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圆 单元专项提升测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是四届冬奥会微的部分图案，其中既是铀对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，的半径为，点A为上一点，的垂直平分线分别交于点B，C，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（ ）
A．2 B．1 C． D．2
4．有下列四个命题，其中正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．点P为半径为3的⊙O上一点，若PQ=3，则点Q与⊙O的位置关系为（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．都有可能
6．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ）
A．圆上各点到圆心的距离相等 B．直径是圆中最长的弦
C．同弧所对的圆周角相等 D．圆是中心对称图形
7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
8．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
9．如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，直线OP交于点D，E，交AB于点.有下列结论：
①；②；③；④.其中正确的有( )
A．①③④. B．②③④. C．①②③. D．①②④.
10．如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点.则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为 ．
12．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
13．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是 ．
14．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是 ．
15．如图.，在扇形OAB中，，，则阴影部分的面积是
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=，点P在矩形内运动，且始终满足∠APB=150°，则DP的最小值为
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
18．如图，平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
19．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．
（1）求弦BC的长；
（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin67.4°= ，cos67.4°= ，tan67.4°= ）
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．
（2）求⊙O的半径r．
21．如图，在等腰直角三角形 ， ，以 为直径作 ，点 是边 上的一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ， .
（1）求证： .
（2）若 的直径为 ， ，求出 的面积.
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）.
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算在该旋转过程中Rt△A1B1C1扫过部分的面积.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，⊙O的半径为6，求弓形AF的面积.
24．如图， 为半圆 的直径，点 为半圆上任一点.
（1）若 ，过点 作半圆 的切线交直线 于点 .求证： ；
（2）若 ，过点 作 的平行线交半圆 于点 .当以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形时，求 的长.
25．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.
（1）若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径.
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圆 单元专项提升测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是四届冬奥会微的部分图案，其中既是铀对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A为轴对称图形，也为中心对称图形，符合题意。
B为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意。
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意。
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：A
【分析】由轴对称与中心对称的性质解题即可。
2．如图，的半径为，点A为上一点，的垂直平分线分别交于点B，C，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设与相交于点D，连接，
是的垂直平分线，
，，
，
在中，，
．
故答案为：D．
【分析】设与相交于点D，连接，先利用勾股定理求出BD的长，再利用BC=2BD可得答案。
3．若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（ ）
A．2 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA cos30°=．
则正六边形的边心距是．
故选C．
【分析】根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
4．有下列四个命题，其中正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．
故选：C．
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
5．点P为半径为3的⊙O上一点，若PQ=3，则点Q与⊙O的位置关系为（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．都有可能
【答案】D
【解析】【解答】解：∵PQ=OP，OQ的大小不能确定，
∴点Q与⊙O的位置关系不能确定．
故选D．
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
6．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ）
A．圆上各点到圆心的距离相等 B．直径是圆中最长的弦
C．同弧所对的圆周角相等 D．圆是中心对称图形
【答案】A
【解析】【解答】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选A．
【分析】根据车轮的特点和功能进行解答．
7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【解析】【解答】 ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
8．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】A
【解析】【解答】 如图：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故答案为：A．
【分析】 利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
9．如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，直线OP交于点D，E，交AB于点.有下列结论：
①；②；③；④.其中正确的有( )
A．①③④. B．②③④. C．①②③. D．①②④.
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ PA，PB是的两条切线，A，B为切点
∴ PA=PB，∠OAP=90° · · · · · · · · · · · · · · ① 正确；
易证：∠APO=∠BPO.
∵ PC=PC
∴
∴ AC=BC，∠ACP=∠BCP=90° · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ② 正确；
∴ ∠OAP=∠ACP，∠OPA=∠APC
∴
∴
∴ PA·AC=PC·AO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ④ 正确；
连接AD，若OA=AD，则有OC=CD，依据题目无法知道OA=AD，故 ③ 错误；
其中正确的有①②④
故答案为：D.
【分析】本题考查圆的切线长定理，熟悉圆的切线长定理，掌握其引申结论，可对选项做出判断。由PA，PB是的两条切线得PA=PB，可知 ① 正确；再证，得AC=BC，可知 ② 正确；再证，得PA·AC=PC·AO ，可知④ 正确；根据题意，不能证明OC=CD，则 ③ 错误.
10．如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AA2，设AC=a，如图所示：
∵四边形AA1A2C为正方形，
∴∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，
∴∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，
∵正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，
根据正八边形的性质得：A4A5//A3A6，A4A8为该正八边形的一条对称轴，
∴∠A4A3B=180°-135°=45°，∠A3A4B=×135°=67.5°，
∴∠A3BA4-180°-∠A4A3B-∠A3A4B=180°-45°-67.5°=67.5°.
∴∠A3A4B=∠A3BA4-67.5°，
∴∠A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=135°-∠A4A3B=135°-45°=90°，
在Rt△A2A3B中，A2A3=A3B=a，
由勾股定理得：A2B=，
在Rt△AA1A2中，A1A2=AA1=a，
由勾股定理得：AA2=
∴A2B=AA2，
∴∠ABC=∠A2AB=(180°-∠AA2B)=(180°-135°)=22.5°.
故答案为：A.
【分析】连接AA2，设AC=a，根据正方形的性质得∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，则∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，再根据正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，且A4A5//A3A6，A4A8为正八边形的1条对称轴，得∠A4A3B=45°，∠A3A4B=67.5°，进而得∠A3BA4=67.5°，则A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=90°，再利用勾股定理证A2B=AA2，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：圆锥的母线长为，
圆锥的侧面展开图的面积为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线，再根据圆锥的侧面展开图的面积列式计算即可.
12．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用，代值计算即可求出答案.
13．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是 ．
【答案】2000π
【解析】【解答】解： 这个烟囱帽的侧面展开图的面积是：cm2.
故答案为：2000π.
【分析】圆锥侧面展开式一个扇形，然后根据扇形的面积公式(l是扇形弧长，r是扇形半径)列式计算即可.
14．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵在Rt△ACB中，BC=2，AC=2，
∴由勾股定理得：AB=4，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，
∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，
S=．
【分析】在△ABC中，BC=2，AC=2，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．
15．如图.，在扇形OAB中，，，则阴影部分的面积是
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据结合等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式进行计算即可求解。
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=，点P在矩形内运动，且始终满足∠APB=150°，则DP的最小值为
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，点P的轨迹为以O为圆心的圆弧上运动，O、P、D三点共线时，DP的值最小，
过O作OE⊥AD交DA延长线于点E，
∠APB=150° ，由圆内接四边形及圆周角的性质得∠AOB=60°，
△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=6
OE=3，AE=，
∴DE=AE+AD=
在Rt△OED 中，由勾股定理得：，
DP=OD-OP=
故答案为：.
【分析】由 ∠APB=150° 得出点P的轨迹为以O为圆心的圆弧上运动，O、P、D三点共线时，DP的值最小，过O作OE⊥AD交DA延长线于点E，先证明△AOB为等边三角形，进而求出OE=3，AE=，在Rt△OED 中，由勾股定理得，进而求出DP的最小值.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
由图可知∠BOE=2∠BDE
又∵∠A=2∠BDE
∴∠A=∠BOE
∵∠C=∠ABD
∴∠BOE+∠C=90°
∴OE⊥EC
∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接BE，
由图可知∠BED=∠A=∠BOE，
∴△BEF∽△BOE
∴
∵OB=OE=5，BF=2
∴BE=EF
∴EF2=OE·BF=10
∴EF=
故答案为：（1）证明见解析；（2） ．
【解析】【分析】（1）连接OE、BE，首先得到△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角和圆的切线垂直于过切点的半径，同角的余角相等，可得结论；（3）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可。
18．如图，平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
【答案】（1）解：过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图
∵点C的坐标为（2， ），
∴OM=2，CM= ，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM= =1，
∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）解：将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得 ．
所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．
【解析】【分析】 （1） 过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得出MA=MB，连结AC，如图 ，根据C点的坐标即可得出OM，CM的长， 在Rt△ACM中 ，根据勾股定理算出AM的长，由 OA=OM﹣AM，OB=OM+BM 算出OA，OB的长，从而求出A，B两点的坐标；
（2） 将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得 出一个关于b，c的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而求出抛物线的解析式。
19．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．
（1）求弦BC的长；
（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin67.4°= ，cos67.4°= ，tan67.4°= ）
【答案】（1）解：连接OB，过点O作OD⊥AB，
∵AB∥SN，∠AON=67.4°，
∴∠A=67.4°．
∴OD=AO sin 67.4°=13× =12．
又∵BE=OD，
∴BE=12．
根据垂径定理，BC=2×12=24（米）．
（2）解：∵AD=AO cos 67.4°=13× =5，
∴OD= =12，
BD=AB﹣AD=14﹣5=9．
∴BO= =15．
故圆O的半径长15米．
【解析】【分析】（1） 连接OB，过点O作OD⊥AB， 根据二直线平行，内错角相等得出∠A= ∠AON=67.4°， 根据正弦函数的定义，由 OD=AO sin 67.4 算出OD的长，根据矩形的性质得出 BE=OD， 最后根据垂径定理即可算出BC的长；
（2）根据余弦函数的定义，由 AD=AO cos 67.4° 算出AD的长，根据线段的和差，由 BD=AB﹣AD 算出BD的长，最后根据勾股定理算出BO的长得出答案。
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．
（2）求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，连接OC，OD，OF，
设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∴S△ABC＝ AC BC＝ ×6×8＝24，AB+AC+BC＝24，
∵S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC
＝ AB·OD+ BC·OE+ AC·OF
＝ AB·r + BC·r + AC·r
＝ （AB+AC+BC）r，
∴r＝
＝
＝2．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，先求出AB的长，再根据S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC＝（AB+AC+BC）r，可得r＝，再求出r的值即可。
21．如图，在等腰直角三角形 ， ，以 为直径作 ，点 是边 上的一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ， .
（1）求证： .
（2）若 的直径为 ， ，求出 的面积.
【答案】（1）证明：连接 ，如解图所示.
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ .
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
（2）解：∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
在 中，由勾股定理，可得 .
∴ .
∴ .
【解析】【分析】(1)连接OF，根据切线的性质可得∠OFG=90°，即∠OFB+∠GFB=90°，由圆周角定理可得出∠AFB=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠AFO=∠BAF，最后根据余角的性质得出结论；
(2)先根据两个三角形的两角对应相等，证明△ACE∽△ADC得出比例线段 ，求出DE的长，再由勾股定理求出CD的长，最后根据三角形面积公式计算即可.
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）.
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算在该旋转过程中Rt△A1B1C1扫过部分的面积.
【答案】（1）解：如图， Rt△A1B1C1为所求，
（2）解：A1C1=，
∴S扫=πA1C12+OB2×B2C2=π+3.
【解析】【分析】（1）( 1 )根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1旋转后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可， Rt△A1B1C1扫过部分的面积等于以A1C1为半径的90°扇形的面积和△A2B2C2的面积之和.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，⊙O的半径为6，求弓形AF的面积.
【答案】（1）解；直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD过O，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接OF，过O作OH⊥AF于H，
∵∠C＝30°，AC＝AB，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠FAB＝∠B+∠C＝60°，
∵OF＝OA，
∴△FOA是等边三角形，
∴AF＝OA＝OF＝6，∠FOA＝60°，
∵OH⊥AF，
∴AH＝FH＝3，由勾股定理得：OH＝ ，
∴弓形AF的面积S＝S扇形FOA﹣S△FOA＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）求出△FOA是等边三角形，分别求出扇形FOA和△FOA的面积，即可得出答案.
24．如图， 为半圆 的直径，点 为半圆上任一点.
（1）若 ，过点 作半圆 的切线交直线 于点 .求证： ；
（2）若 ，过点 作 的平行线交半圆 于点 .当以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形时，求 的长.
【答案】（1）解：如图2
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°
∴AC= AB=OA=OB=OC
∴△OAC是等边三角形
∴OC=AC，∠OAC=∠AOC=60°
∴∠CAP=∠BOC=120°
∴CP是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°
∴∠ACP=∠OCB，
在△PBC与△AOC中，
∴ （ASA）
（2）解：如图1，连接OD，BD，CD
∵四边形AOCD是菱形
∴OA=AD=CD=OC，OA=OD=OC
∴△AOD与△COD是等边三角形，
∵.∠AOD=∠COD=60°，
∴∠BOC=60°，
∴
同理：如图2可得：
故 的长度为 或 .
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，先证△OAC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠OAP=∠BOC=120°，根据切线的性质得到∠OCP=90°，进一步得到∠ACP=∠OCB，最后根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据菱形的性质得到OA=AD=CD=OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根据弧长公式即可得到结论
25．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.
（1）若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE+∠EBD＝180°，
∴∠EBD＝∠ACE，
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠CAE＝∠CBE，
∴∠CAE＝∠BED，
∴△ACE∽△EBD.
（2）解：如图，连接OE交BC于点H，连接CO，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CB∥DE，
∴OE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵△ACE∽△EBD，
∴
即，
∴CE＝6，
∵∠BAE＝∠BCE，sin∠BAE＝ ，
∴sin∠BCE＝
∴EH＝ ，
∴CH＝ ，
设⊙O的半径为r，则OH＝r- ，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（r- ）2+（ ）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5.
【解析】【分析】（1）连接AE，根据圆内接四边形的性质可得∠ACE+∠ABE＝180°，由邻补角的性质可得∠ABE+∠EBD＝180°，则∠EBD＝∠ACE，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠DEB，根据圆周角定理可得∠CAE＝∠CBE，则∠CAE＝∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接OE交BC于点H，连接CO，根据切线的性质可得OE⊥DE，则OE⊥BC，CE＝BE，根据相似三角形的性质可得CE的值，根据圆周角定理可得∠BAE＝∠BCE，利用三角函数的概念可得EH的值，由勾股定理可得CH，设⊙O的半径为r，则OH＝r-，然后在Rt△OHC中，由勾股定理计算即可.
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