二次函数的图象与性质重点考点 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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二次函数的图象与性质重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而减小
C．开口方向向上 D．函数最小值是
4．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图像上，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
6．数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条：
①存在函数，其图象经过点；
②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；
③函数图象有可能经过两个象限；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
上述结论中正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069 B．6066 C．6063 D．6060
8．定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值为
B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为
C．函数图像恒过两个定点和
D．当时，函数在时，随的增大而增大
9．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（ ）

A．4 B．3 C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作，使得，，连接CQ，则CQ长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
12．已知抛物线过点五点，则的大小关系是 ．
13．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ．
14．如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 ．

15．已知二次函数的图像与x轴有且只有一个公共点，且过，两点，则n的值为 ．
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)，是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式．
(2)是抛物线上一点，且．
①若，当时，求n的最小值．
②当时，n的最小值是5，求m的值．
17．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点．
(1)求，两点坐标；
(2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
18．抛物线与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，．
(1)求a的值．
(2)若点及都在抛物线上，判断m，n，p的大小关系，并说明理由．
(3)求的值．
19．如图，直线与轴、轴分别交于点A，，抛物线经过点A，，并与轴交于另一点，其顶点为.

(1)求，的值.
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，为线段上方抛物线上的一动点（点不与点重合），过点作交轴于点，交线段于点，若，请直接写出点的坐标．
21．如图，抛物线经过点，过该抛物线的顶点C作直线轴于点D，，在抛物线上，且在对称轴右侧，过点P作轴于点E．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若，求点P的坐标．
(3)如图2，横坐标为2的点F也在抛物线上，点G在线段上，且在点F的下方，当时，求点P横坐标的最大值．
22．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值；
(3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与x的变化关系．根据抛物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可．
解：∵，
∴其顶点坐标为．
∵，且，
∴抛物线开口向下，
∴．
故选C．
2．A
根据抛物线解析式求得对称轴为直线，开口向下，根据点到对称轴的远近进行判断即可求解．
本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，而点B在对称轴上，点C离对称轴最远，
∴．
故选：A．
3．B
本题考查二次函数的图象和性质，根据的图象和性质进行判断即可．
解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，当时，随的增大而增大；
综上：只有选项B说法错误，符合题意；
故选B．
4．D
本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键．
解：过点作轴，过点作于，过点作于，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∵点、的坐标分别是、，
∴，
解得：，
∴，
∵点在抛物线的图像上，
∴，
∴，
故选：D．
5．A
本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．
解：是等腰直角三角形，，
，
，，
和是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，
，
即，
y与x满足一次函数关系，
，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．
故选：A．
6．B
此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．①将点代入函数，解出的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．
解：①将代入可得：，解得：，此选项正确．
②当时，，该函数的函数值始终随的增大而减小；此选项正确；
③当时，，经过3个象限，
当时，，
抛物线必与轴相交，
图象必经过三个象限，此选项错误；
④当时，函数无最大、最小值；
时，，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正；此选项正确．
正确的是①②④．
故选：B
7．A
根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长．
解：∵△A0B1A1是等边三角形，
∴∠A1A0B1=60°，
∴A0B1的解析式为y=，
联立
解得：或，
∴B1（，），
∴等边△A0B1A1的边长为，
同理，A1B2的解析式为y=，
联立，
解得或，
∴B2（，2），
∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（21）=2，
同理可求出B3（，），
所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（-1-2）=3，
…，
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
△A2022B2023A2023的边长为2023，
∴△A2022B2023A2023的周长是6069．
故选：A．
8．C
A、把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、利用平行线的性质求得直线与过顶点平行直线的直线与轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题；
C、代入的值，验证即可解答；
D、根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答．
解：∵函数的特征数为
∴，
A、当时，，顶点坐标是，故当时，函数的最大值为，此结论正确；
B、过顶点平行直线的直线为，
所以直线与轴的交点为，而直线与轴的交点为，
所以两交点的长度为，
所以顶点到直线的距离为，此结论正确；
C、当时，，
当时，，
即函数图象恒过两个定点和，此结论不正确．
D、当时，是一个开口向下的抛物线，
其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．
因为当时，，即函数在时，随的增大而增大，此结论正确；
故选C．
9．D
根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为: ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为: ，，则抛物线:，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可．
∵如图抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为: ，，
∵将绕点旋转得，交轴于点，
∴抛物线:，
∴将绕点旋转得，交轴于点，
…，
如此进行下去，
∴抛物线：，
∵，
∴在抛物线上，
∴当时，，
故选：．
10．D
过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．
解：过点作于点，与交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
设，则，
∵，
，
，，
，
，
，即抛物线开口向上，
当时，的最小值为，
长的最小值为，
故选：D
11．
本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解．
解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，
∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
故答案为：．
12．
本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线过点，可得，即得，得到抛物线的对称轴为，再根据知抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
13．2或
本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即可．
解：由得顶点坐标为，
令，由得，，
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∵抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴或，且，
解得或，
即的值为2或，
故答案为：2或．
14．
本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到，设抛物线解析式为，求得顶点坐标为，代入求出a即可得到抛物线的解析式．
∵四边形是矩形，
∴，
又∵C、D两点在x轴，
∴轴，轴，轴，
∴，
设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
将点代入，得
∴，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
15．18
本题考查了抛物线与x轴的交点，根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求n的值．
解：∵抛物线过点，，
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴顶点为，
∴抛物线解析式为，
把代入，得：
，
即．
故答案为：18．
16．(1)
(2)①；②
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据抛物线的对称性求出m的值即可；
（2）①先求出抛物线解析式，根据二次函数的性质即可解答；②先求出n关于的二次函数解析式，在求出对称轴，根据二次函数的性质，结合题意分类讨论即可．
（1）解：∵，是抛物线上不重合的两点，当时，，，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①当时，则抛物线的解析式为：，
∵是抛物线上一点，且，
∴，即，
∴，
∵，
∴时，n随x的增大而减小，
∴时，n有最小值，最小值为；
②根据题意：，
即，
∴的对称轴为，
∵，
∴抛物线的图象开口向上，且时，n随的增大而减小，时，n随的增大而增大，时，n有最小值，
∵时，n的最小值是5，
∴，解得：；
当时，则，与题意矛盾，舍去；
当时，则，
此时，，
当时，函数有最小值，
∴，
解得：或（舍去）；
当时，则，
此时，，
当时，函数有最小值，
∴，
解得：（舍去）；
综上，m的值为2．
17．(1)；
(2)的最大值为
(3)存在，点的横坐标为，或
此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键．
（1）解方程得到，，即可得到答案；
（2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为；
（3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可．
（1）解：令，代入得：，
解得，，
∴；
（2）设直线的表达式为，把、代入得：
，解得，
∴直线的表达式为，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴当时，的最大值为．
（3）①当为平行四边形的边时，．
∴，关于直线对称
∵
点的横坐标为或．
②当为平行四边形的对角线时，设点，则点，
∵点在抛物线上
∴
解得，
∵点在第三象限
∴点在第一象限
∴点的横坐标为
综上所述：点的横坐标为，或．
18．(1)
(2)
(3)
本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数相关的性质．
（1）由，，得，把代入即可求得a；
（2）利用求出，即可可得抛物线的对称轴是直线，利用二次函数的性质即可得出可得；
（3）利用抛物线解析式求出，，从而得出结果．
（1）解：，
，
把代入得：，
解得：；
（2）解：，
，
令得，，
解得或，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点及都在抛物线上，抛物线开口向上，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
；
（3）解：把代入，
解得：，
，
令，，
，
在中，
令，，
，
．
19．(1)，
(2)抛物线的对称轴上存在一点，使为直角三角形；点N的坐标为或或或
（1）根据直线与轴、轴分别交于点A，，得令，令，进行计算得，根据抛物线经过点A，得，进行计算即可得；
（2）设，根据得，，，分情况讨论：①当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，②当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，③当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，进行计算即可得．
（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点A，，
∴令，则，
令，则，解得，
∴，
∵抛物线经过点A，，
∴，
解得；
（2）抛物线的对称轴上存在一点，使为直角三角形，理由如下：
解：设，
∵，
∴，
，
，
①当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
∴或；
②当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，
，
，
，
，
∴；
③当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，
，
，
，
，
∴；
综上，点N的坐标为或或或．
20．(1)，，
(2)或
(3)或或
（1）当时，，解得：，，当时，，由此即可得出答案；
（2）求得，作轴于，设，则，则，，得到，从而可得，求解即可得出答案；
（3）设点，求出，则，待定系数法求出直线的解析式为：，所在直线的解析式为，所在直线的解析式为，求出，则，从而得出，求出的值即可．
（1）解：抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，，
解得：，，
，，
当时，，
；
（2）解：由（1）可得，，
，，
，
如图，作轴于，

设，则，
，，
，
要使，则，
，
，
当时，
整理得：，
解得：或，
，
；
当，
整理得：，
解得：或，
，
；
当点在点的左下方时，恒成立，而恒成立，故点不能在点的左下方，
综上所述，或；
（3）解：设点，
，，
，
，
，
设的解析式为：，
将，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设所在直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
是与的交点，
，
解得：，则，
，
，
，
，
整理得：，
当时，解得：，
，点在上方运动，
，此时，
当时，
解得：或，
此时或
综上所述：或或．
21．(1)
(2)
(3)
（1）根据抛物线解析式，得到对称轴，进而求出点，再结合，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）利用平行线性质证明，得到，设，结合建立等式求出的值，进而求得点P的坐标；
（3）结合题意求出点F的坐标，作于点，证明，利用相似三角形性质得到，再利用二次函数的最值求解，即可解题．
（1）解：，
抛物线对称轴为直线，
，
,
抛物线经过点，
即，
解得，
抛物线为；
（2）解：，
,
轴于点E,
,
,
,
设，
有,,
,
整理得，
解得，
是抛物线在第一象限上一动点，
，
即；
（3）解：点F的横坐标为2，
，
即点F的坐标为，
作于点，
有,,
,
,
,
,
,
,
∵，
，
∴，
∴，
∵点在线段上，且在点下方，
∴，
∵，
∴当时，．
22．(1)
(2)
(3)存在，或或或或或或或或或或
（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
（1）解：将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或或，
∴点的坐标为或(或或；
②当为直角顶点时，，
如图3-1，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
如图3-2，
同理，
∴，
∵，点Q的横坐标为2，
∴，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
或或
，
∴，解得或5或3或（舍去）或4（舍去），
∴点的坐标为或或；
综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或．
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