八下·茂名期末）阅读下面的材料，并解答问题．
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得．
（1）若（，为常数），则______，______；
（2）已知（，为常数），用材料中的解法求，的值；
（3）化简：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】 ① 是整式方程 ；② 是分式方程；
③ 是分式方程；④ 是整式方程 ．
∴分式方程有②③.
故答案为：B.
【分析】分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：将关于x的分式方程去分母可得；
故答案为：B．
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：分式方程变形，得，
关于的分式方程有增根，
增根为，
把代入，得；
故答案为：C．
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
4．【答案】A
【知识点】列分式方程
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
关于的方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】解分式方程；相似多边形
7．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
9．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
∵此方程有增根无解，
∴，
解得，，
故答案为：A。
【分析】先对分式方程进行求解，，根据“方程有增根无解”，可得，，最后再进行求解即可。
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
11．【答案】C
【知识点】列分式方程；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 设燃气汽车每千米所需费用为x元 ，则燃油汽车每千米所需的费用为（2x+0.2）元，
由题意可得： .
故答案为：C.
【分析】由图象可知： 燃油汽车花费30元所行驶的路程= 燃气汽车花费100元所行驶的路程，据此列出方程即可.
12．【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①，若ab＞0，则a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故此选项错误，不符合题意；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-3，故此选项错误，不符合题意；
③若关于x的方程有增根 ，
所以x-2=0，
解得x=2，
将去分母得m=1-x，
将x=2代入m=1-x，得m=-1，故此选项错误，不符合题意；
④是无限不循环小数，不是分数，故此选项正确，符合题意；
⑤解x+5＜2a得x＜2a-5，
因为关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，
所以两个正整数解为2、1，
所以2＜2a-5≤3，
所以3.5＜a≤4，
故a得最大值为4，故此选项正确，符合题意，
综上，正确的有④和⑤，共两个.
故答案为：C.
【分析】由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，即可判断①；用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的0，据此可判断②；分式方程的增根，就是使原分式方程的最简公分母为0的根，据此可得出原分式方程的增根为x=2，进而根据分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=2代入m=1-x，可求出m的值，从而可判断③；根据有限小数与无限循环小数豆可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数，可判断④；将a作为字母参数求出不等式的解集，根据不等式有两个正整数解可得2＜2a-5≤3，求解即可得出a得取值范围，据此可判断⑤.
13．【答案】2．
【知识点】分式方程的增根
14．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母可得：x+x-1=-m
∵分式方程有增根
∴x-1=0，解得：x=1
将x-1代入整式方程可得m=-1
故答案为：-1
【分析】将分式方程转换为整式方程，根据返程有增根可得x=1，再代入整式方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解分式方程
16．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
17．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
18．【答案】（1）解：方程两边同时乘，
得：，
化简，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：方程两边同时乘，得
，
化简，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
19．【答案】解：，
，
，
，
当1-m≠0时，
，
当时分母为，方程无解，
即，时方程无解；
当时分母为，方程无解，
即，时方程无解，
当1-m=0时，无意义，方程无解，
故的值为：或或．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】将m作为字母系数，方程的两边同时乘以(x-2)(x+2)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，进而再整理得(1-m)x=10，然后分类讨论：①当1-m=0时，方程无解；②当1-m≠0时，分式方程无解，有增根，两种情况解答即可.
20．【答案】（1）一
（2）解：方程两边同时乘，得.解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误。
故答案为：一
【分析】（1）根据题意解分式方程，进而即可求解；
（2）先分母，进而移项和合并同类项，最后检验即可求解。
21．【答案】（1）3
（2）解：由 ，
得，
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为.
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；分式的加减法；解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，再求出即可；
（2）先将原方程组转为，再利用二元一次方程组的计算方法和分式的定义分析求解即可；
（3）先求出，，，再求出，最后求出即可．
（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）解：由 得
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为；
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
22．【答案】（1）6；-2
（2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为
∴，
（3）解：方程 是可分解分式方程，
可化为
∵k为实数，不妨设
∴
(舍去)
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【解答】解： (1) ∵方程 是可分解分式方程，可化为 故答案为： 6， -2.(-2， 6亦可以)
【分析】(1)去分母后解一元二次方程即可；
(2)化简得一元二次方程可得ab和a+b的值，再代入求值即可；
(3)先将方程转化为一元二次方程，利用韦达定理可得 x1、x2 与k之间的关系，即可得k的值.
23．【答案】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得，解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，
答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元；
（2）解：设购进商品件，由题意得：，
解得：，答：种商品至少购进30件．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)理解题意设价格利用数量的关系建立等量关系列方程；
(2)根据题目中的不等关系列出不等式即可求得结果；
24．【答案】（1）1，
（2）解：
去分母，得
∴，
解得：，
（3）解：
．
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
去分母，得
∴，解得：．
故答案为：1；．
【分析】（1）先利用分式的加法计算方法将等式右边进行计算，再利用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）先利用分式的加法计算方法将等式右边进行计算，再利用待定系数法求出a、b的值即可；
（3）先将原式变形为，再计算即可.
1 / 112.分式方程——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2021八下·罗湖期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】 ① 是整式方程 ；② 是分式方程；
③ 是分式方程；④ 是整式方程 ．
∴分式方程有②③.
故答案为：B.
【分析】分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，据此逐一判断即可.
2．（2024九下·丰顺模拟）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：将关于x的分式方程去分母可得；
故答案为：B．
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
3．（2024八下·光明期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：分式方程变形，得，
关于的分式方程有增根，
增根为，
把代入，得；
故答案为：C．
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
4．（2024·新会模拟）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
5．（2024九下·揭阳模拟）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
关于的方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：B．
6．（2023九上·南海月考）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程；相似多边形
7．（2023九下·潮阳模拟）若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2或1 D．2或
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
8．（2023八下·金平月考）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度，若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．=2
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
9．（2024九上·福田开学考）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
∵此方程有增根无解，
∴，
解得，，
故答案为：A。
【分析】先对分式方程进行求解，，根据“方程有增根无解”，可得，，最后再进行求解即可。
10．（2024八下·深圳期末）若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．－6 B．8 C．24 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
11．（2024·濠江模拟）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 设燃气汽车每千米所需费用为x元 ，则燃油汽车每千米所需的费用为（2x+0.2）元，
由题意可得： .
故答案为：C.
【分析】由图象可知： 燃油汽车花费30元所行驶的路程= 燃气汽车花费100元所行驶的路程，据此列出方程即可.
12．（2023九上·福田开学考）下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①，若ab＞0，则a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故此选项错误，不符合题意；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-3，故此选项错误，不符合题意；
③若关于x的方程有增根 ，
所以x-2=0，
解得x=2，
将去分母得m=1-x，
将x=2代入m=1-x，得m=-1，故此选项错误，不符合题意；
④是无限不循环小数，不是分数，故此选项正确，符合题意；
⑤解x+5＜2a得x＜2a-5，
因为关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，
所以两个正整数解为2、1，
所以2＜2a-5≤3，
所以3.5＜a≤4，
故a得最大值为4，故此选项正确，符合题意，
综上，正确的有④和⑤，共两个.
故答案为：C.
【分析】由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，即可判断①；用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的0，据此可判断②；分式方程的增根，就是使原分式方程的最简公分母为0的根，据此可得出原分式方程的增根为x=2，进而根据分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=2代入m=1-x，可求出m的值，从而可判断③；根据有限小数与无限循环小数豆可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数，可判断④；将a作为字母参数求出不等式的解集，根据不等式有两个正整数解可得2＜2a-5≤3，求解即可得出a得取值范围，据此可判断⑤.
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九下·新会月考）当m= 时，方程无解．
【答案】2．
【知识点】分式方程的增根
14．（2024·揭西模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母可得：x+x-1=-m
∵分式方程有增根
∴x-1=0，解得：x=1
将x-1代入整式方程可得m=-1
故答案为：-1
【分析】将分式方程转换为整式方程，根据返程有增根可得x=1，再代入整式方程即可求出答案.
15．（2024九下·惠阳月考）分式方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
16．（2023八下·佛冈期中）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
17．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024八下·深圳期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边同时乘，
得：，
化简，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：方程两边同时乘，得
，
化简，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
19．（2024九下·乐昌开学考）若关于的分式方程 无解，求的值．
【答案】解：，
，
，
，
当1-m≠0时，
，
当时分母为，方程无解，
即，时方程无解；
当时分母为，方程无解，
即，时方程无解，
当1-m=0时，无意义，方程无解，
故的值为：或或．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】将m作为字母系数，方程的两边同时乘以(x-2)(x+2)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，进而再整理得(1-m)x=10，然后分类讨论：①当1-m=0时，方程无解；②当1-m≠0时，分式方程无解，有增根，两种情况解答即可.
20．以下是小明同学解方程的过程.
方程两边同时乘，得...第一步
解得。...第二步
检验：当时，第三步
所以，原分式方程的解为第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出解方程的正确过程.
【答案】（1）一
（2）解：方程两边同时乘，得.解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误。
故答案为：一
【分析】（1）根据题意解分式方程，进而即可求解；
（2）先分母，进而移项和合并同类项，最后检验即可求解。
21．（2024八上·恩平期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，则_________．
（2）解分式方程组：
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：由 ，
得，
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为.
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；分式的加减法；解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，再求出即可；
（2）先将原方程组转为，再利用二元一次方程组的计算方法和分式的定义分析求解即可；
（3）先求出，，，再求出，最后求出即可．
（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）解：由 得
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为；
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
22．（2024八下·深圳期末）先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”.例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为可分解分式方程，则： x1= ，x2= .
（2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值.
（3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为x1、x2(k为实数)，且 求k的值.
【答案】（1）6；-2
（2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为
∴，
（3）解：方程 是可分解分式方程，
可化为
∵k为实数，不妨设
∴
(舍去)
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【解答】解： (1) ∵方程 是可分解分式方程，可化为 故答案为： 6， -2.(-2， 6亦可以)
【分析】(1)去分母后解一元二次方程即可；
(2)化简得一元二次方程可得ab和a+b的值，再代入求值即可；
(3)先将方程转化为一元二次方程，利用韦达定理可得 x1、x2 与k之间的关系，即可得k的值.
23．（2024·潮南模拟）“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
【答案】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得，解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，
答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元；
（2）解：设购进商品件，由题意得：，
解得：，答：种商品至少购进30件．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)理解题意设价格利用数量的关系建立等量关系列方程；
(2)根据题目中的不等关系列出不等式即可求得结果；
24．（2024八下·茂名期末）阅读下面的材料，并解答问题．
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得．
（1）若（，为常数），则______，______；
（2）已知（，为常数），用材料中的解法求，的值；
（3）化简：．
【答案】（1）1，
（2）解：
去分母，得
∴，
解得：，
（3）解：
．
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
去分母，得
∴，解得：．
故答案为：1；．
【分析】（1）先利用分式的加法计算方法将等式右边进行计算，再利用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）先利用分式的加法计算方法将等式右边进行计算，再利用待定系数法求出a、b的值即可；
（3）先将原式变形为，再计算即可.
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