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二次根式 单元综合强化训练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列运算正确的是的（ ）
A． B． C． D．
4．已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．12 B．4 C．3 D．2
5．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．的值为( )
A． B． C． D．
7．实数a、b在数轴上的位置如图，则 的值为（ ）
A．﹣2b B．2a C．﹣2a D．2b
8．估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． ， D．
10．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12．已知x，y是有理数，且，则化简的结果为 .
13．二次根式可化简为 ．
14．已知，，则代数式的值为 ．
15．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（△）﹣（2△3）＝ ．
16．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）求的值；
（2）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
18．先化简，再求值：当时，求的值．小宁的解答过程如下：
原式＝第一步
第二步
＝1 第三步
（1）小宁的解答从第 步出现错误的，错误的原因是 ．
（2）写出正确的解答过程：
19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度后到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－2|＋（m－）2的值.
20．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
21．已知p=
（1）求p的值；
（2）求证：2< p<3．
22．一个三角形的三边长分别为 .
（1）求它的周长（要求结果是最简二次根式）；
（2）请你给出一个适当的 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长.
23．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
25．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
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二次根式 单元综合强化训练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A选项：，不是最简二次根式，故A选项错误；
B选项：，不是最简二次根式，故B选项错误；
C选项：，是最简二次根式，故C选项正确；
D选项：，不是最简二次根式，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断，即可得到答案.
2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，即x≥-3，
故选：B.
【分析】二次根式有意义，即被开方数为非负数.
3． 下列运算正确的是的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是被开方数完全相同的最简二次根式，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A选项；根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍及二次根式的性质可判断B选项；在式子的分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母有理化可判断C选项；二次根式的性质：（a≥0）可判断D选项.
4．已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．12 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵==，
当n = 3时，是整数，
正整数n的最小值为3，
故答案为：C.
【分析】先化简二次根式，再找出n的最小值.
5．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：若代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，且 .
解得 ，且
∴ .
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
6．的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 解：
故答案为：C.
【分析】根据逆用积的乘方公式，简算即可.
7．实数a、b在数轴上的位置如图，则 的值为（ ）
A．﹣2b B．2a C．﹣2a D．2b
【答案】A
【解析】【解答】解：由数轴可知b＜-a＜0＜a＜-b，
∴b-a＜0，a+b＜0，
∴原式=-（b-a）-（a+b）
=-b+a-a-b
=-2b，
故答案为：A.
【分析】根据a、b在数轴上的位置得出b＜-a＜0＜a＜-b，依此去绝对值和进行二次根式的化简，然后合并同类项，即可求出结果.
8．估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【解析】【解答】解：＝=.
∵3＜＜4，
∴7＜＜8
故的运算结果应在7和8之间.
故答案为：C.
【分析】进行二次根式的乘法运算，即得结果，再估算无理数的值即可.
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． ， D．
【答案】C
【解析】【解答】解：选项A： ，故A答案错误；
选项B： ，故B答案错误；
选项C：当 均大于等于0时， ，故C答案正确；
选项D： ，故D答案错误.
故答案为：C.
【分析】根据分式的加、减法法则，积的乘方，实数的运算法则求解即可.
10．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
【答案】x≥2023
【解析】【解答】解：由题意得x-2023≥0，
解得x≥2023.
故答案为：x≥2023.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
12．已知x，y是有理数，且，则化简的结果为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，
将代入 ，解得，
，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0得到，代入可求出y，最后进行计算化简即可.
13．二次根式可化简为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质与化简解答即可.
14．已知，，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴m+n=4，mn=4-2=2
故答案为：.
【分析】将已知的两个等式相加或相乘可得m+n=4，mn=2，然后将待求式子利用配方法变形为，再求出m+n、mn的值代入计算即可.
15．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（△）﹣（2△3）＝ ．
【答案】﹣+4
【解析】【解答】解： （△）﹣（2△3）
＝（+）﹣（2-3）
=+-2+3
=﹣+4
故答案为：﹣+4.
【分析】根据规定，将式子转化为平常的式子，再去括号，合并同类二次根式.
16．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
【答案】2024
【解析】【解答】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：．
故答案是：2024．
【分析】由，再根据绝对值的性质化简，即可求出所对应的y值的总和.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）求的值；
（2）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1）解： ， ，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
的整数部分是 ，
，
，
，
，
的整数部分是 ，小数部分 ，
，
，
的值为 ．
【解析】【分析】（1）xy由平方差公式即可求出，可以由表示，将，代入即可求出答案；
（2）因为，，即可推出：，则，即b=3；又因为x的小数部分为a，首先要将x的小数部分表示出来，，即，所以，然后将a，b代入式子中，由平方差公式与二次根式的混合运算法则即可求出答案.
18．先化简，再求值：当时，求的值．小宁的解答过程如下：
原式＝第一步
第二步
＝1 第三步
（1）小宁的解答从第 步出现错误的，错误的原因是 ．
（2）写出正确的解答过程：
【答案】（1）二；性质用错：（当时，．）
（2）解：原式＝a+a－1＝2a－1当a＝9时，原式＝2×9－1＝17．
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可得：1-a=1-9<0，∴，∴从第二步开始不符合题意，故答案为：二，性质用错：（当时，．）
【分析】（1）先求出，再求解即可；
（2）利用二次根式的性质，将a的值代入计算求解即可。
19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度后到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－2|＋（m－）2的值.
【答案】（1）解：根据题意得：，
∴的值为；
（2）解：当时，
.
【解析】【分析】（1）由题意可得m=，然后根据二次根式的加法法则进行计算；
（2）将m的值代入并结合二次根式的混合运算法则进行计算即可.
20．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
【答案】（1）解：∵b= -a+ 10，
∴ab=10，b=-a+10，∴a+b= 10．
（2）解：∵a，b满足x2- =0∴x2=
∴x2= = =8，∴x=±
【解析】【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出ab的值，再代入条件，即可求出a+b的值；
(2)根据条件把x2用含a、b的代数式表示，然后利用完全平方式变形，再代值计算，最后求平方根即可.
21．已知p=
（1）求p的值；
（2）求证：2< p<3．
【答案】（1）解：p=
= -1
（2）证明： < < ，
∴3< <4，
∴2< -1<3．即2
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）根据算术平方根得出，得出，即可得出答案.
22．一个三角形的三边长分别为 .
（1）求它的周长（要求结果是最简二次根式）；
（2）请你给出一个适当的 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长.
【答案】（1）解：周长=
=
=
=
（2）解：当 时，周长= .（不唯一）
【解析】【分析】（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题.
23．已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．
（1）求长方形的周长；
（2）当 时，求正方形的周长．
【答案】（1）∵a = = ，b = = ，
∴长方形的周长是：2(a+b)=2( + )= ；
（2）设正方形的边长为x，则有x2=ab，
∴x= = = = ，
∴正方形的周长是4x= ．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后列式计算即可；（2）利用二次根式乘法计算即可得出答案．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
【答案】（1）解：∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴ ，
∴ ，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）解：∵点 在在直线l上，
∴ +2＝t，
∴t1＝1+ ，t2＝1- ．
∵ ＝（t2+ ）2-2，
t2+ ＝（t+ ）2-2
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2，
t＝1+ 时，t+ ＝1+ + ＝1+ + -1＝2 ，
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
当t＝1- 时，t+ ＝1- + ＝1- -1- ＝-2 ．
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入，解析式，解方程得出t1＝1+ ，t2＝1- 进而分类讨，根据完全平方公式，即可求解．
25．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：
（2）解：
当，时，
原式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、完全平方公式、二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）先利用分式加法法则和除法法则化简得到最简结果，再代入字母的值计算即可
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