不等式与不等式组重点考点 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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不等式与不等式组重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
7．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有6个整数解，则满足条件的所有整数的值之和是（ ）
A．4 B．0 C． D．
10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．选择适当的不等号填空：若，则 ．
12．若不等式的两边同除以，得，则m的取值范围为 ．
13．一元一次不等式的最小整数解是 ．
14．已知不等式的解集如图所示，则 ．
15．不等式组的解集是 ．
16．某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完.已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案 .
17．2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴，与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元．
18．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示．
大 中 小
A 8 15 25
B 0 10 20
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元．
三、解答题
19．解不等式组：
20．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

21．某咖啡店提供“到店自取”和“线上配送”两种模式，收费标准如下：到店自取20元/杯；线上配送24元/杯，配送费为6元/次．选择“线上配送”模式如果总费用达到58元及以上，可用平台“满58元立减18元”优惠券一次．小明一次性购买若干杯咖啡，发现“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，求小明一次性购买了多少杯咖啡？
22．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得分，在三分线内（含三分线）投篮投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球）．所得总分不少于分，该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
23．某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
24．对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a、b的值．
②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围．
(2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系．
参考答案
1．C
题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项C正确，符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项D错误，不符合题意；
故选：C
2．A
先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．
解：
解得：，
数轴上表示不等式的解集

故选：A．
3．B
本题考查解一元一次不等式．先去分母，再去去括号，移项，再合并同类项，系数化为1可得．
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得．
故选：B．
4．B
本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集在数轴上表示出来即可．
解：令，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
故选：B．
5．C
本题考查象限内点的坐标的特点,解不等式组及表示不等式的解集，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键.根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可.
解：∵点在平面直角坐标系的第四象限，
∴，
解得：，
把解集在数轴上表示为：

故选C.
6．A
本题考查根据不等式组的解集求参数的值，以及解一元一次不等式，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的值即可．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：A．
7．A
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键．
解：由题意得，，
解得，
故选：．
8．B
本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式组的整数解等知识点．根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
解：，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
∵，
∴，
解得，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有两个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：B．
9．C
本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，先解分式方程结合解的情况得出或或，再解不等式组结合解的情况得出，从而得出的值，即可得解．
解：由分式方程，去分母得，
当即时，，
∵该分式方程的解为正整数，且，
∴或或，
解不等式组得：，
∵该不等式有解且最多有6个整数解，
∴，
∴的值为，
∴满足条件的所有整数的值之和是，
故选：C．
10．C
对于①根据新定义直接判断，②可用举反例法判断，③根据题意所述利用不等式的性质判断，④利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而列出不等式得出的取值范围即可判断，⑤根据新定义得出是的倍数，进而得出的值．
解：①，故结论正确；
②错误，比如时，，而，故结论②错误；
③为非负整数，则，不影响“四舍五入”，所以当时，故结论③正确；
④∵，
∴，
∴，故④错误；
⑤又∵且为非负实数，即：，
解得：，
若满足，则为整数，必然是的倍数，则，为整数，
则，可得，
即：当，1，2，3时，亦即当，，，时，满足的所有非负实数x的值有4个，故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤，共3个；
故选：C．
11．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
此题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，根据不等式的两边同除以一个负数，不等号方向改变，即可得到，求出m的取值范围即可．
解：不等式即，
两边同除以，得，
∴，
∴
故答案为：
13．6
先求出一元一次不等式的解集，然后问题可求解．
解：
去分母得：，
∴，
∴一元一次不等式的最小整数解是6；
故答案为6．
14．2
本题考查了数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解集的表示方法以及求解不等式的方法；
先用含a的式子表示出不等式的解集，再根据数轴上不等式的解集，即可解答；
解：
，
又由数轴可得不等式的解集为：
，
即，
故答案为：2
15．
本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键．
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为；
故答案：．
16．购买8个篮球，14个足球（或购买9个篮球，12个足球）
设购买篮球个，则购买足球的个数为（个），根据“购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出各购买方案，任写一种即可．
解：设购买篮球个，则购买足球的个数为：（个），
依题意得：，解得：，
又∵，均为正整数，
∴可以取8，9．
∴当时，；当时，；
故答案为：购买8个篮球，14个足球（或购买9个篮球，12个足球）．
17．6100
本题考查了方程和不等式的应用，解题关键是根据题意中的数量关系，设未知数，列出方程，根据等式的性质进行变形，整体代入求解．
设徽章和抱枕的价格为元，风铃的价格为元，公仔的价格为元，公仔的销售数量为件，徽章的销售数量为件，则风铃和抱枕的销售数量为件，根据题意列出方程求解即可．
解：设徽章和抱枕的价格为元，风铃的价格为元，公仔的价格为元，公仔的销售数量为件，徽章的销售数量为件，则风铃和抱枕的销售数量为件，
根据题意列方程得，，
化简得，；
徽章和风铃销售总额为，
把代入得，
，
当时，徽章和风铃销售总额的最大，最大值是(元)；
故答案为：6100．
18． 2
（1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案；
（2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可．
解：（1）∵需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次最多可放8个大尺寸陶艺品，B款电热窑不能放大尺寸陶艺品，且烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，
∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次，
故答案为：2；
（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，
∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少；
当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品，
∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务，
∴烧制这批陶艺品成本最低为，
故答案为：．
19．
先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
20．，在数轴上表示见解析
首先解不等式，可求得不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
解：去分母，得：，
移项、合并同类项，得，
解得，
所以，原不等式的解集为，
把解集在数轴上表示出来如下：

21．3杯
本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据数量关系列出一元一次方程和不等式是解题的关键．设小明购买了杯咖啡，先根据题意得出小明一定用了“满58元立减18元”优惠券，可列不等式求出x的取值范围，然后根据题意列出方程求解即可．
解：设小明购买了杯咖啡，若“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，则小明一定用了“满58元立减18元”优惠券，
故，
解得．
当时，可列方程为，
解得．
，符合题意，
小明一次性购买了3杯咖啡．
22．该班级这场比赛中至少投中了个分球．
设该班级这场比赛中至少投中了个分球，根据题意列不等式即可解答．本题考查了一元一次不等式与实际问题，审清题意明确题目中的数量关系是解题的关键．
解：设该班级这场比赛中至少投中了个分球，根据题意得，
，
解得：，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
23．(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台
(2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台
（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．
（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得：，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：，
解得：，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
24．(1)①，②
(2)
本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键．
（1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可；
（2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案．
（1）解：①由题意得，
解得；
②由题意得，
化简得
则整数解为1，2，故，
解得；
（2）解：由得，
化简得，
∵m、n为任意数，
∴不一定等于，
∴，
故a、b应满足的关系为．
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