一次函数的应用与综合重点考点 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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一次函数的应用与综合重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．若要把直线的图象变为直线的图象，则下列平移方法正确的是（ ）
A．向下平移 10个单位 B．向上平移10个单位
C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
2．如图，直线过点和点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
4．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线分别与交于点，与轴交于点．若，则下列范围中，含有符合条件的的（ ）
A． B． C． D．
6．直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
7．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ）
A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟
8．一个容器内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第12min后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量始终不变，容器内水量（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示．
根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；②时，；③当时，；④当时，，或．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
二、填空题
11．直线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的新的函数图像的解析式为 ．
12．直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 ．
13．如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，、两点的坐标分别为、，点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是
15．如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ．
16．将正方形和正方形按如图所示方式放置，点和点在直线上，点和点在轴上，若平移直线至经过点，则直线向下平移的距离为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向右平移6个单位得到直线，直线与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式和点的坐标；
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出A、D所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由．
18．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
(1)请写出y与x的函数关系式．
(2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？
19．如图，直线经过点，．
(1)求直线的表达式；
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________．
(2)当时，求点P的坐标．
(3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围．
(4)连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标；
(3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点M，使得与新直线的夹角为，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C．
(1)求直线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案
1．B
本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减，求解即可，熟练掌握一次函数的平移是解此题的关键．
解：∵，
∴要把直线的图象变为直线的图象，原图象向上平移了个单位，
故选：B．
2．C
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果．
解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过点，
方程的解是，
故选：C．
3．A
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点．
解：∵关于的方程的解为，
∴直线一定经过某点的坐标为，
故选A．
4．A
本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答．
解：∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数与的交点坐标为．
故选：A．
5．D
两直线与y轴的交点相同为（0，-2），求出A与B坐标，由S△GAB＜S△GOA，得AB＜OA，由此列出不等式进行解答．
∵直线l1：y=kx-2与x轴交于点A，直线l2：y=（k-3）x-2分别与l1交于点G，与x轴交于点B．
∴G（0，-2），A（ ，0），B（ ，0），
∵S△GAB＜S△GOA，
∴AB＜OA，
即 ，即
当k＜0时， ，解得k＜0；
当0＜k＜3时，，解得k＜0（舍去）；
当k＞3时，，解得k＞6，
综上，k＜0或k＞6，
∴含有符合条件的k的是k＞3．
故选D．
6．A
根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④．
解：∵直线与的图象交于点，
当时，，
∴当时，，
∴关于的方程的解是，故①正确；
∵直线与的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴过一、二、三象限，随的增大而增大，
由直线与的图象交于点，作图如下：
由图可知，不等式的解集是，故②正确；
∵与的图象交于点，
∴当时，，
∴直线一定经过定点，故③正确；
如图，当时，原点到直线的距离最大
∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得；故④错误；
综上，正确的结论是①②③；
故选：．
7．B
本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键．
根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可．
解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，
∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；
令，
当时，，
解得（舍去）；
当时，，
当时，解得；
当时，解得；
当时，可得，
解得；
综上，的值可能为5或11或17，不可能为9，
故选：B．
8．C
根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速度，从而求出第12min时容器内水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式，再对各个选项逐一判断即可．
解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法正确；
出水的速度为：5 （27.5 20）÷（10 4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12 4）×（5 3.75）＝30（L），
故③说法正确；
15÷3＝3（min），12＋（30 15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④错误；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得，
解得，所以4≤x≤12时，
y＝x＋15，故说法②正确．
所以正确说法的个数是3个．
故选：C．
9．B
将已知条件代入选项中进行分析判断．
解：①函数与互为“对称函数”，
，，
，互为相反数，
与的图象关于轴对称，
符合题意；
②与是“对称函数”，
，
与互为相反数
，
符合题意；
③函数与函数互为“对称函数”，
，，
即，
求得：，
，
不符合题意；
④函数向右平移个单位得到函数，
，
即
解得：或，
不符合题意．
故选：B．
10．A
作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故选A．
11．
本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出结论．
直线先向左平移2个单位，
得到，
再向下平移3个单位，
得到，
平移后的解析式为．
故答案为：．
12．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识点，能根据图象得出正确的信息（两函数的交点坐标和直线与轴的交点坐标）是解此题的关键．
根据图象得出两函数的交点坐标是，直线与轴的交点坐标是，再根据图象求出不等式组的解集即可．
解：从图象可知：两函数的交点坐标是，
直线与轴的交点坐标是，
所以不等式组的解集是．
故答案为：．
13．17
本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解．
解：设x与y的关系式为
由题意得∶
解得∶
∴x与y的关系式为：，
当时，
故答案为：．
14．
本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是求解一次函数的解析式．平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论．
解：∵将直线沿轴向右平移个单位．
∴平移后的直线解析式为．
∵四边形为平行四边形，且点，
∴，
∴点．
∵平移后的直线与边有交点，
当直线过，
∴，
解得：，
当直线过，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
15．
如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得．
解：如图，作轴于，
由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
故答案为：．
16．2
本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
先求出点的坐标为，从而求出点的坐标为，得到，再由四边形为正方形，点在x轴上，得到，进而得到点坐标，再得到平移后的函数表达式，由此即可得到答案．
解：∵四边形为正方形，点，
∴．
∴点的坐标为
又∵四边形为正方形
∴点的横坐标为1，
∵点在直线上，
∴点的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，点，在轴上，
∴，
∴
∴
设直线经过向下平移个单位到点，设平移后的函数表达式为
∴
得到
故答案为：2 ．
17．(1)，；
(2)存在，或
（1）利用待定系数法求得直线的函数表达式，再利用平移的性质得到直线的函数表达式为，据此即可求解；
（2）由题意得，求得，分情况讨论，利用待定系数法即可求解．
（1）解：设直线的函数表达式为，
将点代入，得
，解得，
所以直线的函数表达式为；
将直线向右平移6个单位，得到，
即直线的函数表达式为，
令，得，即；
（2）解：因为，
所以，，，即，
所以，即，
所以，所以或；
在中，
①，得，所以此时点的坐标为；
设此时A、D所在直线的函数表达式为．
将点代入，得
，解得，
所以此时、所在直线的函数表达式为；
②，得，所以此时点的坐标为．
设此时A、D所在直线的函数表达式为．
将点代入，得
，解得，
所以此时A、D所在直线的函数表达式为．
综上可知，直线的函数表达式为或．
18．(1)；
(2)这个月该户用了11吨水．
本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可；
（2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可．
（1）解：由题意得，分2种情况讨论：
①当时，；
②当时，；
与x的函数关系式为．
（2），
该户居民用了超过6吨水，
当时，，
解得：，
答：这个月该户用了11吨水．
19．(1)
(2)
(3)
本题考查了一次函数的解析式，二元一次方程组的求解和一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点的坐标；
（3）根据图形，找出点右边的部分的的取值范围即可．
（1）解：∵直线经过点，，
∴
解得：
∴直线的表达式为：．
（2）解：直线与直线相交于点C，
∴
解得：
∴点C的坐标为．
（3）解： 由图可知，不等式为点右边的部分，
∵直线与直线相交于点C，，
∴关于x的不等式的解集．
20．(1)，
(2)点P的坐标为
(3)
(4)或
（1）根据，得到当时，；当时，，即可得到与坐标轴的交点坐标；
（2）时，得到方程，解到，再求出对应y值即得；
（3）求出点P在点和时的m值，即得；
（4）求出，根据，，，即可求得m值．
（1）在中，
当时，；当时，，；
∴，；
故答案为：，，
（2）当时，
有，，
解得，，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）当P点在时，代入，得；
当P点在时，代入，得；
∴当P点在第四象限时；
（4）或． 理由：
当时，，解得，∴，
∴．
∵，，，
∴ ， 得；
或， 得．
21．(1)
(2)的最小值为，
(3)M的横坐标为或
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）证明，求出点M、H的坐标分别为：，即可求解．
（1）解：∵，则点，
将点B的坐标代入函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（2）解：作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点，
理由：为最小，
点B与点关于直线的对称，
，
设，
，则，
解得：或（舍去，不符合题意）
，
，
，
，
的最小值为：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
；
（3）存在，理由：
解：将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了2个单位，
则，设该直线交y轴于点，
设符合条件的点为点M、，
过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M和y轴的平行线于点N，
则为等腰直角三角形，则，
设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
则且，
解得：且，
则点M、H的坐标分别为：，
由题意得，点M、关于点H对称，
由中点坐标公式得，点；
综上，点M的横坐标为或．
22．(1)直线的解析式为，点C的坐标为
(2)
(3)、、
（1）根据直线的关系，设直线的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线与直线，即可求得点的坐标；
（2）求出点P坐标，将四边形周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可；
（3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解．
（1）解：直线与直线平行，
设直线解析式为，
将代入得：，
解得：
直线的解析式为
联立直线与直线得：
，解得
点C的坐标为；
（2）解：设点P，
由得：
解得：，
则点
由题意可知，，
作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接，如下图：
则，，，
由题意可知：，
∴四边形为平行四边形，
∴
四边形周长为
∵定长
∴四边形周长最小，即最小，也就是最小
得到：P、N、F三点共线时最小，
设直线所在直线的解析式为
将、代入得
，解得
，令，
解得，即
∴；
（3）解：，绕O点顺时针旋转得到，
过点作于点，如下图：
则，
∴
∴，
G点坐标为，
设直线的解析式为：，
则解得：，
直线的解析式为：，
∴，，
以为邻边时，则，如下图：
又∵，F是直线上的一个动点
∴点E为直线上，即点E与点D重合，
点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F坐标为；
以为邻边时，如下图：
由上述可得，点E为直线上，即点E与点D重合，
点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F坐标为
以为对角线时，则的中点，
设，
由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称，
则，解得
点F的坐标为；
综上所述、点F的坐标为、、．
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