14.一元一次不等式——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024八下·福田期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
2．（2024七下·金湾期末）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点 100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点 设李明冲刺的速度为xm/s，可列出不等式为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】
解： 设李明冲刺的速度为xm/s
故选A.
【分析】
根据不等量关系：李明用25秒的时间所冲刺的路程≥110，列出不等式即可.
3．（2024七下·花都期末）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：，
而，
即，
解得：；
则的最大值是2．
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法的计算方法求出，再结合可得，最后求出k的取值范围即可.
4．（2024八下·龙华期末）同一个数学式子在不同情境中表示不同的实际意义，下列描述的情境符合的是（ ）
A．某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元
B．记长方形花圃的长为，宽为，该花圃的周长小于
C．小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元
D．甲乙两地相距，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了，小红走了
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】A. 列不等式为：，A不符合题意；
B. 列不等式为：，即，B符合题意；
C. 列不等式为：，C不符合题意；
D. 列等式为：，D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查根据题意列式子，把握不等关系的词语是解题的关键．
5．（2024七下·高要期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
6．（2024七下·赤坎期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
故选：A．
【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，一元一次不等式的解法，根据点在第二象限，得到，求得a的范围，即可得到答案.
7．（2024八下·龙岗月考）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012﹣2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（ ）
A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48
C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
8．（2024八下·龙岗月考）若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
9．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，.
故答案为：B．
【分析】由已知等式得到2b=a+2c①，②，将①整体代入不等式可求出b＞0，将②整体代入，结合偶数次幂的非负性即可进行解答．
10．（2024八下·龙岗月考）某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打折促销，为了保证利润率不低于5%，则的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的值应不小于7．
故答案为：C．
【分析】利用利润＝售价－进价，结合利润率不低于5%，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
11．（2024七下·花都期末）已知关于 的方程组 ， 满足 ， 则 的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
∵，
即，
解得，
∴的最大值是2．
故答案为：C
【分析】先②-①得到，进而结合已知条件即可得到不等式，从而解不等式即可得到，再结合题意即可求解。
12．（2024·惠城模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（ ）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故答案为：C．
【分析】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，得：600×﹣400≥400×20%，解不等式取x的最小值，即可得到答案．
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024七下·湛江期末）不等式的正整数解是 ．
【答案】1，2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由
去括号得，
移项得，，
故不等式的正整数解是1，2．
故答案为：1，2．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先利用不等式的解法，求得不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解，即可得到答案．
14．（2024七下·湛江期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意知，不等式为，
故答案为：．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据与17的和比的5倍小， 不等式为，即可得到答案．
15．（2024八上·深圳期中）二次根式有意义，字母的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式x-2≥0，再求解即可.
16．（2023八下·深圳期末）某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则七年级学生参加活动的人数至多是 名
【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解： 设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x，根据题意，得 ： 20( 30- x ) +15x≥500，解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名.
故答案为：20.
【分析】设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x， 根据所收集的塑料瓶总数不少于500个，了列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得到结论.
17．（2024八下·宝安期中）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 ．
【答案】6折
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设可以打x折，
由题意得：1100×﹣600≥600×10%，
解得：x≥6，
即最低折扣是6折．
故答案为：6折．
【分析】设打x折，根据标价乘以折扣率等于售价，售价减去进价等于利润，利润等于进价乘以利率，再结合利润率不低于10%，列式求解即可.
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024七下·惠阳期末）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】解：（1），
，
，
；
（2）
解：去分母：，
，
去小括号：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，先开立方根，然后计算平方根，小括号，最后进行加减运算，即可求解；
（2）根据一元一次不等式的解法，先去分母，然后去小括号，然后把同类项，最后化x系数化为，即可得到答案．
19．（2024八上·恩平期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.4万元，且用48万元购买A型充电桩与用54万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（用列方程的方法解答）
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过85万元，求至少购买多少个A型充电桩？
【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型充电桩的单价是3.2万元，B型充电桩的单价是3.6万元.
（2）解：设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为13，
答：至少购买13个A型充电桩．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，根据“ 用48万元购买A型充电桩与用54万元购买B型充电桩的数量相等 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，根据“ 购买总费用不超过85万元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型充电桩的单价是3.2万元，B型充电桩的单价是3.6万元；
（2）解：设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为13，
答：至少购买13个A型充电桩．
20．（2024九下·新会月考）某中学开展跨学科综合实践活动，需要准备A，B两种吸管，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：包） 总费用（单位：元）
A种吸管 B种吸管
12 15 171
24 28 332
（1）A种吸管、B种吸管每包各是多少元？
（2）该中学决定购买A，B两种吸管共100包，且总费用不超过600元，那么该中学最多可以购买A种吸管多少包？
【答案】（1）A种吸管、B种吸管每包各是8元，5元；
（2）该中学最多可以购买A种吸管33包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
21．（2024九下·南山模拟）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【答案】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，解不等式即可求出答案.
22．（2024·博罗模拟）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
（1）消毒液和洗手液的单价各是多少元
（2）学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
【答案】（1）解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：
解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）解：设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得：，
解得：．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
23．（2024八下·揭西月考）足球比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分．一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现在已比赛8场，输了1场，共得17分．问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜多少场？
（2）打满14场比赛，最高能得多少分？
（3）到比赛全部结束，若这支球队得分不低于29分，则后面的比赛至少要胜几场才能达到预期目标？
【答案】（1）5，（2）35分，（3）至少要胜3场
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
24．（2024·宝安模拟）
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
【答案】任务1：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；任务2：①；②；任务3：当时，使用无人机配送商品更合算
解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，
∴B商品购买件．
①若使用无人机配送商品，共需要元；
②若不使用无人机配送商品，共需要元．
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：当时，使用无人机配送商品更合算
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
任务2：分别根据题意列代数式即可；
任务3：根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
1 / 114.一元一次不等式——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024八下·福田期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·金湾期末）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点 100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点 设李明冲刺的速度为xm/s，可列出不等式为 ( )
A． B．
C． D．
3．（2024七下·花都期末）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024八下·龙华期末）同一个数学式子在不同情境中表示不同的实际意义，下列描述的情境符合的是（ ）
A．某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元
B．记长方形花圃的长为，宽为，该花圃的周长小于
C．小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元
D．甲乙两地相距，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了，小红走了
5．（2024七下·高要期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·赤坎期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·龙岗月考）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012﹣2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（ ）
A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48
C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48
8．（2024八下·龙岗月考）若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1
9．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024八下·龙岗月考）某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打折促销，为了保证利润率不低于5%，则的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．（2024七下·花都期末）已知关于 的方程组 ， 满足 ， 则 的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024·惠城模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（ ）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024七下·湛江期末）不等式的正整数解是 ．
14．（2024七下·湛江期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ．
15．（2024八上·深圳期中）二次根式有意义，字母的取值范围是 .
16．（2023八下·深圳期末）某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则七年级学生参加活动的人数至多是 名
17．（2024八下·宝安期中）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024七下·惠阳期末）（1）计算：；
（2）解不等式：．
19．（2024八上·恩平期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.4万元，且用48万元购买A型充电桩与用54万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（用列方程的方法解答）
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过85万元，求至少购买多少个A型充电桩？
20．（2024九下·新会月考）某中学开展跨学科综合实践活动，需要准备A，B两种吸管，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：包） 总费用（单位：元）
A种吸管 B种吸管
12 15 171
24 28 332
（1）A种吸管、B种吸管每包各是多少元？
（2）该中学决定购买A，B两种吸管共100包，且总费用不超过600元，那么该中学最多可以购买A种吸管多少包？
21．（2024九下·南山模拟）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
22．（2024·博罗模拟）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
（1）消毒液和洗手液的单价各是多少元
（2）学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
23．（2024八下·揭西月考）足球比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分．一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现在已比赛8场，输了1场，共得17分．问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜多少场？
（2）打满14场比赛，最高能得多少分？
（3）到比赛全部结束，若这支球队得分不低于29分，则后面的比赛至少要胜几场才能达到预期目标？
24．（2024·宝安模拟）
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
2．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】
解： 设李明冲刺的速度为xm/s
故选A.
【分析】
根据不等量关系：李明用25秒的时间所冲刺的路程≥110，列出不等式即可.
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：，
而，
即，
解得：；
则的最大值是2．
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法的计算方法求出，再结合可得，最后求出k的取值范围即可.
4．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】A. 列不等式为：，A不符合题意；
B. 列不等式为：，即，B符合题意；
C. 列不等式为：，C不符合题意；
D. 列等式为：，D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查根据题意列式子，把握不等关系的词语是解题的关键．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
故选：A．
【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，一元一次不等式的解法，根据点在第二象限，得到，求得a的范围，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，.
故答案为：B．
【分析】由已知等式得到2b=a+2c①，②，将①整体代入不等式可求出b＞0，将②整体代入，结合偶数次幂的非负性即可进行解答．
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的值应不小于7．
故答案为：C．
【分析】利用利润＝售价－进价，结合利润率不低于5%，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
∵，
即，
解得，
∴的最大值是2．
故答案为：C
【分析】先②-①得到，进而结合已知条件即可得到不等式，从而解不等式即可得到，再结合题意即可求解。
12．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故答案为：C．
【分析】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，得：600×﹣400≥400×20%，解不等式取x的最小值，即可得到答案．
13．【答案】1，2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由
去括号得，
移项得，，
故不等式的正整数解是1，2．
故答案为：1，2．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先利用不等式的解法，求得不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解，即可得到答案．
14．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意知，不等式为，
故答案为：．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据与17的和比的5倍小， 不等式为，即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式x-2≥0，再求解即可.
16．【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解： 设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x，根据题意，得 ： 20( 30- x ) +15x≥500，解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名.
故答案为：20.
【分析】设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x， 根据所收集的塑料瓶总数不少于500个，了列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得到结论.
17．【答案】6折
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设可以打x折，
由题意得：1100×﹣600≥600×10%，
解得：x≥6，
即最低折扣是6折．
故答案为：6折．
【分析】设打x折，根据标价乘以折扣率等于售价，售价减去进价等于利润，利润等于进价乘以利率，再结合利润率不低于10%，列式求解即可.
18．【答案】解：（1），
，
，
；
（2）
解：去分母：，
，
去小括号：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，先开立方根，然后计算平方根，小括号，最后进行加减运算，即可求解；
（2）根据一元一次不等式的解法，先去分母，然后去小括号，然后把同类项，最后化x系数化为，即可得到答案．
19．【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型充电桩的单价是3.2万元，B型充电桩的单价是3.6万元.
（2）解：设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为13，
答：至少购买13个A型充电桩．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，根据“ 用48万元购买A型充电桩与用54万元购买B型充电桩的数量相等 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，根据“ 购买总费用不超过85万元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型充电桩的单价是3.2万元，B型充电桩的单价是3.6万元；
（2）解：设购买m个A型充电桩，则购买个B型充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为13，
答：至少购买13个A型充电桩．
20．【答案】（1）A种吸管、B种吸管每包各是8元，5元；
（2）该中学最多可以购买A种吸管33包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
21．【答案】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：
解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）解：设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得：，
解得：．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
23．【答案】（1）5，（2）35分，（3）至少要胜3场
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
24．【答案】任务1：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；任务2：①；②；任务3：当时，使用无人机配送商品更合算
解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，
∴B商品购买件．
①若使用无人机配送商品，共需要元；
②若不使用无人机配送商品，共需要元．
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：当时，使用无人机配送商品更合算
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
任务2：分别根据题意列代数式即可；
任务3：根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
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