一反比例函数重点考点 归纳练 2025年中考数学一轮复习备考

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一反比例函数重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（ ）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
2．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系：
x/厘米 1 2 3 5
y/米 14 7 2.8
当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（ ）
A．7米 B．14米 C．21米 D．28米
3．如图，在平面直角坐标系中有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的点C，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象经过格点B，且，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．2
4．函数y＝（2m﹣1）是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（ ）

A． B．6 C． D．
7．如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）

A． B． C．4 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点 C，交于点D．若，的面积为2，则k的值为（ ）．
A． B． C．5 D．6
10．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过的两个顶点，，的另外两个顶点，均在轴的正半轴上，若的面积等于9，则的值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为 ．
13．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是b，则 ．
14．已知点在反比例函数的图象上，该反比例函数的图象上另一点A的横坐标为6，则A点的坐标是 ．
15．若函数是反比例函数，则 ．
16．反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是 ．
三、解答题
17．【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？
【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象．
(1)写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整．
①列表、取值（这里自变量x的取值范围是 ）
x …… 0 2 3 4 5 6 7 ……
y …… m 6 3 2 1.5 n 1 ……
表格中 ， ．
②描点连线．

(2)认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题：
①函数的图象是由函数的图象向 平移 个单位长度得到的，其对称中心的坐标是 ；
②写出函数的增减性性质： ；
【应用】在上面的坐标系中画出函数的图象，
利用你所画的图象，直接写出不等式的解集： ．
18．【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：．
图① 图② 图③
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明又取物距．
①当时，________（用含有f的代数式表示）；
②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
(3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题：
①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像；
②试说明：．
19．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，．
(1)______，______，______．
(2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．【背景素材】
预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值．
某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段．
【解决问题】
（1）求关于的函数表达式．
（2）求“药熏消毒”的有效消毒时间．
（3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点，
(1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标；
(2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围；
(3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后与函数的图象交于点．
(1)写出平移后的直线表达式；
(2)求反比例函数的函数表达式；
(3)已知点（其中）是x轴上一点，过点Q作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图象于点N．
①当时，求的长度；
②诺，结合图象，直接写出n的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点
(1)求一次函数的表达式和点B的坐标．
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标．
参考答案
1．B
本题考查了反比例函数的的几何意义，根据题意得出点D坐标为，进而求得反比例函数的解析式为，则，根据，即可求解．
解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴点D坐标为，
∴，即反比例函数的解析式为，
∴，
∴．
故选：B．
2．D
本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可．
解：根据题意：设与之间的函数表达式为，
，
，
与之间的函数表达式为；
当时，米，
当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米．
故选：D
3．C
根据反比例函数的对称性可得点A的横坐标为，点C的横坐标为，进而表示点A、C的纵坐标，由，可求出CH，即点A、C纵坐标的差，可求出k的值．
解： 如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）与反比例函数y= （k≠0，x＜0）的图象关于y轴对称，延长GF交x轴于M，设AB交y轴于N．
∴，NH=OM=，
∵点A、C在反比例函数y=的图象上，
∴A，C，
又∵，
∴AB CH=1，
∵AB=3，
∴CH=，
∵点A、C纵坐标的差是CH，
即，
解得k=，
故选C．
4．C
根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍即可．
根据题意得：，
解得：且，
∴m＝1．
故选：C．
5．B
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由题意易得，然后利用反比例函数的性质求解即可．
解：由反比例函数，可知：，
反比例函数的图象在二、四象限，
点、在第四象限且点在点的左侧，点在第二象限，
．
故选：B．
6．C
根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…

其斜边的中点C1在反比例函数y=，
∴C1（2，2），即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a 此时C2（4+a，a），代入y=，得：a（4+a）=4，
解得：，即：y2=；
同理：y3=；
y4=；
……
；
∴y1+y2+…+y8=
=
=
=；
故选：C.
7．D
连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，，推得，求解即可，注意．
解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：

∴，
又∵，，
∴；
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
解得：（正数舍去），
故选：D．
8．A
过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值．
解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，
∵A，B为函数与x轴、y轴的交点．
∴当时，；当时，，
∴，，
∴，；
∵是正方形，
∴，
∴，
∵
∴
在和中
∴，
同理可证得：，
∴
∴，，
∴，，
把，代入中，
解得：，
把代入中，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
连接，过点D分别作轴于点G，轴于点E，过点C作轴于点F，根据，可求，，即求出，再根据点D的坐标为可求，最后根据梯形的面积即可求出结果．
解：连接，过点D分别作轴于点G，轴于点E，过点C作轴于点F，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，轴，轴，
∴四边形为矩形，
，
设点D的坐标为，则，，，
∴所以点C的坐标为，则有，
，
，，
，
又，
，
，
故选A．
10．B
作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，由反比例函数k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=|k|=2，由S△OAF+S四边形EFBC=4，得S△BGC=2S△OEF，又由△OEF∽△OGB列比例式把EF用含m、n的式子表示出来，再代入S△BGC=2S△OEF，化简后即可求出m的值．
作BG丄x轴于G点，
设A(m，)，B(n，)，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45 ，
∴∠BCG=45
∴∠CBG=45
∴GB=CB=
∵AE丄x轴，
∴OE=m，
∵A、B两点都在上，
由k的几何意义可知
S△AOE=S△BOG=，
∵S△OAF+S四边形EFBC=4，
即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，
2-2S△OEF+2+S△BCG=4，
∴S△BCG=2S△OEF，
由轴，BG丄x轴，
得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
得 ，
，
∵m＞0，
∴ ，
故选B．
11．13
本题主要考查了反比例函数与几何图形，
作轴，作轴，设点，可得点，，进而表示.
再根据的面积等于9列出方程，可求出答案．
解：过点A作轴，于点F，点B作轴，于点E，
∴．
设点，则点，，
∴．
∵的面积等于9，
∴，
即，
解得．
故答案为：13．
12．
本题考查了由平移方式确定点的坐标，反比例函数解析式的求法，理解由平移方式确定点的坐标是解答关键．
根据由平移方式确定点的坐标求出点的坐标，再求出反比例函数解析式．
解：，将线段平移得到线段，点的对应点是，
向左平移了4个单位，向上平移了1个单位，
平移后对应的点,
设反比例函数解析式为，
将点代入得，
，
．
故答案为：．
13．
本题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．
反比例函数，
当时，随的增大而增大，
且函数的最大值是，
当时，，
反比例函数，
当时，随的增大而减小，
且函数的最大值是，
当时，，
．
故答案为：．
14．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，先将代入求出k的值，再将点A的横坐标代入解析式即可．
解：点在反比例函数的图象上，
，
，
当时，，
A点的坐标是，
故答案为：．
15．
本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据自变量的次数是，系数不等于0列式求解即可．
解：∵是反比例函数，
∴且，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查了反比例函数中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，解答本题的关键是正确理解的几何意义．
由反比例系数的几何意义可得答案；
由四边形的面积矩形的面积（三角形的面积三角形的面积），解答即可求解；
连接，点是的中点可得和的面积相等，根据的面积的面积、与的面积相等解答即可求解．
解：由于、在同一反比例函数图象上，
则与的面积相等，都为，正确；
，
又矩形、三角形、三角形为定值，
则四边形的面积不会变化，正确；
连接，点是的中点，
则和的面积相等，
的面积的面积，与的面积相等，
与的面积相等，
与的面积相等，
点一定是的中点，正确；
故答案为：．
17．(1)
；②图见解析
(2) 右 1 当或时，y随x的增大而减小 或
（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当时和当时，代入即可求得m，n的值；
②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可．
（2）①当时，将其代入和中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解；②由（1）得，联立方程组，解得或，进而可求得解集．
（1）解：①由题意得：，解得：，
自变量x的取值范围是；
当时，，
；
当时，，
；
故答案为：；；；
②连线如图：

（2）①当时，代入得：，代入得：，
，
函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的，
由于的对称中心的坐标是，
则的对称中心的坐标是，
故答案为：右；1；；
②由（1）得：，
当或时，y随x的增大而减小，
故答案为：当或时，y随x的增大而减小；
由题意得：，
解得：或，
不等式的解集为：或，
故答案为：或．
18．(1)放大
(2)①；②等大，图见详解
(3)①，图见详解②见详解
本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答．
（2）①把代入，得出，
②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答．
（3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答．
②∵，，则，所以，即可作答．
（1）解：∵，
把代入
∴
得出
∴
∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，
故答案为：放大；
（2）解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且
∴把代入
得
∴
故答案为：；
②当时，在图②中画光路图，如图所示：
∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下：
即
∵
∴
∴
即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，
（3）解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且
∴y与u之间的函数表达式
解：依题意，列表：
描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示：
②∵，
∴
∴
∴
19．(1)8；；3
(2)当时，；当时，；
(3)或
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案；
（3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
（1）反比例函数的图象经过，两点，
，，
，，反比例函数解析式是，
把，分别代入得，
，
解得：，
故答案为：，，；
（2）由（1）知，一次函数解析式为，
由题意得，，，
，，
当时，；
当时，；
（3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下：
由（1）知，直线的解析式为，
令，则，
令，则，
∴，
∴，，
∴，，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当时，，
过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当时，同①的方法得，；
即满足条件的点Q的坐标为或．
20．（1）；；（2）有效消毒时间段为；（3）实际生活中有效消毒的时间段为或
本题考查了一次函数和反比例函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；
（3）分当和、时，三种情况讨论，求解即可．
（1）解：设当药物释放阶段（即）时，
设，
把，代入，
得，解得，
∴；
设当药物释放后（即）时，设，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）把分别代入，得，
解得，
由图象，得；
（3）当时，
把代入，得，
解得；
把代入，得，满足题意；
．
（2）时，把代入，
得，
解得（舍去）；
∴无解；
（3）时，（即）
①把代入，得，
解得；
把代入，解得，满足要求（），
∴；
②把代入，
得，
解得；
把代入，解得，满足要求（），
∴
综上，或
21．(1)，
(2)，或
(3)P点坐标为，Q点坐标
或P点坐标为，Q点坐标．
（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可．
(2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可．
（3）分，为对角线两种情况讨论解答即可．
（1）解：将点代入反比例函数，
得，
∴，
∵，
解得或，
∵A在第三象限，
∴，．
（2）解：把，分别代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
故关于x的不等式的解集是：或．
（3）存在
分类讨论：
解：①为矩形对角线时，如图
∵，，，
设，则，
，
，
时，为矩形的边，此时为矩形，
，
代入解得或
P点坐标为，
设Q点坐标为，
，
解得
得到Q点坐标．
P点坐标为，Q点坐标
②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标，
∵，，，
设，，
当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标，
∴，
则Q点坐标：，
此时为矩形，得，
代入得到，
解得，，，
则P点坐标为，Q点坐标．
22．(1)
(2)
(3)①；②或
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
（1）根据一次函数平移法则“左加右减，上加下减”即可求出平移后的一次函数解析式；
（2）将点代入平移后的一次函数解析式求出m的值，记得点Q的坐标，再将坐标代入反比例函数即可；
（3）①将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出点M，N的纵坐标值，相减即可得出结果；②当时，存在两种情况，过点P与y轴平行的直线在两函数交点的两侧时，列不等式解不等式和由图象可直接得出．
（1）解：直线向上平移2个单位长度，
平移后的一次函数解析式为：，即，
故答案为：
（2）解：点在直线的图象上，
令，则，
，
点在函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为：；
（3）解：①当时，．
∵反比例函数的表达式为，直线解析式为．
∴．
∴；
②∵点，轴，
∴．
由．
解得：或（舍）．
∴交点．
分两种情况：
当时，如图2．
∵．
∴，
∴；
即当时，．
当时，如图3．
∵．
∴．
∴，
如图4，函数与在第一象限的交点为．
∴．即时，．
综上，a的取值范围是或
23．(1)，
(2)或
(3)或
（1）将点代入之中得点，再将点代入之中得，由此可得一次函数的表达式；解方程组可得点的坐标；
（2）根据点，，结合函数的图象可得出不等式的解集；
（3）过点作轴于，过点作轴于，则，，再求出，则，进而，则的面积是4，设，分两种情况讨论如下：①当点在点的上方时，则点，根据得，由此解出，进而可得点的坐标；②当点在点的上方时，则点，同理得，进而可得点的坐标，综上所述即可得出答案．
（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
点，
一次函数的图象经过点，
，
解得：，
一次函数的表达式为：，
解方程组，得，，
点的坐标为，
故一次函数的表达式为，点；
（2）解：一次函数与反比例函数的图象交于，，
不等式的解集为：或；
（3）解：过点作轴于，过点作轴于，如图1所示：
点，点，
，，
对于，当时，，
一次函数与轴的交点的坐标为，
，
，
的面积是的面积的，
的面积是4，
设，
分两种情况讨论如下：
①当点在点的上方时，则，如图2所示：
点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为；
②当点在点的下方时，则，如图2所示：
点的坐标为，
同理：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
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