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第16章 分式 单元同步检测提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式： 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列从左到右变形正确的是（ ）
A． B． ＝ C． ＝ D． ＝
3．我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，____.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（ ）
A．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
4．解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
5．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．某校八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了30min，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．分式：① ，② ，③ ，④ 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
10．若关于x的方程 的解为负数，且关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．当x 时，分式有意义．
12．若在解分式方程去分母时产生增根，则 .
13． .
14．不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是 .
15．将（）﹣1，（﹣2）0，（﹣3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是 （用＜号连接）．
16．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
（2）先化简，再求值：，其中
18．自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为-件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书.某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本《三国演义》和《水浒传》若干，其中《三国演义》的单价比《水浒传》的单价贵10元；用5760元购买《水浒传》的数量是用3480元购买《三国演义》数量的2倍.求：
（1）《水浒传》《三国演义》单价分别是多少元
（2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本
19．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元；
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
20．已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
21．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
22．暑假期间，某校部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生由一名家长陪同，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为10000元，学生的总费用为9600元，
（1）求每位学生报价是多少元？
（2）经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按8折收费：乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为正整数）折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请直接写出m的最大值．
23．计算或化简：
（1） ；
（2）先化简： ，然后从－1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
24．有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为(m-1)2kg，乙筐水果的质量为(m2-1)kg(其中m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元.
（1）哪筐水果的单价高
（2）高的单价是低的单价的多少倍
25．对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
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第16章 分式 单元同步检测提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式： 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解： 是分式，共4个
故答案为：D.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．下列从左到右变形正确的是（ ）
A． B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】D
【解析】【解答】解：A、分子和分母都加上c和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式的分子乘以a，分母乘以b，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
C、当c＝0时，分式的分子和分母都乘以c，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
D、分式的分子和分母都除以c，符合分式的基本性质，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质逐一分析即可.
3．我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，____.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（ ）
A．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
【答案】A
【解析】【解答】解：原计划每天铺设管道x米，那么（x-10）就应该是实际每天比原计划少铺了10米，
而用，则实际用的时间-表示用原计划的时间=20天，
那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成.
故答案为：A.
【分析】原计划每天铺设管道x米，根据题中的方程可知（x-10）就是实际每天比原计划少铺了10米；根据方程可知：实际所用天数比原计划所需天数多20天，即延期20天完成，结合各选项可判断求解.
4．解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：去分母得：.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.
5．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：
，
把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3.
故答案为：D.
【分析】方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程的增根就是使最简公分母为0的根可得x的值，进而根据增根是分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x的值代入整式方程，可求出m的值.
7．某校八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了30min，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设骑自行车学生的速度为xkm/h ,则骑自行车同学所用的时间为小时，坐汽车同学所用的时间为小时，
由题意得
故答案为：A.
【分析】汽车的速度是4xkm/h, 由骑自行车所需要的时间=乘汽车的时间+30min列出方程.
8．分式：① ，② ，③ ，④ 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式；
②中 有公因式（a﹣b）；
③中 有公约数4；
故①和④是最简分式．
故选B．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
9．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
10．若关于x的方程 的解为负数，且关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：
方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得a（x+1）+（x﹣1）（x+1）=（x﹣1）（x+a），
整理得，x=1﹣2a，
∵该方程的解是负数，
∴1﹣2a＜0且1﹣2a≠±1，
解得，a＞ 且a≠1，
解不等式组 得，4≤x，x＜a，
∵不等式组无解，
∴a≤4，
则 ＜a≤4，a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：2+3+4=9，
故答案为：C．
【分析】分式方程的左右两边都乘以（x﹣1）（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，用含a的式子表示出x的值，又根据分式方程的解是负数，从而列出不等式组，求解得出a的取值范围；分别解出不等式组中每一个不等式的解集，由不等式组无解，可得a≤4，综上所述即可得出a的取值范围，再在其取值范围内找出整数解，并算出其和即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．当x 时，分式有意义．
【答案】≠-．
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴3x+1≠0，
解得x≠.
故答案为：≠.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，则3x+1≠0，求解即可.
12．若在解分式方程去分母时产生增根，则 .
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵ 解分式方程去分母时产生增根，
∴方程x-1=k的解为x=-2，
代入得：k=-3.
故答案为：-3.
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
13． .
【答案】4
【解析】【解答】解：.
故答案为：4.
【分析】根据分式的减法化简即可.
14．不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：将分式分子分母同时扩大100倍，
则有，
故填：.
【分析】利用分式的基本性质将分子分母扩大即可.
15．将（）﹣1，（﹣2）0，（﹣3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是 （用＜号连接）．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵1＜6＜9
∴
故答案为：.
【分析】本题考查负指数整数幂，零指数幂和有理数的乘方运算，熟知负指数整数幂，零指数幂和有理数的乘方运算的计算方法是解题关键.本题可直接利用负指数整数幂、零指数幂和有理数的乘方运算法则分别化简，然后比较大小即可得出答案.
16．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
【答案】②
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
原不等式组的解集为：
其中整数解为，和为3
（2）解：原式
当时，原式
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求出不等式组的解集为： ，再求解即可；
（2）先化简分式，再将x=0代入计算求解即可。
18．自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为-件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书.某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本《三国演义》和《水浒传》若干，其中《三国演义》的单价比《水浒传》的单价贵10元；用5760元购买《水浒传》的数量是用3480元购买《三国演义》数量的2倍.求：
（1）《水浒传》《三国演义》单价分别是多少元
（2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本
【答案】（1）解：设《水浒传》单价为元，
则《三国演义》的单价为元，由题意可知
-
解得：
经检验是原方程的根且符合题意
∴
答：《水浒传》单价为48元，则《三国演义》的单价为58元．
（2）解：设三国演义买本，则《水浒传》买本，
，
∴，
解得：，
答：三国演义最多可买72本．
【解析】【分析】（1）设《水浒传》单价为x元，根据题中的相等关系“ 用5760元购买《水浒传》的数量=2×用3480元购买《三国演义》数量”可得关于x的分式方程，解之并检验可求解；
（2）设三国演义买m本，则《水浒传》买(200-m)本，根据题中的不等关系“买m本三国演义得费用+买(200-m)本《水浒传》的费用≤10320”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
19．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元；
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【答案】（1）解：设跳绳的单价为元，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
（元）
答： 跳绳和毽子的单价分别是8元、5元 .
（2）解：设跳绳的数量为个，总价为元，
，
随的增大而增大，
当时，，
（个）
答：学校花钱最少的购买方案是购买跳绳450个，毽子150个，花费3405元.
【解析】【分析】(1)设跳绳的单价为x元，由跳绳的单价比毽子的单价多3元可得跳绳的单价为(x-3)元，再根据 800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同可列分式方程，然后求方程的解.
(2)设跳绳的数量为a个，由购买跳绳和毽子两种器材共600个可得毽子数量(600-a)个，可列出费用的关系式，再根据跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根列出不等式组，求得a的取值范围，然后利用一次函数的增减性求出费用最少时的a值.
20．已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
【答案】（1）解：∵方程的解是5，
∴把x＝5代入 ，得
解得m＝3；
（2）解：
两边都乘以（x-3）（x-4），得
x（x-4）-（x-3）（x-4）＝m，
整理得3x-12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3-12＝-3，
当x＝4时，
m＝3×4-12＝0，
∴m的值为-3或0.
【解析】【分析】（1）将x=5代入方程中进行计算可得m的值；
（2）两边都乘以(x-3)(x-4)，得x(x-4)-(x-3)(x-4)＝m，整理得3x-12＝m，根据分式方程有增根可得x＝3或x＝4，然后代入3x-12＝m中进行计算可得m的值.
21．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【答案】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要 天，则甲队单独完成需要 填；
解得：
经检验，x=90是原方程的根。
则 （天）
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y( + )=1.
解得y=36.
需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).∵504>500.∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元
【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
22．暑假期间，某校部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生由一名家长陪同，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为10000元，学生的总费用为9600元，
（1）求每位学生报价是多少元？
（2）经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按8折收费：乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为正整数）折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请直接写出m的最大值．
【答案】（1）解：设每位学生报价为x元，则每位家长的报价为（x+20）元，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解，且符合题意，则（元），答：每位学生报价为480元，则每位家长的报价为500元．
（2）解：根据题意得：，解得：，∵m为正整数，∴m的最大值为9．
【解析】【分析】（1）设每位学生报价为x元，则每位家长的报价为（x+20）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可。
23．计算或化简：
（1） ；
（2）先化简： ，然后从－1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
∵a=-1或a=3时，原式无意义，
∴a只能取1或0，
当a=1时，原式=2-6=-4．（当a=0时，原式=-6．）
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质先进行计算，再计算减法即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后从－1，0，1，3中选一个使分式有意义的值代入计算即可.
24．有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为(m-1)2kg，乙筐水果的质量为(m2-1)kg(其中m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元.
（1）哪筐水果的单价高
（2）高的单价是低的单价的多少倍
【答案】（1）解：甲筐水果的单价为 元/kg；乙筐水果的单价为 元/kg.∵m>1，∴0<(m-1)2
答：甲筐水果的单价高.
（2）解： ÷ = · = .
答：高的单价是低的单价的 倍。
【解析】【分析】（1）根据单价=总价除以数量得出甲筐水果的单价，乙筐水果的单价；然后根据m>1，得出0<(m-1)2（2）由高的单价除以低的单价，列出分式的除法算式，然后将除法转变为乘法，分子分母能分解因式的分解因式，再约分得出最简结果，从而得出答案。
25．对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
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