第6章图形的相似检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册苏科版

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第6章图形的相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
7．如图，三个等腰直角三角形拼接在一起，，且它们的斜边，，在同一直线上，连结，若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．18 C． D．
二、填空题
8．在中，是延长线上一点，且，则的长为 ．
9．线段上有一点，，，那么 ．
10．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则 ．
11．下列说法中：①一元二次方程有两个相等的实数根；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③在四边形中，若，则四点共圆；④相似多边形都是位似多边形，其中正确的是 ．（只填序号）
12．如图，已知，，点D在射线上，以为边作正方形，连接、，则的最小值为 ．
13．已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则 ．
三、解答题
14．如图，在中，，D是上一点，．
(1)求证：；
(2)若，的面积为2，求的面积．
15．某中学数学实践小组决定测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在距离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军和小强站在南岸边，调整小军和小强两人的位置，当小军和小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军和小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为100米，小军和小强两人之间的距离为40米，于点，求这条河的宽度．

16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出与的相似比为的，其中点的对应点为点，并写出点的坐标．
(2)画出绕点O逆时针旋转后的，其中点的对应点为点，并写出点的坐标．
(3)如果在内部有一点，请写出点D经过（2）变化后的对应点的坐标．
17．在中，，，点为边上的动点（不与点重合）．过点作于点，连接．
(1)如图1，当时．
①求的长；
②求内切圆的半径．
(2)如图2，若点为的中点，连接，设．的面积为，求与的函数关系式．
18．综合与探究
如图，在矩形中，，点M从点B出发，以每秒的速度沿折线移动，点N从点C出发，以每秒的速度在对角线上移动，点同时出发，同时停止移动．设移动时间为秒．

(1)如图1，点M在上，若，求t的值．
(2)如图2，点M在上，当t为何值时，是直角三角形？
(3)如图3，点M在上，设四边形的面积为S（单位：），直接写出S与t的函数关系式．
《第6章图形的相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B A B D B A
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得结论．
【详解】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方，
∴两个相似三角形的面积之比为时，这两个相似三角形的对应边之比是．
故选：B．
2．B
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解：分别为上的三等分点，
，
，
，
，
故选：B．
3．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
，，，
选项B、C、D不符合题意；
，故A选项符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为，
点A的对应点的坐标为或，
即或．
故选∶B．
5．D
【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，．
．
．
与的面积比为，
与的相似比为，即．
．
故选：D
6．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由可得，由可得，于是可得，进而可得，由和是共底同高的三角形，且可得，进而可得，再根据即可求出的面积．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
和是共底同高的三角形，且，
，
，
，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，找出相似三角形是解题关键．令与的交点为，与的交点为，根据等腰三角形三角形的性质，推出，，进而得到，，再利用斜边长，求出直角边长，进而得出，，即可求出中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，令与的交点为，与的交点为，
、、是等腰直角三角形，
，
，，
，，
，，
，，，
，，，，
，，
，，
，，
,
故选：A．
8．
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据勾股定理，过B作于H，推出是等腰直角三角形，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，
∴，
过B作于H，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查比例性质、解一元二次方程，熟练掌握比例性质是解答的关键．先根据内项之积等于外项之积列方程，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵点是线段上一点，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
10．18
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：∵D、E为边的三等分点，，
∴，
∴，，即，
∴是的中位线，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．①③/③①
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，圆的性质，相似多边形和位似多边形，根据一元二次方程根的判别式，圆的性质，相似多边形和位似多边形的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①∵，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，故选项说法正确；
②圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴，故选项说法错误；
③在四边形中，若，则四点共圆，故选项说法正确；
④相似多边形不一定都是位似多边形，故选项说法错误；
∴说法正确的是①③，
故答案为：①③．
12．
【分析】本题主要考查等边三角形和等腰三角形的判定和性质，动点问题，正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．以为边作等腰，连接，得到，作点关于的对称点，连接、、、，证明，设垂足为，求出，即可得到答案．
【详解】以为边作等腰，连接，
则，，
，
，
，
点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接、、、，
则，
是等边三角形，
，
又，
，
，，
，
设垂足为，则，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度．连接，，作于E，于F，先证得，由，得出，，根据反比例函数系数k的几何意义得出，进一步得出，通过证得，得出，然后根据求得的面积为4，从而求得k的值．
【详解】解：如图，连接，，作于E，于F．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
（1）根据可得，即可求证；
（2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
解得：．
15．这条河的宽度为30米
【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解．
【详解】解：延长交于点，如图所示．
，，
，
依题意，米，米．
设这条河的宽度为米．
∵，
．
，
即，
解得．
答：这条河的宽度为30米．
16．(1)见详解，点的坐标为
(2)见详解，点的坐标为
(3)点的坐标为
【分析】本题考查作图一位似变换、作图一旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键，
（1）根据位似的性质作图，即可得出答案
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案
（3）根据旋转的性质可得答案
【详解】（1）解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为
（2）解：即为所求．
由图可得，点的坐标为
（3）解：∵，，
∴总结规律可得：点的坐标为
17．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先求，再对运用勾股定理求解；
②先通过面积法求出，继而可求，再对运用面积法得到，即可求解半径；
（2）可知点四点共圆，根据圆周角定理以及外角定理证明，过点作于点，则，设，则由勾股定理得：，那么，故，在中，由勾股定理得，，则，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
②如图：
在中，，
∵，
∴，
∴
∴
∴在中，由勾股定理得，，
设内切圆半径为，则，
∴
∴；
（2）解：如图：
∵，点为中点，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
设，
则由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
则，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了与圆有关的综合问题，涉及内切圆的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数关系式的建立等知识点，难度较大．
18．(1)秒
(2)秒时，是直角三角形．
(3)
【分析】（1）由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，过M作于H，证明，由相似三角形的性质得出，由三线合一的性质得出，画出图形分别求解即可．
（2）分两种情况，当时和当，画出图形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
（3）过点N作于G，利用相似三角形的判定和性质求出，再根据 即可得出答案．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，
过M作于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当M在线段上时，如下图，

由题意知，，，则，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：由题意知，，
①当时，如下图：

∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
②当时，如下图，

∵，
∴，
∴，
∴，
解得：(不符合题意，舍去)
综上所述：秒时，是直角三角形．
（3）解：由题意知，，，
∴，
过点N作于G，如下图，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
则
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
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