第5章二次函数检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册苏科版

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第5章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数的x与y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
下列结论正确的是（ ）
A．
B．的解集是
C．若点，，，在该函数图象上，则
D．对于任意的常数m，必有
4．已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数的图像如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．二次函数的顶点坐标是 ．
8．将抛物线向左平移3个单位后得到的抛物线解析式是 ．
9．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
10．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，抛物线的对称轴为直线．若对于，，都有，则的取值范围是 ．
11．某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m．
12．已知二次函数，且满足条件，，给出以下结论：
①；
②存在满足条件的，，，使得二次函数在时取得最小值；
③；
④对任意满足的实数，都有；
其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，已知，．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)为抛物线的顶点，求的面积．
14．在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）．
(1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
(2)若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：．
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．
15．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标
(3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
16．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）．
17．如图，等边的边长为4，点在边上运动，过点作于点，过点作，交于点，连接，设，的面积为．
(1)求与的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)当为何值时，的面积有最大值？并求出最大值；
18．如图抛物线与轴交于点和点．已知直线与抛物线交于M、N两点．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，若直线将线段分成两部分，求k的值；
(3)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．求出直线与图象交点个数恰好三个时k的取值．
《第5章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D D B D D
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线是：．
故选：D．
3．D
【分析】根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题．
【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为，即，由图表的数据和二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以可得，易得，故选项A错误，不符合题意；
由表格可知当时，，由二次函数图象的对称性可知当时，，所以的解集是，故选项B错误，不符合题意；
由表格和图象的性质可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以；因为，所以，同理易得，则在该函数图像上，故选项C错误，不符合题意；
当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值，所以，即必有，故选项D正确，符合题意．
故选项为：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足：离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵距离对称轴有个单位长度，
距离对称轴有个单位长度，
距离对称轴有个单位长度，
∴．
故选：B ．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，化简绝对值，本题利用了二次函数的图象确定a，b，c的取值范围后再化简绝对值．
【详解】解：由图知，二次函数的图象的开口向，
，
与y轴交于y轴的正半轴，
，
对称轴在二象限，
，
则，
图象过点，
，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查二次函数图象和性质，依据题意，根据二次函数的图象和性质依次判断即可得解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
故②正确；
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
∵抛物线过点，，
抛物线可以表示为：，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故选：D．
7．
【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的解析式的顶点式即可得．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：．
8．
【分析】此题主要考查了二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行作答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位后得到的抛物线解析式是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，代数式求值，首先把点代入抛物线的解析式，可得，再把代入，即可求得答案．
【详解】解：把点代入抛物线的解析式，
得，
，
故答案为：．
10．且
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先根据对称轴，可知二次函数的关系式为，再将代入关系式根据可得答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，
即，
∴抛物线的关系式为．
当时，
，，
∵，
∴，
即或，
解得．
又∵，
∴
故答案为：且．
11．10
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为和M点的坐标为，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
当时，，
故N点的坐标为；
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴M点的坐标为，
∴之间的距离为．
故答案为：10．
12．①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的各个知识点是解题的关键．①根据，，通过正、负来判断；②根据对称轴列式得到，与已知的矛盾；③分两种情况讨论，将和代入可得结论；④利用数形结合的方法，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，画出函数图象，可知当时，，此时，可知，从而得出；当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，同第一种情况讨论即可．
【详解】，，，
①、、中有正、负，
为最小，为最大，
，，
，故①正确；
②，
图象一定经过，
对于二次函数，当时，有最小值，即，
，故②错误；
③当时，时，，
当时，，
即时，，
，故③正确；
④如图所示，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：
i）当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，如图1，
当时，，
当时，，
，
，
当满足时，即当时，，此时，
，则当时，，
，
ii）当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，如图2，
，
当时，，
，
当时，即当时，，此时，
，则当时，，
，
④正确；
故答案为：①③④．
13．(1)；；
(2)．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式；根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标；再根据题意和图形，可知的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积．
【详解】（1）解：∵直线经过B、C两点，点B的坐标为，点C的坐标为，
，
解得：
∴直线的解析式是；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，
，
解得：
即抛物线为．
（2）解：由（1）知，抛物线为
∴该抛物线顶点D的坐标为；
设直线与抛物线对称轴交于点E，
∵点D的坐标为，
点E的横坐标为，
把代入得，，
，
的面积．
14．(1)函数图象的顶点坐标为；
(2)证明见解析；
(3)的值为．
【分析】（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证；
（）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解；
本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数，
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）证明：若，则二次函数，
∴抛物线开口向下，
∵函数图象与轴有两个交点，，且，
∴当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴的值为．
15．(1)
(2)当时，的长最大，点的坐标为
(3)存在，点坐标为或时，使为等腰直角三角形
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，然后求出点的坐标，再列出的长度的表达式，确定取最大值时求出点的坐标即可；
（3）先设出点的坐标，然后表示出的长度，再根据抛物线的对称性表示出的长度，列出关于点的横坐标的方程，求出点的横坐标，即可确定点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：时，，
，
直线解析式为，
点在线段上方抛物线上，
设，
，
，
，
当时，的长最大，
此时，点的坐标为；
（3）解：存在点使为等腰直角三角形，
设，则，
，
抛物线，
对称轴为直线，
轴交抛物线于点，
、关于对称轴对称，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
①当时，，
，
解得：（舍去），，
，
②当时，，
，
解得：，（舍去），
，
综上所述，点坐标为或时，使为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的长度是解题的关键．
16．40
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出内侧抛物线的解析式为，将代入求出，然后求出即可．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
设内侧抛物线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
（米）．
17．(1)
(2)当时，的面积有最大值，最大值为
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的性质，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合已知得到，由勾股定理求得，则，证明是等边三角形得到，再利用三角形的面积公式求解函数关系式，根据求解自变量的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵等边的边长为4，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，又，
∴，则，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的面积，
∵D在上，
∴，即，
∴；
（2）解：由于，
∵，，
∴当时，y取最大值，最大值为，
答：当时，的面积有最大值，最大值为．
18．(1)抛物线的解析式为：
(2)或
(3)或1
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象的增减趋势是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）直线将线段分成两部分，则或，得到或，即可求解；
（3）根据函数图象的交点，利用特殊位置解决问题即可．
【详解】（1）解： 直线的解析式为，
．
又经过，，，
，
解得：．
抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线与轴的交点为，
，，
，
直线将线段分成两部分，
或，
或．
将或代入，
或；
（3）解：如图所示，
当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入，
．
又的顶点是，
将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为．
折叠后的抛物线表达式为，
联立和得，
，即，
，
或，
，
，
故或1．
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