第28章锐角三角函数检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册人教版

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第28章锐角三角函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在四边形中，已知，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．
4．如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点为矩形的对称中心，，，以为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
6．年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米．
用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度，分，秒”为单位，按键顺序为；
一袋粮食从底部输送到顶部，升高了米；
坡角为；
；
以上说法正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．在中，，，，则长度是 ．
8．已知，则 ．
9．锐角三角形中，已知，满足则 ．
10．如图，等腰梯形的上底长为2，的半径相等，所在圆的圆心分别为点A，O，则图中阴影部分的面积是 ．
11．如图，分别为三边上的高．若，则 ．
12．如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，以为边向上作正方形，连接，则的面积的最大值为 ．
13．如图，平行四边形中，，，，与的平分线，交于点，连接，则的值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．如图，在中，已知，，，求的长．
16．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中画一个，使．
(2)在图②中画一个钝角，使．
(3)在图③中画一个锐角，使．
17．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且．
(1)求的值．
(2)设点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在一点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)点在线段上，连接，且，求的值．
19．除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家处出发步行至小青家处，再步行到达正东方向的朝旭百货处，最后步行到达外婆家处．小津从家处出发步行至商店处，再步行至外婆家．已知在的东北方向，且米，米，在的正北方向，且在的北偏西方向，既在的南偏东方向，又在的南偏西方向，且米，在的正东方向．（参考数据：，，，）
(1)求小津家处与商店处的距离；（结果保留根号）
(2)小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到）
《第28章锐角三角函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D A B A B
1．C
【分析】本题考查锐角三角函数值．根据互余两个角的三角函数值的关系进行解答即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，
故选C．
2．D
【分析】本题考查解直角三角形，过点作，分高在的内部和外部两种情况进行求解即可．
【详解】解： ∵，
过点作，
①当高在的内部时，
设，
则：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：或
当时，，
∴；
当时，，即两点重合，
∴，
∴；
当在外部时，设，则：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：或，
当时，，不符合题意；
当时，重合，，
∴；
故选D．
3．A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形；如图，延长，交于点，得出，进而求得的长，进而求得的长，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点．
，
．
，，
，，
，
．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键．
由可得推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为．
【详解】解：∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动，
设的中点为，
∴当C、E、共线时的最小，最小值为，
∵是等边三角形，
∴经过点O，，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选B．
5．A
【分析】连接，分别交于点F和点G，证明，则，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，分别交于点F和点G，
∵点为矩形的对称中心，，，
∴，，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，
∵点为的中点，
∴，，
∴
∵，
∴是等腰三角形，
∵
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形面积、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可．
【详解】解：按键顺序不对，最后两个步骤“”和“”应该互换位置，故错误；
，
，
，
在中，，
米，故正确；
坡角为，故错误；
，
，
，故正确；
故选：B．
7．10
【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是利用余弦函数的定义求出直角三角形的斜边．
先根据余弦函数的定义得出的值，再设，最后结合勾股定理求解AB的长度．
【详解】在中，，根据余弦函数的定义，
已知，所以设，
根据勾股定理，
已知，则，
即．
两边同时除以16得，
，
，
则．
故答案为：10．
8．
【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得；设，由勾股定理可得，再根据余弦的定义可得、，最后整体代入计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
设，
∴由勾股定理可得．
，，
．
故答案为：．
9．/度
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理．根据绝对值和平方的非负性得到，，从而，，进而根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴在中，．
故答案为：
10．
【分析】本题综合考查了圆的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明出阴影面积等于菱形的面积是解题关键．连接，，过点B作于点E，证明、、是等边三角形，进而得到，，将阴影面积转化为菱形的面积求解即可．
【详解】解：连接，，过点B作于点E，如图．
的半径相等，
，
为等边三角形，
，
．
在等腰梯形中，，
，
又，
为等边三角形，
同理可得也是等边三角形，
，
四边形是菱形，，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，证明三角形相似并且根据相似三角形的对应边成比例得出比例式是解题的关键．
先由，，，得，再由，得，则，．再证明，得，变形为，可证明，得，得，则．用同样的方法求得，即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
，
，．
，
，，
，
．
，
，
，
，
又，
，
，
．
同理，得，
，
．
．
故答案为：．
12．
【详解】本题考查了全等三角形的判定和性质，二次函数的应用，过点作于，过点作于，过点作于，求得的长，再利用，得到，则可用表示的面积，利用二次函数的性质，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键．
【分析】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于．
在中，，
，，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
设，
，
，
当时，的面积最大，最大值为．
故答案为：．
13．
【分析】作于，根据四边形是菱形，，，得到，，，从而得到，，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：作于，
四边形是平行四边形，
．
．
是角平分线，
．
．
．
同理．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
，，
，，，
，
，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，求角的正切值，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
14．
【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数，立方根的定义，负整数指数幂的意义，乘方法则，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
15．
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
过点A作于点D，根据锐角三角函数关系求出，然后根据，进而利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【详解】解：解：过点A作于点D，
，
∵，，
在中
∴，
在中，，
，
∵，
∴．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了利用网格作图，正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用网格作，，则；
（2）利用网格特点，结合，为钝角三角形，作图即可；
（3）利用网格特点，结合，为锐角三角形，作图即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：如图②、图③、图④，即为所求，
（3）解：如图⑤，即为所作，
取格点，连接，
由勾股定理可得：，，，
∴，，，
∴为直角三角形，
∴．
17．(1)
(2)点的坐标为
【分析】（1）先求出，，解直角三角形得出，从而得出点的横坐标为，得出，然后求出反比例函数解析式即可；
（2）取点M关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，根据轴对对称得出，说明，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，先求出解析式，然后求出点P坐标即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，，
，
，
轴，
点的横坐标为，
又点在直线上，
，
∴点在上，
．
（2）解：存在．
取点M关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图所示：
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
在上，
，即，
，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
设的解析式为，则：
，
解得：，
∴的解析式为．
令，得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，轴对称的性质，求正切函数值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算．直角三角形两锐角互余，等角对等边等知识．
（1）作于点，根据正弦和余弦的定义分别求出和，根据直角三角形两锐角互余得出，再根据等角对等边得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案．
（2）作于点，，则，，根据正切的定义得出，进而可得出，再根据，进而可得出，，进而了可得出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：作于点
在中，，
，
在中，
，
（2）解：作于点，则，
∴，
，，
，
，
，
由题意，，
19．(1)米
(2)小津先到达外婆家；计算见解析
【分析】（1）连接，延长交于点G，过点B作于点H，证明四边形为矩形，得出米，，解直角三角形得出米，
米，米，米，即可得出答案；
（2）根据解析（1）中求出的相关结果，分别求出小南需要的时间，小津需要的时间，然后再进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，延长交于点G，过点B作于点H，如图所示：
∵在的正北方向，在的正东方向，
∴，
∵，在的正东方向，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵在的东北方向，
∴，
∴（米），
（米），
∴米，
∵在的北偏西方向，E在的南偏西方向，
∴，，
∴（米），
（米），
∴（米），
∵在的南偏东方向，
∴，
∴（米），
答：小津家处与商店处的距离米；
（2）解：根据解析（1）可知：米，米，
∴小南需要的时间为：
（分钟），
小津需要的时间为：
（分钟），
∵，
∴小津先到达外婆家．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握三角形函数的定义，是解题的关键．
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