第17章勾股定理检测卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册人教版

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第17章勾股定理检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题
B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．定理一定有逆定理
D．命题一定有逆命题
2．下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25
3．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C．D．
5．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题
8．在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ．
9．如果梯子的底端离建筑物米，那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米．
10．平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为 ．
11．如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π）
12．如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ．
13．如图，在中，．将分别沿折叠，使点都与点重合，若，则 ．
三、解答题
14．如图，点，，在同一条直线上，，，，，．
(1)求证：；
(2)连接，求点到的距离．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)求的周长．
16．如图，中，．

(1)尺规作图：在上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，，求的面积．
17．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 ①测得水平距离的长为．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务：
(1)如图，在中，，，．求线段的长；
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升，长度不变，则他应该再放出多少米线？
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点分别是轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，点为第一象限的一个动点，其中，，连接，，，．
(1)如图2，若，满足，，，以为边在上侧作等边，连接，，
①求证：；
②求的长；
(2)如图3，若，，，，连接，求的长．
《第17章勾股定理检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C B B A A A
1．D
【分析】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，任何命题都有逆命题，正确理解逆命题的概念是解题的关键．
【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误；
B、原命题是假命题，它的逆命题不一定也是假命题，故本选项错误；
C、定理一定有逆命题，故本选项错误；
D、命题一定有逆命题，正确，故本选项正确；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：，
三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，，故A不正确；
B、，，故B正确；
C、，，故C不正确；
D、，，故D不正确．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用、轴对称的性质、圆柱的侧面展开图，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，
由题意得：，，，，
∴，
∴，
即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据勾股定理得到，由尺规作图得是的角平分线，过点作于点，如图所示，则，可证，得到，则，设，则，在中由勾股定理得到，由此列式求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，过点作于点，如图所示，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故选：A ．
7．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图：作于D，作于E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
8．10或
【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：设第三边为x，则
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，
由勾股定理得，，解得：；
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，
由勾股定理得，，解得．
所以第三边长为10或．
故答案为：10或．
9．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质化简，根据勾股定理计算，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得，梯子可以到达建筑物的高度是（米）．
故答案为：．
10．5
【分析】由点，可知点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时为最小值，再利用两点间距离公式即可求得答案．
【详解】解：点，
点是直线上的动点，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，如图，
则，
为最小值，
由两点间距离公式得：，
的最小值为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最小值，两点间距离公式等，根据点，判断点是直线上的动点是解题关键．
11．
【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可．
本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，于，由等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的性质定理可得，，从而得出、均为等腰直角三角形，证明，得出，进而得出，由等面积法结合等腰直角三角形的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
∵在中，，于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴、均为等腰直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，勾股定理，由三角形内角和定理得，由折叠得，，，，即得，设，则，在中利用勾股定理得，解方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得，，，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)点到的距离为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点到的距离为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
15．(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握坐标与轴对称变换是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的性质求出点的坐标，再求出，，的长，然后利用三角形的周长公式求解即可得．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴的周长．
16．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，
（1）根据垂直平分线的性质即可知作线段的垂直平分线与线段相交的点即为所求点D；
（2）根据已知可求得线段的长，利用勾股定理可求得的长，结合面积公式即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；

（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
则．
17．(1)
(2)他应该再放出5米线
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）先在中，利用勾股定理可得的长，再根据求解即可得；
（2）画出图形（见解析），先利用勾股定理可得的长，再求出的长即可得．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵小明牵线放风筝的手到地面的距离为，
∴，
∴，
答：线段的长为．
（2）解：如图，由题意得：，
由（1）已得：，
∴，
在中，，
∵，
∴，
答：他应该再放出5米线．
18．(1)①见详解；②
(2)
【分析】（1）①由等边三角形的判定及性质得，是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；
②取的中为，连接，由勾股定理得；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，是等边三角形，由勾股定理得，由全等三角形的性质，即可求解；
（2）过作轴交于，作轴交于，过作交于，由平行线的性质得 ，，由勾股定理得，由三角形的面积得，求出，由勾股定理得，即可求解．
【详解】（1）①证明：，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
（）；
②解：如图，取的中为，连接，
，
，，
解得：，，
，，
；
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：过作轴交于，作轴交于，过作交于，
轴，轴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加适当的辅助线并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
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