第27章相似检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册人教版

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第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，在中，点，分别在边、上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．， B． C． D．
3．若的每条边长变为原来的2倍，则的度数（ ）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的一半 D．不发生改变
4．如图，已知直线，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，点G为的重心，若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形和正方形的顶点，，的同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是：（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
8．如图，在中，，，点是的重心，，则的长为 ．
9．已知半径分别为和的两圆相交于点A和B，经过交点B的任意一直线和两圆分别交于点C和D，则的值为 ．
10．如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为 ．
11．如图，在中，，且，则 ．
12．如图，点在反比例函数的图像上，点，以点为位似中心，在的右侧方将线段放大为原来的倍得到线段．
（1） ；
（2）若线段与总有交点，则的最大值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，，，点D是线段上的一个动点，连接，以为边作矩形，使得边经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为 ．

三、解答题
14．如图，在中，于点为的中点，过作交直线于点．求证：．
15．如图，在中，，，点是边的中点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，以、为邻边构造，设与重叠部分图形的面积为S，点的运动时间为（秒）（）．
(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当点落在的垂直平分线上时，求的值；
(3)求S与之间的函数关系式．
16．已知：点E是直线上一点，以线段为边作，，作射线，将绕点B顺时针旋转角后交直线于点F．
(1)如图1．当，，E在边上时，，，三边的关系是________．
(2)如图2．当，，E在边上时，，，三边又有什么关系，请说明理由．
(3)当，时，若，，求的长．（请自己将图3补充完整）．
17．如图，是的一条弦，过点分别作的垂线，点为上一点，过点作的切线交上述垂线于点，连接交于点．
(1)若是的直径，求证：；
(2)若不是的直径，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举例说明．
18．（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N．
【问题探究】
①求证：；
【问题解决】
②当时，若，求正方形的边长；
【实际应用】
（2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由．
《第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D D C B A A
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
又∵
∴
∴，本选项不符合题意；
B、∵，
又∵
∴
∴，本选项不符合题意；
C、当时，不能判定，本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
又∵
∴
∴，本选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
当，时，，
故选D．
3．D
【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质．利用相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵的每条边长变为原来的2倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴的度数不发生改变，
故A，B，C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键.
【详解】解：为的重心，
，
，，
，即，
，
．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得，
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故选：A
7．A
【分析】①根据正方形的性质及勾股定理可求，再根据线段的和差关系可求的长；②根据正方形的性质和平角的定义可求；③作于K，交于，连接交于，证明，可得；④证明四边形为正方形，可得，证明，利用相似三角形的性质可得．
【详解】解：①∵，正方形，
∴，，，
∵正方形，
∴，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，，
∴，故②正确，符合题意；
③作于K，交于，连接交于，
则，，，四边形为矩形，
∴，
∴，故③正确；
④∵正方形，，
∴，，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故④错误；
综上：正确的有①②③；
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，含45°的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定的难度，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．
【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可．
【详解】解：，，点是的重心，
，，，
如图，作，交于点G，
，，
，，
，
在中，，由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：．
9．
【分析】此题主要考查了三角形的相似以及圆周角定理，作出两圆直径得出两三角形相似是解题关键．
作直径，，连接，，，先证明E，B，F在一条直线上，再证明，利用三角形相似的性质求出对应边的比值，即可得出答案．
【详解】解析：如图所示．作直径，，连接，，，
∵，为两圆直径，
∴，
∴E，B，F在一条直线上，
，
．
故答案为：．
10．/
【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离．
【详解】解：将沿方向平移得到，
∵
∴
故答案为：
11．
【分析】本题是圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是结合垂径定理延长，得到以及，进而得到．
【详解】
如图，延长交于点，连结．
．
，，
，
，
，
．
12． 12 2
【分析】本题考查的是位似变换、直线与双曲线的交点，正确求出直线与双曲线在第一象限的交点是解题的关键．
（1）根据反比例函数图像上点的坐标特征计算；
（2）求出的坐标为，代入，求出，根据线段与总有交点，可求出的最大值．
【详解】解：（1）∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
故答案为：12；
（2）根据题意得的坐标为，
∵线段与总有交点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的最大值为2，
故答案为：2．
13．
【分析】取中点M，连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，当点O，M，F三点共线时等号成立；作于点H，证明，根据对应边成比例求出，，即可得到点F的坐标．
【详解】解：如图，取中点M，连接，
在矩形中，，，
，，
，
，
，当点O，M，F三点共线时等号成立，
如图，作于点H，
在矩形中，，
，
又，
，
，
即，
解得，，
∴点F的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，通过添加辅助线构造是解题的关键．
14．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，构造全等三角形和相似三角形是解答的关键．
过点作交的延长线于点，延长交于点，证明，得到．证明，，得到，从而．证明，得到，因此，得证．
【详解】证明：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，
则
∵M为的中点，
．
，
∴．
在和中，
，
，
．
，
，
．
又，
，
．
，
．
，
，
，
，
∴．
15．(1)当时，；当时，
(2)
(3)
【分析】（1）求出点E从点A运动至点D的时间，分点E在上和点E在上两种情况求解；
（2）若点落在的垂直平分线上，则，设与交于点H，根据勾股定理求出，证明，得到，求得，从而，证明，得到，求得，根据即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当时，重叠部分图形的面积S为的面积；②当时，重叠部分图形的面积S为梯形的面积．分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，点是的中点，
∴．
当点E运动t（秒）时，
∵点E从点A运动至点D需要时间为（秒），
运动至点B需要时间为（秒），
∴当时，点E在上，则
，
当时，点E在上，则
．
（2）解：由图可知，若点落在的垂直平分线上，则，
设与交于点H，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
当点F在的垂直平分线上时，点H是的中点，
∴，
∴，
解得．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，当时，重叠部分图形的面积S为的面积，
过点F作于点M，则，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即．
②如图，当时，重叠部分图形的面积S为梯形的面积，
由（2）可知，
∴，
∴，，
即，，
∴，，
又由（2）可知，，
∴，
∴．
综上所述，与之间的函数关系式为
【点睛】本题考查函数解析式，垂直平分线，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．
16．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）易证是菱形，得到，从而有是等边三角形，因此，，进一步证明，，即可证得，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）由，，得到，因此，．证明，，得到，从而有，即可解答；
（3）由题意可得点F不能在线段的延长线上，只能在线段上或线段的延长线上．过点A作于点M，由等腰三角形的“三线合一”得到，根据含的直角三角形的性质与勾股定理可求得．再分类讨论：①点F在线段上；②点F在线段的延长线上，结合图形，分别求出的长即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵由旋转有，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当，时，若，则，
∴点F不在线段点的延长线上，
∴点F在线段上，或在的延长线上．
过点A作于点M，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，即，
∴．
① 当点F在线段上时，过点E作于点H，在上截取，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点F在线段的延长线上时，过点E作于点N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
17．(1)见解析；
(2)成立，证明见解析．
【分析】（1）连接，可证，得到，同理，，则，则，可证明，得到，则，由，即可求解；
（2）延长交于点，连接，根据圆周角定理，切线的性质等可得，，，，可证明，，则有，即，所以有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的直径，，，
∴是的切线，
∵过点作的切线交上述垂线于点，即点是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
证明：如图2，延长交于点，连接，
∵为的直径，
，
，，
∵为的切线，
，
，，，，
又，，
，，
均为的切线，
，
∴，，
又，
，，
，，
，即，
∴，
．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论等，解题的关键是添加恰当的辅助线，构造相似三角形，从而利用相似三角形的性质求解．
18．（1）①见解析，②；（2）点是线段的中点，理由见解析
【分析】（1）①根据正方形和平行线的性质得，由折叠得：，推出，即可得证；②根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论；
（2）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证．
【详解】（1）①证明：四边形是正方形，
，
由题意易得，四边形为矩形，
，
∴由折叠得：，
，
．
②解：由①知，
，
，
四边形为矩形，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
，
，
正方形的边长为．
（2）证明：点P是线段的中点，理由如下：
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点．
【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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