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课题:7.3.2 多边形的内角和
教材:义务教育课程标准实验教科书人教版七年级下册
授课教师:辽宁省抚顺市第十五中学 赖涛
一、教材分析：
本节课是《义务教育课程标准实验教科书》人教版七年级下册第七章第三节《多边形内角和》的第2课时。《三角形》这一章章节结构是“与三角形有关的线段”、“与三角形有关的角” 、“多边形及其内角和”、“课题学习 镶嵌”。按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级，而新教材是一种专题式设计，以内角和为主题，先三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。这样看来“多边形及其内角和”就起到了将知识应用到生活中的桥梁作用。在前一节已经学习了多边形以及多边形的对角线、多边形的内角、外角等该概念，三角形是多边形的一种，学生已经掌握了三角形和特殊的四边形（如长方形、正方形）内角和，所以这节课很适合于让学生自己去发现和总结多边形内角和公式。借助三角形的内角和将多边形可以分割成若干个三角形的方法研究多边形。
二、教学目标
知识与技能：
通过实验探索多边形内角和公式。
数学思考：
1、经历归纳、猜想、推理等过程，发展合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2、通过把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想在几何中的运用，感受从特殊到一般的认识问题的方法。
解决问题：
通过探索多边形内角和的公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验。
情感态度：
通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。
三、教学重点、难点
重点：探索多边形内角和公式。
难点：分割多边形为三角形这一过程。
四、教学方法：教师引导下的自主探究。
五、教学过程设计
问题与情境 师生活动 设计意图
创设情景：直接导入。问题：三角形的内角和是多少度？（180°）长方形的内角和等于多少度？正方形的内角和等于多少度？ 引出课题：您想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和。教师提出问题，学生积极思考并回答。 本节课直接导入，简洁明快，使学生更容易进入学习状态。建立与学生的已有知识的联系：三角形的内角和等于180°，长方形和正方形的内角和都是360°，有助于后继问题的解决。也易于学生接受。
建立模型：[活动1]问题1：猜一猜：任意四边形的内角和等于多少度？问题2：你是怎样得到的？你能找到几种方法？问题3：对比观察这些分法有什么异同点。 1、引导学生猜想：四边形的内角和等于360°。2、学生可能找到以下几种方法：①“量”——即先测量四边形四个内角的度数，然后求四个内角的和；②“拼”——即把四边形的四个内角剪下来，拼在一起，得到一个周角；③“分”——即通过添加辅助线的方法，把四边形分割成三角形。3、学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。教师深入小组参与活动，引导学生利用添加辅助线的方法把多边形转化为三角形4 、由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由。学生展示探究成果 A D B C分成2个三角形180°×2=360° D A O B C分割成4个三角形180°×4-360°=360° A D B P C分割成3个三角形180°×3-180°=360° D A B C R分割成3个三角形180°×3-180°=360°5、教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和。并提出这是数学学习中的一种常用转化的思想方法。学生积极思考，大胆发言教师给予正确的评价和鼓励。 教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和，进而猜测出四边形的内角和等于360°。四边形是多边形中的简单图形，因此，从四边形入手，有利于学生把四边形转化成三角形，从而体会转化的思想方法。鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。鼓励学生接受别人观点的同时，乐于表达自己的观点，发展学生的语言表述能力。通过总结进一步渗透转化思想。通过对比培养学生的发散思维能力。
[活动2]问题：选一种你喜欢的上述分割的方法，你能求出五边形、六边形、七边形的内角和吗？ 1、学生先独立思考，再分组活动。2、教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况。如果出现其它的解决问题的办法教师要因势利导，给予学生正确的评价。 通过增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法。同时，在四边形的基础上，继续探索连续整数边数的多边形的内角和与边数间的关系。为活动3归纳n边形的内角和与边数的关系准备素材。在探索的过程中再一次培养学生的推理能力和表达能力。
[活动3] 问题：n边形的内角和怎样表示呢？ 学生独立思考的基础上分组活动，解决问题。也有可能出现其它的解决问题的办法，教师要因势利导，给予学生正确的评价。学生归纳总结得出多边形的内角和等于以下不同形式的公式(n-2)·180°180°·n-360°180°·（n-1）- 180° 通过任意多边形转化为三角形的过程，发展学生的空间想象能力。通过多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。在探索的过程中，再一次发展学生的推理能力和表达能力，在交流与合作的过程中，感受合作的重要性。
解释与应用：问题：你能运用多边形的内角和公式解决问题吗？（1）智慧大比拼（见附录）（2）情系奥运：小明有一个设想:2008年奥运会在北京召开，他设计一个内角和是2008°的多边形图案该多有意义呀，小明的想法能实现吗？ 练习1：通过新颖的形式激发学生的竞争意识和主动参与活动的热情。学生利用当堂所学的知识解决问题，巩固本节知识。 情系奥运：引导学生利用多边形的内角和公式解释小明的设想能否实现。 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，发展学生的推理能力和语言表述能力，给学生获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心。让学生感受到数学的趣味性，以及与实际生活间的密切联系。
拓展与探究：一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520°，求这个多边形是几边形？ 小组合作探究，引导学生分析可能的每一种截取情况，根据不同截法得出不同结论。 鼓励学生积极参与思考、大胆尝试、主动探讨、勇于创新。让学生深刻的感受到合作交流的重要性，体会成功的喜悦。
反思与作业： 问题：谈谈本节课你有哪些收获？ 布置作业： 1、学生反思学习和解决问题的过程。2、鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心。教师布置，学生记录。 通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生自己在今后的学习中会不断进步，提高学生的学习热情。同时也是给教者一个反思提高的机会。通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给予适时的指导。
六、教学设计说明：
课程改革的新任务、新方法、新问题，呼唤教学理念的更新。教学理念决定教学内容和方法，教学内容是实施素质教育、为学生终身学习和终身发展奠定坚实基础的主要渠道。这就需要课堂教学必须从只限于对知识的传授点，题型的训练点，答案的得分点的研究，最后关注的是考试“分数线”中解放出来。要坚持以学生终身学习及持续发展为本，关注他们的学习方式。为此我在本课的教学设计中注重了教学方式的改变和师生角色的转化。教学方式的改变，最重要的是让学生自主学习，去发现、去探索未知的领域。师生角色的转化主要是让学生成为活动的主体，教师是课堂学习的引导者合作者。
《多边形的内角和》是七年级下册第七章第三节内容，本节内容安排两个课时。七年级的学生刚步入几何的学习，还不适应观察、实验、猜想、验证、推理与交流的学习方法，并且每个学生所处的文化环境、家庭背景、自身思维方式学习能力也不禁相同。为了更好地突出重点、突破难点，圆满地完成教学任务，取得较好的教学效果。根据教材和学生的特点，我把学生分配成若干个实验小组，指导他们动手实践、讨论、研究，将新知识转化成以学过的旧知识从中得到新的知识，让学生体会转化思想在几何中的运用,同时让学生体会从特殊到一般的思考问题的方式，同时也培养学生从特殊到一般的认识问题的方法。鼓励学生积极思考，大胆实践，勇于表达自己的看法，充分发挥其自主能动性。本节课学生在我的引导下自主探究，发现解决问题的方法。这种教学方法目的在让学生通过小组合作，主动探讨获得新知识，同时培养学生分析、归纳、概括能力，培养学生的创新意识和创造精神。
附录：
智慧大比拼
（1） n边形从一个顶点出发所画的对角线的条数是__________，这些对角线把n边形分成_____个三角形；
（2） 八边形的内角和等于______度。
（3） 如果一个多边形的内角和等于1200°，则这个多边形的边数为______。
（4） 若四边形ABCD的四个内角∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4，
则∠A=____; ∠B=____;∠C=____;∠D=____。
（5）一个多边形的内角和不可能是（ ）。
A．1800° B. 360°C. 1080°D. 910°
（6）教材例1
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课题：多边形的内角和（第1课时）
教材:新课标人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下册）
第七章“7.3.2 多边形的内角和”第1课时
授课教师：海南省农垦桂林洋中学 陈松玲
一、教学目标
1．知识目标
掌握多边形的内角和公式及其运用。
2．能力目标
通过引导学生自主探究多边形内角和公式，培养学生探究问题的方法与能力；让学生尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效的解决问题，训练学生的发散性思维和培养他们的创新精神。
3．情感目标
通过实例引入，使学生体验数学来源于生活，又服务于生活，唤起学生学数学的兴趣和应用数学的意识。在自主探究、合作交流的过程中，感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。
二、重点和难点
重点：多边形的内角和公式的探索以及运用公式进行有关计算。
难点：如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式的过程。
三、教学过程
1、情境创设，激发求知欲
多媒体投影：
（1）好漂亮的地板！这是怎么铺设的？一点空隙也没有。
（2）我们可以利用多边形设计一些美丽的图案。
（3）啊！拼不了啦，为什么呢？你能说说道理吗？
师：这里其实涉及到多边形内角和以及拼图的问题，为了掌握其中的道理，今天我们首先研究多边形的内角和。
引入课题，教师板书。
（设计意图：让学生感受数学来源于生活并应用于生活以及发现生活中数学的美，达到激趣。最后设疑，达到生疑与欲质疑，自然引入探求新知）
问题1、三角形的内角和等于多少度 如何得到此公式？
生：180 ；通过测量或剪拼发现三角形的三个内角和为180 或刚好组拼成一个平角，由此可想到通过作平行线把三角形的三个内角平移组合成平角或两直线平行同旁内角互补的方法得于验证。```
问题2、教室中有四边形的物体吗？是怎样的四边形？内角和分别是多少度？
问题3、猜一猜：任意一个四边形的内角和可能是多少度？
生：因为任意三角形的内角和为180 ，而长方形和正方形的内角和为360 ，因此可猜想：任意一个四边形的内角和为360 。
（设计意图：由已知的三角形和特殊的四边形的内角和自然过渡到探究任意四边形的内角和来创设问题情境，尊重学生已有的知识与经验，培养学生由特殊到一般探究问题的方法。）
2、师生互动，探究新知
问题4、如何验证你的猜想呢？
生：可用类似于探究三角形的内角和的方法来尝试解决此问题。
1、实践操作：单号的同学测算、双号的同学剪拼课前备好的四边形纸片的四个角。
生1：测算得到四边形的内角和为360 ；
生2：剪拼得到四边形的四个内角组合成一个周角：
生3：测算得到四边形的内角和为359 35 。
（设计意图：在“做中学”，让学生亲身体验数学发现的过程，再次增强动手操作能力和合作交流分享意识。）
师：我们知道，在测量和剪拼活动中可能会产生误差。
2、探究：你能说明自己的猜想与操作结果是否正确吗？
生1：因为360 =2X180 ，因此可以考虑通过作四边形的一条对角线刚好把四个内角分割成两个三角形的内角，从而得到四边形的内角和为360 。（图1）
生2：如图2的分割法，利用三角形的内角和和周角也可以得到四边形的内角和为360 。即：4×180 -360 =360
（设计意图：从实验几何过渡到论证几何，培养学生探究问题的方法思路和逻辑思维能力。）
(1) （2）
（3）
（4）
问题5、你能用类比的方法得出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
生1：如图3，五边形的内角和为：3×180 =540 ；六边形的内角和为：
4X180 =720 。
生2：如图4，五边形的内角和为：5×180 -360 =540 ；六边形的内角和为：
6×180 -360 =720 。
问题6、哪位同学的方法更简便些？
生：生1。
（设计意图：让学生学会用类比的方法探究问题，目的是让学生能从中找到规律，为后面求n边形的内角和打基础。）
问题7、请根据以上生1的探究过程填写下面表格的第二、三、四列。
多边形 4 5 6 n
从多边形一个顶点引出的对角线的条数
上面的对角线将多边形分成三角形的个数
多边形的内角和
问题8、你填写的数字与多边形的边数相关吗？能从中找到规律并完成第四列的探究吗？
师生共同探讨：从四边形的一个顶点可以作一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而四边形的内角和可表示为：（4-2）×180 ；同理五边形的内角和和六边形的内角和可分别表示为：（5-2）×180 ：（6-2）×180 ；以此类推从n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把n边形分割成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为：（n-2）×180 。
生：
多边形 4 5 6 n
从多边形一个顶点引出的对角线的条数 4-3 5-3 6-3 n-3
上面的对角线将多边形分成三角形的个数 4-2 5-2 6-2 n-2
多边形的内角和 (4-2) 180 (5-2) 180 (6-2) 180 (n-2) 180
（设计意图：根据新课程理念教师是课程的创造者与开发者，把课本中的文字式填空改编为表格式填空，这样使学生更容易从中发现规律，既突出重点又易突破难点。）
问题9、你能归纳出n边形的内角和公式了吗？
生：n边形的内角和等于(n-2) 180 。
（设计意图：形成公式以及培养学生的归纳能力。）
问题10、同学们对此公式有疑问吗？
教师可视学生回答情况给予如下提示：n可以是1或1/3吗？（n-2）表示什么？
问题11、刚才大家是用什么方法求出四边形、五边形、六边形的内角和的
生：通过从多边形的一个顶点作对角线把它分割成三角形，从而可以把探求多边形的内角和转化为求已知的三角形的内角和。
问题12、同学们对公式的探究还有什么问题或方法吗？
生：还可以用其它的分割方法得到公式。
问题13、好!下面以六边形为例，请同学们继续用“分割”法探究多边形的内角和公式。
请同学们分小组合作探讨，想出方法的小组派代表上黑板画出分割图形。
师：点与多边形有几种位置关系？
生：三种位置关系：点在边上（又可分为点在线段的端点和不在端点）、点在内部、点在外部。
（5）
（设计意图：让学生尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效的解决问题，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神和合作探究的良好品质。）
问题14、上面是用割的方法；可以用补的方法或做平行线的方法吗？
老师给出以下提示图，请同学们课后再次共同合作探究并再思考是否还有其它的方法。
（6）
（设计意图：进一步培养学生勇于探索求异与创新的精神以及发散性思维。培养学生带着问题走进课堂以及带着问题走出课堂的问题意识和问题能力。）
问题15、以上探究多边形的内角和公式运用了哪些思想方法？
生：运用了猜想、实验操作、由特殊到一般、类比、把未知转化为已知的转化思想等方法；从不同的角度和方面思考问题还可以得到不同的解决问题的方法。
3、范例教学
例：一个多边形的内角和为1080 ，它是几边形？（补充例题）
方法一：1080 ÷180 +2=8；
方法二：解：设这个多边形的边数为n
则 （n-2） 180°=1080
得 n=8
所以这个多边形是八边形
（设计意图：开发教师资源，突出重点，让学生掌握应用方程思想方法去解决几何问题及书写格式，体现新课改代数与几何的交汇。同时既可达到对一元一次方程的应用的复习又可为下一章学习二元一次方程组打基础。）
4、练习反馈
初步应用，巩固新知（抢答）
1、七边形的内角和等于 度；
一个n边形的内角和为1800 ，则n= 。
2、从多边形一个顶点出发可引7条对角线，则这个n边形的内角和为（ ）
A、1620 B、1800 C、900 D、1440
3、一个多边形边数每增加1条时，其内角和增加（ ）
A、180 B、360 C、不变 D、不能确定
（设计意图：与探究多边形的内角和的过程相呼应以及多边形内角和公式的基础运用，让学生人人都能获得必需的数学。） A
变式训练（可以合作交流完成） B
4、一个多边形的各内角都等于120 ，
它是 边形？ D C
5、如图（3）：在四边形A B C D中，若∠A+∠C=180 ， （7）
则∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？（课本例1改编）
（设计意图：开发教师资源，让不同的人在数学上得到不同的发展，培养学生的思维灵活性及成就感。）
探究
6、 小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008 的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？
7、把一块多边形的木料锯掉一个角后，所得的多边形的内角和为多少度？
（设计意图：对公式的深化应用。也让学生再次体会数学来源于生活并应用于生活，与导入新课相呼应，再次激起学生学数学的兴趣高潮和学以致用意识，题2设计成结论开放形以培养学生的发散性思维。）
5、课堂小结
1、这节课你掌握了哪些新知？
2、你学会了哪些重要方法？有什么启示？
（设计意图：通过自我小结，既明确了本节课的学习目标，强化了重点，理清了知识脉络，又实现了自我反馈，从而建构起自己的知识经验。）
6、作业 A B
必做题：课本第90页第4、7、
选做题：课本第91页第9题。 E F
（设计意图：巩固新知，给不同层次的学生
以不同的需要。）
七、课后思考合作交流 D （4） C
1、再探多边形的内角和公式。
2、如图（4）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度
（设计意图：培养学生课内、课外都主动合作探究学习的良好习惯与品质。）
教学设计说明：
根据教材分析和新课程理念，为了实现教学目标，本节课在教学方法上遵循“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生问题意识和问题能力为目标”的原则，采用问题性教学模式，通过创设研究问题的情境，运用“引导发现法”，并结合实验、多媒体等先进教学手段进行教学。启发、引导学生积极思考，勇于自主和合作探索新知，达到充分发挥学生的主动性、积极性的主体地位。在学法上，本节课通过设计问题串，引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程。指导学生猜想—实验—探究—归纳去发现与探索新知、引导学生从不同的角度思考问题以培养学生的发散性思维，使学生在潜移默化中领会学习方法，以培养学生会学数学。在练习中培养学生自评自纠，以提高学生的数学素养。在教学手段上采用多媒体教学，可以增大教学容量，提高教学质量和教学效率。
本教案是根据《指导纲要》的要求，结合教材内容以及新课程理念从知识、能力、情感等方面确定了教学目标；以学生身边的数学和新旧知识的切入口设计成阶梯形问题串，采用“引导发现法”，组织学生参与“猜想—实验—探究—归纳”探索新知和获得新知，在教学中还注意培养学生的合作探讨意识和自评自纠的良好习惯，从而使素质教育落到实处。新课的导入，设计了与生活相关的实际问题，结束又运用所学知识解决了实际问题，前后呼应，形成了一个课堂教学的整体。课后提高题是将上述问题进一步延伸，给学生留下了思维发散的时间和空间。
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