第十六章 二次根式 章末小结与提升 同步课时练（含答案） 2024-2025学年人教版初中数学八年级下册

第十六章 二次根式 章末小结与提升
◆必记结论 1.二次根式的性质: (1)≥0(a≥0);(2)()2=0(a≥0);(3)=|a|= 2.二次根式的乘除法法则: (1)二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0). (2)二次根式乘法法则的逆用:=·(a≥0,b≥0). (3)二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0). (4)二次根式除法法则的逆用:=(a≥0,b>0). 强调:在=(a≥0,b>0)中,要特别注意b>0.若b=0,则式子无意义.
【专题提升】
1.【2023·河北中考】若a=,b=,则= ( )
A.2 B.4 C. D.
2. 已知二次根式有意义,请你写出一个符合条件的正整数a的值　 　.
3. 将式子(a为正整数)化为最简二次根式后,可以与合并.写出一个符合条件a的值　 　.
4.计算:
(1)4--36-10;
(2)÷-×+.
5.已知M=÷×2-(-)(+).
(1)若a=6,计算M的值.
(2)若M的值为整数,求正整数a的最小值.
小情境主题：高空安全小知识
6.高空抛物是一种不文明的危险行为,据研究,从高处坠落的物品,其下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=(不考虑阻力的影响).
(1)物体从15 m的高空落到地面的时间t=　 　s.
(2)若物体从高空落到地面的时间为3 s,则从高空落到地面的高度h=　 　m.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)E=10×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上,这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗 (注:杀伤无防护人体只需要65 J的能量)
7.跳伞运动员跳离飞机,在未打开降落伞前,下降的高度d(单位:m)与下降的时间t(单位:s)之间的关系式为d=5t2.
(1)请完成表格;
下降高度d/m 200 500
下降时间t/s 　 　 　 　
(2)如果跳伞运动员从3 800 m的高空跳伞,为确保安全,必须在离地面600 m之前打开降落伞.问运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒 (精确到0.1 s)
小情境主题：劳动光荣
8.某市为做好城市园林绿化工作,进一步改善城市生态环境,美化城市居住环境,提升人民群众的获得感、幸福感,对市内绿地进行改建.如图,该市某公园有一块长方形绿地ABCD,BC为 m,AB为 m,绿地内有一块长方形花坛(图中阴影部分),长为(+1)m,宽为(-1)m.
(1)求长方形ABCD的周长.
(2)图中的空白部分另作他用,需要50元/m2的定期维护费,求定期维护的总费用.
9.如图,张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC为 m,宽AB为 m,现要在空地中划出一块长方形养鸡(图中阴影部分),其余部分种植蔬菜,长方形养鸡场的长为(+1)m,宽为(-1)m.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克,张大伯种植该种蔬菜,且每平方米可以产该种蔬菜20千克,张大伯如果将所种蔬菜全部销售完,那么销售收入为多少元
10.【课本再现】
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根,记为;0的算术平方根是0,即=0.所以被开方数a为非负数.
【探究新知】
(1)若()2=a,则a的取值范围是　 　.
【知识应用】
(2)若|a+b+1|+=0,求(a+b)2 026的值.
【拓展应用】
(3)若|2 023-a|+=a,求a-2 0232的值.
11.观察下列各式:
①=2;
②=2;
③=2;
……
(1)第④个式子为　.
(2)依题中规律,第n(n为正整数)个式子为　 　.
(3)证明(2)中的式子成立.
(4)根据上述规律,若=2,且a,b分别为三个连续自然数中最大数的平方和最小数的平方,直接写出a,b的值.
【参考答案】
专题提升
1.A　2.3(答案不唯一)　3.27(答案不唯一)
4.【解析】(1)原式=12-40-12+2
=-38.
(2)原式=-+6
=3-3+6
=3+3.
5.【解析】(1)M=÷×2-(-)(+)
=××2-[()2-()2]
=4-(a-3)
=4-a+3,
当a=6时,原式=4-6+3=8-3.
(2)由(1)知M=4-a+3,
当a=2b2,b为非0整数时,M的值为整数,
∴正整数a的最小值为2,即a=2.
6.【解析】(1)由题意知h=15 m,t===(s).故答案为.
(2)当t=3 s时,3=,h=45(m).故答案为45.
(3)当t=6 s时,6=,h=180(m),则鸡蛋产生的动能=10×0.05×180=90(J).
因为90>65,所以这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人.
7.【解析】(1)当d=200时,5t2=200,得t=2.
当d=500时,5t2=500,得t=10.
下降高度d/m 200 500
下降时间t/s 2 10
故答案为2;10.
(2)5t2=3 800-600,
解得t=8≈25.3,
∴运动员在空中不打开降落伞的时间至多有25.3 s.
8.【解析】(1)长方形ABCD的周长为
2(+)
=2(9+8)
=2×17
=34(m).
答:长方形ABCD的周长是34 m.
(2)定期维护的总费用为
50×[×-(+1)(-1)]
=50×[9×8-(13-1)]
=50×(144-12)
=6 600(元).
答:定期维护的总费用为6 600元.
9.【解析】(1)根据题意可知,2×(+)=2×(6+4)=20(m),
∴长方形ABCD的周长是20 m.
(2)×-(+1)×(-1)
=48-(13-1)=36(m2),
36×10×20=7 200(元),
∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完,那么销售收入为7 200元.
10.【解析】(1)因为()2=a,
所以a≥0.
故答案为a≥0.
(2)由|a+b+1|+=0得
解得
所以(a+b)2 026=(-2+1)2 026=(-1)2 026=1.
(3)因为|2 023-a|+=a,
所以a-2 024≥0,
则a≥2 024,
所以2 023-a<0,
则原方程可化为a-2 023+=a,
所以=2 023,
所以a=2 0232+2 024,
所以a-2 0232=2 024.
11.【解析】(1)=2=4.
(2)=2.
(3)证明:∵
=
=
=
=2,
∴=2.
(4)∵=2,a,b分别为三个连续自然数中最大数的平方和最小数的平方,
∴根据(3)中规律可知n=11,
∴a=(n+1)2=(11+1)2=144,
b=(n-1)2=(11-1)2=100.