一次函数的图像与性质重点考点 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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一次函数的图像与性质重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象是一条线段 B．随增大而减小
C．函数图象过一、二、三象限 D．点在函数图象上
4．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
6．若一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．关于函数，下列说法正确的是（　　）
①当时，该函数是正比例函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④不论取何值时，该函数图象必过定点．
A．①②④ B．③④ C．①②③④ D．①②③
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
11．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
12．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数，当k 时，它为一次函数；当k 时，它是正比例函数．
14．已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ．
15．如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为 ．
16．已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ．
17．对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值．
（1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ；
（2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ．
18．一次函数 与 的图象如图所示，
①随x的增大而减小
②函数的图象不经过第二象限
③
④
以上结论正确的是 .
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B在y轴上，且A点的坐标为，，，直线的表达式为．

(1)当直线l经过点B时，求一次函数的表达式；
(2)通过计算说明：不论k为何值，直线总经过点D．
20．已知在平面直角坐标系内，有两点，．
(1)写出点P到x轴、y轴的距离；
(2)求出直线的解析式；
(3)试判断点是否在此直线上？
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和．
(1)求一次函数的关系式；
(2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积．
22．如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题：
(1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)根据函数图象，写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
23．一次函数恒过定点．
(1)若一次函数还经过点，求的表达式．
(2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点B且与正比例函数的图象的交点为．
(1)一次函数的表达式；
(2)求的面积
(3)在y轴上是否存在一点P．使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．
(1)求直线的表达式和点B的坐标；
(2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①用含n的代数式表示的面积；
②当时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再代入各个选项的点计算即可得解．
解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
该一次函数的解析式为，
A、当时，，故点不在该一次函数图象上；
B、当时，，故点不在该一次函数图象上；
C、当时，，故点不在该一次函数图象上；
D、当时，，故点在该一次函数图象上；
故选：D．
2．D
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论．
解：A、当点A的坐标为时，，
解得：，
∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为时，，
解得：，
∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为时，，
解得：，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为时，，
解得：，
∴y随x的增大而增大，选项D符合题意；
故选：D．
3．C
本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
解：、∵函数，
∴函数图象是一条直线，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴随增大而增大，该选项错误，不合题意；
、∵，，
∴函数的图象经过一、二、三象限，该选项正确，符合题意；
、∵当时，，
∴点不在函数的图象上，该选项错误，不合题意；
故选：C．
4．B
本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过的象限的求解即可．
解：根据题意，该一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，，
∴，，
故选：B．
5．B
本题考查了一次函数的性质，依据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到正确结论．
解：当，，即y随x的增大而减小，故甲的说法错误；
在中，当时，，
即无论k取何值，函数必定经过定点，故乙的说法正确．
故选：B．
6．D
本题考查一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象不经过第二象限，可知，然后求解即可．
解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，
解得，
故选：D．
7．D
本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意；
B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意；
C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意；
D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意；
故选：D．
8．D
本题考查一次函数图象及性质．取连，取点P，轴轴，垂直分别为，可得均为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形进而得，继而得到线上的点为“成双点”，线上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．
解：取连，取点P，轴轴，垂直分别为，
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象l经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
∴，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
∴，解得：，
∴k的取值范围：，
故选：D．
9．A
本题考查正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据一次函数的定义、正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．
解：当时，，该函数是正比例函数，正确，故①符合题意；
若点在该函数图像上，且，
，
∴随的增大而增大，则正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则．
∴原说法错误，故③不符合题意；
令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，
故选：A．
10．D
先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解．
解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，

∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时，是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴有最小值为，
∴的最小值为，
故选：D．
11．D
求出A、B的坐标，分别求出横坐标是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4…时点的个数，再加上在两坐标轴上的点，即可得到答案．
解：当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故选：D．
12．B
本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题．
解：由题知，四边形为正方形，
轴，即、的纵坐标相同，
当时，，即，
，则，
当时，，
的坐标为，
同理可得的坐标为，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
点的纵坐标是，
故选：B．
13．
本题主要考查了一次函数和正比例函数的解析式，根据一次函数的解析式是,正比例函数的解析式是得出答案．
解：当是一次函数时，
得，
∴，
当是正比例函数时，
得且，
解得，
故答案为：，．
14．9.5
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得当时，函数取得最大值，进一步求解即可．
，
随着增大而增大，
当时，函数有最大值，
当时，，
即，
解得，
故答案为：9.5
15．
本题考查的是一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．在中，当时，，解得，即可得到点A的坐标；求出点B的坐标是，作轴于点D，证明，则，得到，则C的坐标是．利用待定系数法求出函数解析式即可．
解：在中，当时，，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
如图，作轴于点D，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴，
∴C的坐标是，
设直线的函数表达式为，把点A、C的坐标代入得：
，
解得
∴直线的函数表达式为
故答案为：．
16．
此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案．
解：把代入直线得，
，
把代入直线得，，
解得
∴的取值范围是，
故答案为：
17． 2（大于等于2即可）
本题主要考查一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键．
（1）根据“有界函数”的定义求解即可；
（2）根据可知函数（,且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．
解：（1）当时，
故M的值为：2（答案不唯一，大于等于2即可）
（2）∵
∴函数（,且）的y随x的增大而增大，
∴当时，函数的函数值为边界值，
∵,
∵边界值小于3
∴，
解得：．
故答案为：．
18．①②③
此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键．
解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限；
∴,
∴随x的增大而减小，故①正确；
函数的图象不经过第二象限，故②正确；
∵两图象交点横坐标为，
∴
∴，故③正确；
当时，，故
∴，故④错误；
故正确的是①②③．
19．(1)
(2)计算说明见解析
本题是一次函数综合题，考查了待定系数求函数解析式，一次函数的性质，坐标与图形．
（1）先求出点B的坐标，将点B坐标代入解析式可求解；
（2）延长交x轴于点E，由题意可得点，将点D代入得，可知，不论k为何值，直线l总经过点，即可得结论．
（1）解：，
又，
，
将代入，得：，
解得：，
当直线l经过点B时，直线l的解析式为：；
（2）解：延长交x轴于点E，
，，
，
将代入得：，
即不论k为何值，直线l总经过点D．
20．(1)点P到x轴的距离为2；点P到y轴的距离为3
(2)
(3)当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上
本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征：
（1）根据点的坐标的意义求解；
（2）利用待定系数法求直线的解析式；
（3）计算自变量为时，函数值为，于是可判断当时，点B在此直线上，否则不在．
（1）解：∵P点坐标为，
∴点P到x轴的距离为2，
点P到y轴的距离为3；
（2）解：设直线的解析式为，
把、分别代入得，
解得，
∴直线AP的解析式为；
（3）解：当时，，
若，解得，
∴当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上．
21．(1)
(2)
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键．
（）利用待定系数法解答即可；
（）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可；
（1）解：∵一次函数的图象过点和，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴．
22．(1)，图象见解析
(2)当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
(3)或6.2
（1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可；
（2）根据图象进行解答即可；
（3）根据函数解析式分别求出当时x的值．
（1）解：当时，点P在上，；
当时，点P在上，，
综上，．
y与x的函数图象如图所示，
（2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
（3）令，；
令，．
∴当时x的值为或6.2．
23．(1)
(2)证明见解析
本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质：
（1）把点，代入，即可求解；
（2）把点代入可得，，从而得到，再整理即可求解
（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴的表达式为；
（2）解：把点代入得：
，即，
∴，
∵点和点分别在一次函数和的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
24．(1)一次函数解析式为
(2)3
(3)点P的坐标为或或或
本题主要考查待定系数法求一次函数、等腰三角形的判定和性质，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）分三种情形讨论求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：对于一次函数的表达式，
当时，，
∴，
∴，
则的面积；
（3）解：存在，理由如下：
设点，
由点的坐标得：，
当时，则，则，
∴点的坐标为或；
当时，则，
解得，，
∴点的坐标为，
当时，则，
解得：（舍去）或8，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
25．(1)，点的坐标为
(2)①；②；③的坐标为或或．
本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可；
（）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解；
②由①的结论，再建立方程求解即可；
③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标；
（1）解：∵直线：交轴于点，
∴，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点的坐标为，
（2）解：∵直线垂直平分，，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
②∵，
∴，
解得：，
∴点；
③当点在轴上时，设其坐标为，
∵，
∴或，
∴点的坐标为或；
当点在轴上时，设其坐标为，
∵，
∴或，
∴点的坐标为或，
综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或．
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