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二次函数 单元同步测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y=﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE＝1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
4．已知函数，则使成立的值恰好有4个，则的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．3
5．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数 为常数，且 ）中的 与 的部分对应值如表：
··· ···
··· ···
下列结论错误的是（ ）
A．
B． 是关于 的方程 的一个根；
C．当 时， 的值随 值的增大而减小；
D．当 时，
7．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b
8．若二次函数y＝ax2＋2ax(a≠0)的图象过点P(1，4)，则该图象必过点（ ）
A．(－3，4) B．(－1，4) C．(0，3) D．(2，4)
9．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2-2x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．a≤-1/2或a≥1
10．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（ ）
A．2或- B． 或- C． 或- D． 或-
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从，，，四个数中，随机选取个数，作为二次函数中的，则抛物线开口向上的概率是 ．
12．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是 .
13．当二次函数 有最大值时，x= ．
14．已知：y关于x的函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点A、B，P点坐标为 ，则 的面积为 .
15．抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-116．二次函数 图象 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该新图象有两个公共点，则 的取值范围为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线经过B、C两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M.设，点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m的值.
18．六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（，且x为正整数）.
（1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？
（2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值.
19．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.
（1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大 最大是多少元
（2）试说明租赁公司的日收益能否为4500元
20．某商家计划从厂家采购，两种产品共20件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) 1 2
产品单价(元/件) 1480 1460
产品单价(元/件) 1290 1280
（1）求产品的采购数量与采购单价的函数关系式；
（2）该商家分别以4760元件和1700元件的销售单价出售，两种产品，且全部售完，在产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.
21．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，y1＝ax2+bx+c（a≠0），y2＝mx+n，若y1和y2的图象经过y轴上同一点，且y1的顶点在y2上，则称函数y1和y2具有性质P.
（1）已知y1＝x2-4x+5与y2具有性质P，求y2的函数表达式.
（2）若y1＝x2-6x+c与y2＝mx-3具有性质P，求m与c的值.
22．二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
（1）求b，c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
23．如图，抛物线 经过 两点， 为线段 上方抛物线上一动点， 于 .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段 长度的最大值：
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为C．
（1）求的正弦值；
（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．
25．已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
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二次函数 单元同步测试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y=﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选B．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
2．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE＝1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝ ＝5，
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CH，
∴CH＝
由图知，∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴DP∥CB，
∴△ADP∽△ACB，
设AP＝x，则AD＝ x，DP＝ x，BE＝4-x，
∴S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB
＝ （4-x），
＝-
＝- ，
由题意知，0≤x≤4，
又- ＜0，
∴根据二次函数的图象及性质可知，S四边形DPEC的值先增大，后减小.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法可得CH的值，易证△ADP∽△ACB，设AP＝x，则AD＝x，DP＝x，BE＝4-x，然后根据S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB表示出S四边形DPEC，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
4．已知函数，则使成立的值恰好有4个，则的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解： 画出函数 的图象如下：
通过图象发现：当 1＜k＜3时，函数图象与直线y＝k有四个公共点，
故满足条件的k的取值范围是 1＜k＜3，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】 画出函数 的图象，观察图象分析k取不同值时，函数图象与直线y＝k图象交点的个数，即可求出满足条件的k的取值范围，从而判断即可得出答案．
5．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数的图象在二、四象限，不满足条件，
故答案为：C.
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，据此判断即可.
6．二次函数 为常数，且 ）中的 与 的部分对应值如表：
··· ···
··· ···
下列结论错误的是（ ）
A．
B． 是关于 的方程 的一个根；
C．当 时， 的值随 值的增大而减小；
D．当 时，
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
联立以上方程： ，
解得： ，
∴ ；
A、 ，故本选项不符合题意；
B、方程 可化为 ，
将 代入得： ，
∴ 是关于 的方程 的一个根,故本选项不符合题意；
C、 化为顶点式得： ，
∵ ，则抛物线的开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大；故本选项符合题意；
D、不等式 可化为 ，令 ，
由二次函数的图象可得：当 时， ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
7．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b
【答案】A
【解析】【解答】解：设函数y′＝（x c）（x c d），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c＋d，0），
函数y′向下平移3个单位得到y＝（x c）（x c d） 3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），
则a＜c＜c＋d＜b，
故|a c|＋|c b|＝c a＋b c＝b a，故A正确.
故答案为：A.
【分析】设函数y′＝(x c)(x c d)，则该函数图象与x轴的交点坐标为（c，0）、（c＋d，0），根据二次函数图象的几何变换可得函数y与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则a＜c＜c＋d＜b，接下来判断出a-c、c-b的符号，然后根据绝对值的性质化简即可.
8．若二次函数y＝ax2＋2ax(a≠0)的图象过点P(1，4)，则该图象必过点（ ）
A．(－3，4) B．(－1，4) C．(0，3) D．(2，4)
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：4=a+2a，
∴a= ，
∴y= x2+ ，
A、当x=-3时，y= ×(-3)2+ ×(-3)=4，正确；
B、当x=-1时，y= ×(-1)2+ ×(-1)=- ≠4，错误；
C、当x=0时，y=0≠3，错误；
D、当x=2时，y= ×(2)2+ ×(2)= ≠4，错误.
故答案为：A.
【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后分别代值计算验证，即可作答.
9．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2-2x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．a≤-1/2或a≥1
【答案】A
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，3），B（2，1），
∴，解得 ，
∴直线AB的解析式为y= x+2，
∴联立，得y= x+2=ax2-2x+1，整理得ax2- x-1=0，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴=b2-4ac＞0，即（ ）2+4a＞0，解得a＞ ，
①当a＞0，抛物线经过点B（2，1）时，
则y=a-2a+1≥1，即当a≥1时，抛物线与线段AB有两个不同交点，
②当a＜0，抛物线经过点B（-2，3）时，
则y=4a+4+1≤3，即当a≤ 时，抛物线与线段AB有两个不同交点，
∴综上所述，a的取值范围为a≥1或 ＜a≤ .
故答案为：A.
【分析】用待定系数法先求出直线AB的解析式，再与抛物线解析式联立方程组，由抛物线与线段AB有两个不同的交点，先根据 =b2-4ac＞0求得a＞ ，再讨论a＞0和a＜0两种情况下，求出a的取值范围，即可解决问题.
10．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（ ）
A．2或- B． 或- C． 或- D． 或-
【答案】D
【解析】【解答】二次函数y=-（x-m）2+m2+1，
可化为：y=-x2+2mx+1，
故二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）2+m2+1=3，
解得m=- ，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=3，
解得m=- ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）2+m2+1=3，
解得m= ．
综上所述，m的值为 或- ．
故答案为：D．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从，，，四个数中，随机选取个数，作为二次函数中的，则抛物线开口向上的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】，，，四个数中， 选取2，4时二次函数中的，则抛物线开口向上，
抛物线开口向上的概率是
故答案为： .
【分析】根据二次函数的性质得到选取四个数中，有2种情况会使二次函数的图象开口向上，从而利用概率公式即可求解.
12．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是 .
【答案】x＜－1或x＞5
【解析】【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞5，
故答案为：x＜－1或x＞5.
【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图象在x轴下方部分所对应的x的范围即可.
13．当二次函数 有最大值时，x= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ ，
=-（x-2）2-2，
∴当x=2时，二次函数取最大值．
故答案为：2．
【分析】利用配方法将一般式化简为顶点式即可求出最值。
14．已知：y关于x的函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点A、B，P点坐标为 ，则 的面积为 .
【答案】1或
【解析】【解答】解：当k=0时，
设 与x轴交于点A，与y轴交于点B，AP与y轴交于点C，则点A（-1，0），点B（0，1），过点P作PD⊥y轴于D，则PD=3，OA=1
设直线AP的解析式为y=ax＋b
将点A和点P的坐标代入，得
解得：
∴直线AP的解析式为
将x=0代入，解得y=
∴点C的坐标为（0， ）
∴BC=1－ =
∴S△PAB=S△ABC＋S△PBC= BC·OA＋ BC·PD= × ×1＋ × ×3=1；
当k≠0时， 是 的二次函数，图象必与y轴交于一点B（0，1）
∵ 的图象与坐标轴只有两个不同的交点 、 ，
∴
解得：
∴二次函数解析式为
将y=0代入，得
解得：x1=x2=-4
∴点A的坐标为（-4，0），即AO=4
设直线AP的解析式为y=ax＋b
将点A和点P的坐标代入，得
解得：
∴直线AP的解析式为
将x=0代入，解得y=
∴点C的坐标为（0， ）
∴BC= －1=
∴S△PAB=S△ABC＋S△PBC= BC·OA＋ BC·PD= × ×4＋ × ×3= ；
综上：S△PAB=1或
故答案为：1或 .
【分析】根据k是否为0分类讨论，当k=0时，求出点B和点A的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，即可求出AP与y轴交点C的坐标，然后根据S△PAB=S△ABC＋S△PBC即可求出结论；当k≠0时，根据题意可知抛物线与x轴只有一个交点，从而求出k的值，然后求出点B和点A的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，即可求出AP与y轴交点C的坐标，然后根据S△PAB=S△ABC＋S△PBC即可求出结论.
15．抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1【答案】2≤t＜11
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴，
解之：b=-2
∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2
当x=1是函数有最小值为2；
当x=-1时y=6，当x=4时y=11
∵x2+bx+3-t=0
∴ x2+bx+3=t
∴关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1∴t的取值范围是2≤t＜11
【分析】利用抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，可求出b的值，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可知当x=1是函数有最小值为2；再分别求出x=-1和x=4时的函数值，根据关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-116．二次函数 图象 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该新图象有两个公共点，则 的取值范围为 .
【答案】 或
【解析】【解答】如图，
当直线 经过点A（ 2，0）时，b=1，
当直线 经过点O（0，0）时，b=0，
∴0翻折后的抛物线为
由 方程组有一组解，消去y得到：2x2+3x 2b=0，
∵△=0，
∴9+16b=0，
由图象可知， 时，直线 与新图形有两个交点.
综上所述0故答案为 或 .
【分析】画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定b的取值范围.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线经过B、C两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M.设，点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m的值.
【答案】（1）解：在中，当时，；当时，；
∴，
把代入到抛物线解析式中得，
∴
∴抛物线解析式为
（2）解：m的值为-2或或1
【解析】【解答】解：（2）∵直线PD与x轴垂直，，
∴，
当点M是PD的中点时，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当点P是DM中点时，
∴ ，
∴，
解得或（舍去）；
当点D是PM的中点时，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，m的值为-2或或1.
【分析】（1）分别令直线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据图象上的点的坐标特点可得，然后分类讨论：①当点M是PD的中点时，②当点P是DM中点时，③当点D是PM的中点时，分别根据中点坐标公式并结合几点的坐标建立方程，求解并检验即可得出答案.
18．六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（，且x为正整数）.
（1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？
（2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
答：该日水蜜桃的单价为20元/千克
（2）解：根据题意得：，
∵政府将销售价格定为不超过30元/千克，
∴，且x为正整数，
∵，
∴时，W有最大值是800元，
时，W有最小值是元；
答：，W最大值是800元，W最小值是600元；
【解析】【分析】（1）用原来每天的销售数量减去因为售价上涨而减少的销售数量=实际每天的销售数量建立方程，求解即可；
（2）根据每千克水蜜桃的单价乘以每天的销售数量=总售价建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决此题.
19．现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.
（1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大 最大是多少元
（2）试说明租赁公司的日收益能否为4500元
【答案】（1）解：设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，根据题意得：
，
当时，y的值最大，最大值是5000，
∴每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元.
（2）解：根据题意，当时，即，
解得：.
∵x必须取整数，
∴不合题意，
∴租赁公司的日收益不能为4500元.
【解析】【分析】（1）设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，由题意可得每辆车的日租金为[500+50(20-x)]，然后根据日收益=每辆的租金×辆数就可得到y与x的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答；
（2）令（1）关系式中的y=4500，求出x的值，然后根据x为整数进行解答.
20．某商家计划从厂家采购，两种产品共20件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) 1 2
产品单价(元/件) 1480 1460
产品单价(元/件) 1290 1280
（1）求产品的采购数量与采购单价的函数关系式；
（2）该商家分别以4760元件和1700元件的销售单价出售，两种产品，且全部售完，在产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.
【答案】（1）解：设A产品的采购数量为x(件)，采购单价为y1(元/件)，设y1与x的关系式，
由表知，
解得：，
即，为整数.
（2）解：根据题意可得产品的采购单价可表示为：
，
令总利润为元，
则，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，.
∴采购种产品15件时总利润最大，最大利润为9650元.
【解析】【分析】（1） 设A产品的采购数量为x(件)，采购单价为y1(元/件)，设y1与x的关系式 y1=kx+b，将点（1，1480）与（2，1460）分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解可得y1与x的函数关系式；
（2）首先求出B产品的采购单价为y2=-10x+1300， 令总利润为w元， 根据每件商品的利润乘以销售数量=总利润及销售x件A商品的利润+销售（20-x）件B商品的利润=w，建立出w关于x的函数关系式，进而根据函数性质及x的取值范围即可解决问题.
21．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，y1＝ax2+bx+c（a≠0），y2＝mx+n，若y1和y2的图象经过y轴上同一点，且y1的顶点在y2上，则称函数y1和y2具有性质P.
（1）已知y1＝x2-4x+5与y2具有性质P，求y2的函数表达式.
（2）若y1＝x2-6x+c与y2＝mx-3具有性质P，求m与c的值.
【答案】（1）解：将x＝0代入y1＝x2-4x+5得y1＝5，
∴y1与y2经过（0，5），
∵y1＝x2-4x+5＝（x-2）2+1，
∴抛物线y1的顶点坐标为（2，1），
将（0，5），（2，1）代入y2＝mx+n中得，
解得，
∴y2＝-2x+5；
（2）解：将x＝0代入y2＝mx-3得y2＝-3，
∴y1和y2经过（0，-3），
将（0，-3）代入y1＝x2-6x+c得c＝-3，
∴y1＝x2-6x-3＝（x-3）2-12，
∴抛物线y1顶点坐标为（3，-12），
将（3，-12）代入y2＝mx-3得-12＝3m-3，
解得m＝-3.
∴m＝-3，c＝-3.
【解析】【分析】（1）将x＝0代入y1＝x2-4x+5中求出y1的值，则y1与y2经过（0，5），由y1的解析式可得顶点坐标为（2，1），然后将（0，5），（2，1）代入y2＝mx+n中求出m、n的值，进而可得y2的函数表达式；
（2）将x＝0代入y2＝mx-3中求出y2的值，则y1和y2经过（0，-3），将（0，-3）代入y1＝x2-6x+c中求出c的值，得到y1的解析式以及顶点坐标，然后将顶点坐标代入y2＝mx-3中可求出m的值.
22．二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
（1）求b，c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：∵ 二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
∴
解之：
∴b=-4，c=3.
（2）解：二次函数的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
∴二次函数的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2.
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.
（2）由（1）可得函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用顶点式可得到此函数的顶点坐标及对称轴.
23．如图，抛物线 经过 两点， 为线段 上方抛物线上一动点， 于 .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段 长度的最大值：
【答案】（1）解：由题意知
解得：
抛物线的函数表达式为
（2）解：设直线 的解析式为 ，则
解得
设
过点 作 轴交 于 点，
如图
当 时， 取最大值，最大值是 ．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出直线BC的解析式为 ；设 ，如图：过点 作 轴交 于 点，则有 ，根据坐标即可确定DM的长；再说明 ，利用相似三角形的性质即可表示出DE，最后利用二次函数的性质求最值即可．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为C．
（1）求的正弦值；
（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得，
∴抛物线表达式为，
∵，
∴；
设BC与x轴交于E，过E作EH⊥AB于H，如图：
抛物线与y轴交于，
设BC解析式为，
将，代入得：
，
解得，
∴解析式为，
令得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
又
∴；
（2）解：抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，则平移后的新抛物线的表达式为，
∴，，，，
如图，设直线与x轴交点为F，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故若△DCA与△ABC相似，只需或两种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图：
∴，
即，
∴，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为；
②若△ABC∽△ACD，如图：
∴，
即，
解得，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
【解析】【分析】（1）此题实质是考查二次函数图象上点的坐标特征及锐角三角形函数的概念。要计算 的正弦值，由于 不是直角三角形，所以要构造直角三角形。因为抛物线经过点A（5，0），可以利用待定系数法求出解析式中的字母b的值，从而确定出抛物线的解析式，当自变量 时函数值 ，即点B（0，5），则三角形OAB为等腰直角三角形；把抛物线的一般解析式转换为顶点式，即可确定出点C的坐标为C（3，-4），设线段BC交x轴于点E，过点E作AB的垂线段EH，则 的正弦值转化为 的正弦值，即 ；此时问题转化为求EH、EB的长度。因为 ，所以 ，由于点A、B的坐标已知，问题最终转化为求点E的坐标。因为点E是直线BC与x轴的交点，故需要用待定系数法求出直线BC的解析式，由于点E的纵坐标为0，则点E的横坐标随之确定，则AE、BE都可以计算出来；
（2）先设出平移后的抛物线的解析式，即可分别求出 和 的三边长，则两三角形相似就有三种情况。但由于CD垂直于x轴，则可计算出 的正切值，同时利用（1）的条件也可计算出 的正切值，结果我们发现 ，于是两个三角形相似就只剩下两种情况了，即 或 ，分别求解就可以了。
25．已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【答案】（1）解：由（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）解：y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，
解得x= ，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
【解析】【分析】（1）由已知y是x的一次函数，可得出x的次数=1，且x的系数≠0，就可求出m的值。
（2）根据y是x的二次函数，可知x的次数=2且x的系数≠0，求出m的值，从而可得出函数解析式，再将y=-8代入函数解析式，解关于x的方程，求出x的值，就可得出纵坐标为-8的点的坐标。
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