6.1 平行四边形的性质 培优练习（含答案）

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6.1平行四边形的性质培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE，下列结论①∠CAD＝30°；②OE⊥AC；③BDAB；④S四边形ABOES△OCD；其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，AC、BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．20cm
3．如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　）
A．始终不变 B．逐渐减小
C．先减小再增大 D．不能确定
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则CD+AE的值等于（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
5．如图，在 ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　）
A．12 B．16 C．24 D．36
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE．若平行四边形ABCD的面积为12，则△ADE的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　 　．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝4，∠B＝60°，点E，F分别为AB，BC边上的一点，连接EF．点B关于EF的对称点P恰好落在CD上．当BE最小时，求PF的长为 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝3，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 　 　．
10．已知平行四边形ABCD中，∠A＝30°，，BD＝2，则平行四边形的面积为 　 　．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　．
12．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE＝2，EC＝1，∠BAE＝∠AEF＝∠ADF，则DF的长为 　 　．
13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝6，则GE＝　 　．
三、解答题
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．
15．如图，在 ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，求证：DE⊥AF；
（3）若AE＝13，DE＝15，AD＝14，求 ABCD的面积．
16．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，EF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）M为BA延长线上一点，且AM＝CF．若AD＝5，FD＝3，求MF的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC分别于点E、F．已知平行四边形ABCD的周长为48．
（1）求证：BE＝DF；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，若EM＝6，求△ACD的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中点A，B在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限．已知AD⊥BD，AD＝2，∠ADO＝30°．
（1）求A，B，C，D各点的坐标．
（2）若在直线BD上有一点P，且点P在∠DCB的角平分线上，求点P的坐标．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10．
（1）求AB的长；
（2）求平行四边形ABCD的面积；
20．已知，如图， ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，BE，CF相交于点O．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）试判断AF与DE有何数量关系、并说明理由．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且OE＝OF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A B D C
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　36°　．
【解答】解：如图：
，
∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4，
∴AD∥BC，∠A＝4∠B，
∴∠A+∠B＝180°，
∴4∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝144°，
∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°，
故答案为：36°．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝4，∠B＝60°，点E，F分别为AB，BC边上的一点，连接EF．点B关于EF的对称点P恰好落在CD上．当BE最小时，求PF的长为 　6﹣2　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝3，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 　3　．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴，
∴ED＝2OD＝3，
故答案为：3．
10．已知平行四边形ABCD中，∠A＝30°，，BD＝2，则平行四边形的面积为 　2或4　．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，
∴DEAD，AEAD＝3，
在Rt△BDE中，
∵BD＝2，
∴BE2，
如图1，∴AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4；
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝2．
故答案为：2或4．
11．【解答】解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，
∴O是AC边的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BG，．
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形．
∴，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+＝S△FGP＝S△EOB．
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO．
∵AC＝AB＝26，BC＝20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为，
∴．
∵O是AC边的中点，
∴．
∴阴影部分的面积为120．
故答案为：120．
12．【解答】解：设∠BAE＝∠AEF＝∠ADF＝α，则∠BFE＝2α，
∵AE⊥BC，则∠AEB＝90°，
∴∠B＝∠BEF＝90°﹣α，则BF＝EF，
又∵∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，则F为AB的中点，
延长DA，EF交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，BE＝2，EC＝1，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3，AD∥BC，
∴∠G＝∠BEF，∠FAG＝∠FBE，∠AEB＝∠DAE＝90°，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴∠FAG＝∠B＝90°﹣α，GF＝EF，AG＝BE＝2，则DG＝AD+AG＝5，
则∠AFD＝∠FAG﹣∠ADF＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣2α＝90°，
即：DF⊥GE，
又∵GF＝EF，
∴DF垂直平分GE，
∴DE＝DG＝5，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：，
取AG的中点H，连接FH，则，DH＝AH+AD＝4，
∵GF＝EF，则F为EG的中点，
∴FH为△AEG的中位线，
∴，FH∥AE，
∴∠FHD＝∠DAE＝90°，
在Rt△DFH中，由勾股定理可得：，
故答案为：．
13．【解答】解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FHAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴ECCD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GHEH．
∵BE＝6，H是BE的中点，
∴EH＝3，
∴GE．
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
15．如图，在 ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，求证：DE⊥AF；
（3）若AE＝13，DE＝15，AD＝14，求 ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）证明：∵点E为BC中点，
∴BE＝EC，
∵∠BAE＝∠AFD，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF，
∵AD＝DF，
∴DE⊥AF；
（3）解：如图，过点E作EM⊥AD于M，设AM＝x，则DM＝14﹣x．
根据勾股定理得132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴，
∴S ABCD＝EM AD＝168．
16．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，EF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）M为BA延长线上一点，且AM＝CF．若AD＝5，FD＝3，求MF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB＝∠C＝180°﹣∠B＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE∠BAD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC＝30°，
∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝30°＝∠CEF，
∴CE＝CF；
（2）解：连接AC，过A作AH⊥BC于H，
设CE＝CF＝x，则BE＝AB＝CD＝x+3，AD＝BC＝2x+3＝5，
解得：x＝1，
∴CE＝1，AB＝4，
∵∠B＝60°，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°，
∴BHAB＝2，
∴HC＝BC﹣BH＝3，
∵AH⊥BC，
∴AC2﹣HC2＝AB2﹣BH2，
∴AC2﹣32＝42﹣22，
∴AC，
∵AM＝CF，AM∥CF，
∴四边形AMFC是平行四边形，
∴MF＝AC．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC分别于点E、F．已知平行四边形ABCD的周长为48．
（1）求证：BE＝DF；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，若EM＝6，求△ACD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ADF∠ADC，∠CBE∠ABC，
∴∠ADF＝∠CBE，
又∵AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴BE＝DF；
（2）解：如图，过点E作EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM＝EN＝6，
∵平行四边形ABCD的周长为48，
∴AB+BC＝24，
∴S△ABC＝S△ACD＝S△ABE+S△BCEAB EMBC EN6×24＝72．
18．如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中点A，B在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限．已知AD⊥BD，AD＝2，∠ADO＝30°．
（1）求A，B，C，D各点的坐标．
（2）若在直线BD上有一点P，且点P在∠DCB的角平分线上，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，
∴CD∥x轴，∠AOD＝∠BOD＝90°，
∵AD⊥BD，AD＝2，∠ADO＝30°，
∴∠ADB＝90°，OAAD＝1，
∴∠DBO＝90°﹣∠BDO＝∠ADO＝30°，OD，
∴A（﹣1，0），D（0，），点C的纵坐标为，
∵BD＝2OD，
∴OBOD3，
∴B（3，0），CD＝AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∴C（4，），
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（4，），D（0，）．
（2）如图，作PF⊥x轴于点F，交CD于点E，则∠PED＝∠PFB＝90°，
∴PE⊥CD，
∵∠DCB＝∠DAB＝90°﹣∠ADO＝60°，点P在∠DCB的角平分线上，
∴∠PCD＝∠PCB∠DCB＝30°，
∵∠PDC＝∠DBO＝30°，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PD＝PC，
∴OF＝DE＝CECD＝2，
∴BF＝OB﹣OF＝3﹣2＝1，点P的横坐标为2，
∵PB＝2PF，
∴BFPF＝1，
∴PF，
∴P（2，）．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10．
（1）求AB的长；
（2）求平行四边形ABCD的面积；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴CD＝AB＝10，
在△CED中，CD＝10，DE＝6，CE＝8，
∴ED2+CE2＝CD2，
∴∠CED＝90°．
∴CE⊥AD，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD CE＝（10+6）×8＝128．
20．已知，如图， ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，BE，CF相交于点O．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）试判断AF与DE有何数量关系、并说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
又∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB，
∴∠BOC＝90°，
∴BE⊥CF．
（2）解：AF＝DE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝DF，
又∵AB＝CD，
∴AE＝DF，
∴AF＝DE．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且OE＝OF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS）．
（2）解：四边形EBFD是矩形，理由如下：
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．