/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第3章 函 数
第13讲 二次函数与几何综合题
第1课时 角度问题、线段及周长问题
类型一 角度问题
1．（2024·连云港节选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1（a，b为常数，a＞0）.
(1)若抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，求抛物线的函数解析式；
(2)如图，当b＝1时，过点C(－1，a)，D（1，a＋2）分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分∠CMN.
(1)解：将点 A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－1，
得解得
∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x－1.
(2)证明：连接CN.
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1.
当x＝－1时，y＝a－2，∴M(－1，a－2).
当x＝1时，y＝a，∴N(1，a).
∵C(－1，a)，N(1，a)，
∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，CM⊥CN.
在Rt△CMN中，MN＝＝2.
∵D（1，a＋2），∴DN＝a＋2－a＝2，
∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD.
∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN.
2．（2024·广安节选）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0).
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，求所有满足条件的点M的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋x＋2.
(2)如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
则∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M.
过点T作x轴的平行线交y轴于点Q，过点B作BG⊥TQ于点G，则GQ＝OB＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT＋∠CTQ＝90°＝∠CTQ＋∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG.
∵CT＝BT，∴△CQT≌△TGB(AAS)，
∴QT＝GB，CQ＝TG.
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3－m，
∴QO＝3－m－2＝1－m，
∴T(m，m－1).
由TC＝TB可得m2＋(m－3)2＝(m－3)2＋(m－1)2，
解得m＝，∴T（，－）.
易得直线CT的解析式为y＝－5x＋2.
联立解得或
∴M（，－）.
∵四边形CTBK为正方形，∴易得K（，），
∴直线CK的解析式为y＝x＋2.
联立
解得或∴M（，）.
综上所述，点M的坐标为（，－）或（，）.
类型二 线段及周长问题
3．（2024·宜宾节选）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把点A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.
∵y＝x2－3x－4＝（x－）2－，
∴抛物线顶点D的坐标为（，－）.
(2)存在．理由如下：
作点D（，－）关于y轴的对称点D′（－，－），连接BD′交y轴于点M，连接DM.
在y＝x2－3x－4中，令y＝0得0＝x2－3x－4，
解得x＝4或x＝－1，
∴B(4，0).
∵BD的长为定值，
∴要使△BDM的周长最小，只需DM＋BM最小．
∵DM＝D′M，
∴DM＋BM＝D′M＋BM，
∴当点B，M，D′共线时，DM＋BM最小，最小值为BD′的长，此时△BDM的周长也最小．
由B(4，0)，D′（－，－）得直线BD′的解析式为y＝x－，
令x＝0得y＝－，
∴点M的坐标为（0，－）.
4．（2024·德阳节选）如图，抛物线y＝x2－x＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，P为抛物线的对称轴上一动点，求PA＋PM长的最小值．
解：(1)把点A(－1，0)代入y＝x2－x＋c，
得0＝1＋1＋c，解得c＝－2，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)连接BM，过点A作AH⊥BM于点H，交抛物线的对称轴直线x＝于点P′，设直线x＝交x轴于点N.
在y＝x2－x－2中，令y＝0得0＝x2－x－2，解得x＝－1或x＝2，
∴B(2，0)，∴AB＝3，BN＝2－＝.
∵将抛物线的顶点（，－）向下平移个单位长度得到点M，∴M（，－3），∴MN＝3，
∴BM＝＝＝，
∴sin ∠BMN＝＝＝，
∴＝，∴P′H＝P′M，
∴P′A＋P′M＝P′A＋P′H＝AH.
由垂线段最短可知，当点P与点P′重合时，PA＋PM的长最小，最小值为AH的长．
∵2S△ABM＝AB·MN＝BM·AH，
∴AH＝＝＝，
∴PA＋PM长的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第3章 函 数
第13讲 二次函数与几何综合题
第1课时 角度问题、线段及周长问题
类型一 角度问题
1．（2024·连云港节选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1（a，b为常数，a＞0）.
(1)若抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，求抛物线的函数解析式；
(2)如图，当b＝1时，过点C(－1，a)，D（1，a＋2）分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分∠CMN.
(1)解：将点 A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－1，
得解得
∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x－1.
(2)证明：连接CN.
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1.
当x＝－1时，y＝a－2，∴M(－1，a－2).
当x＝1时，y＝a，∴N(1，a).
∵C(－1，a)，N(1，a)，
∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，CM⊥CN.
在Rt△CMN中，MN＝＝2.
∵D（1，a＋2），∴DN＝a＋2－a＝2，
∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD.
∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN.
2．（2024·广安节选）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0).
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，求所有满足条件的点M的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋x＋2.
(2)如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
则∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M.
过点T作x轴的平行线交y轴于点Q，过点B作BG⊥TQ于点G，则GQ＝OB＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT＋∠CTQ＝90°＝∠CTQ＋∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG.
∵CT＝BT，∴△CQT≌△TGB(AAS)，
∴QT＝GB，CQ＝TG.
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3－m，
∴QO＝3－m－2＝1－m，
∴T(m，m－1).
由TC＝TB可得m2＋(m－3)2＝(m－3)2＋(m－1)2，
解得m＝，∴T（，－）.
易得直线CT的解析式为y＝－5x＋2.
联立解得或
∴M（，－）.
∵四边形CTBK为正方形，∴易得K（，），
∴直线CK的解析式为y＝x＋2.
联立
解得或∴M（，）.
综上所述，点M的坐标为（，－）或（，）.
类型二 线段及周长问题
3．（2024·宜宾节选）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把点A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.
∵y＝x2－3x－4＝（x－）2－，
∴抛物线顶点D的坐标为（，－）.
(2)存在．理由如下：
作点D（，－）关于y轴的对称点D′（－，－），连接BD′交y轴于点M，连接DM.
在y＝x2－3x－4中，令y＝0得0＝x2－3x－4，
解得x＝4或x＝－1，
∴B(4，0).
∵BD的长为定值，
∴要使△BDM的周长最小，只需DM＋BM最小．
∵DM＝D′M，
∴DM＋BM＝D′M＋BM，
∴当点B，M，D′共线时，DM＋BM最小，最小值为BD′的长，此时△BDM的周长也最小．
由B(4，0)，D′（－，－）得直线BD′的解析式为y＝x－，
令x＝0得y＝－，
∴点M的坐标为（0，－）.
4．（2024·德阳节选）如图，抛物线y＝x2－x＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，P为抛物线的对称轴上一动点，求PA＋PM长的最小值．
解：(1)把点A(－1，0)代入y＝x2－x＋c，
得0＝1＋1＋c，解得c＝－2，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)连接BM，过点A作AH⊥BM于点H，交抛物线的对称轴直线x＝于点P′，设直线x＝交x轴于点N.
在y＝x2－x－2中，令y＝0得0＝x2－x－2，解得x＝－1或x＝2，
∴B(2，0)，∴AB＝3，BN＝2－＝.
∵将抛物线的顶点（，－）向下平移个单位长度得到点M，∴M（，－3），∴MN＝3，
∴BM＝＝＝，
∴sin ∠BMN＝＝＝，
∴＝，∴P′H＝P′M，
∴P′A＋P′M＝P′A＋P′H＝AH.
由垂线段最短可知，当点P与点P′重合时，PA＋PM的长最小，最小值为AH的长．
∵2S△ABM＝AB·MN＝BM·AH，
∴AH＝＝＝，
∴PA＋PM长的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第三章 函 数
第13讲 二次函数与几何综合题
考点提升训练
第1课时 角度问题、线段及周长问题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
21世纪载言
www.21cny.com
己1总纪教肩
2世有
W,27GG⊙
21世纪载言
山山山.
:
1总纪教肩
2他有
W,27GG⊙
版权声明
21世纪教育网www.21cjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育股份有限公司（以下简称“本公司”）
旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：
一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织名校名师创作完成，
著作权归属本公司所有。
二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，其作品
仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷，均由上传用户承担法律责任，
本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况。
三、任何个人、企事业单位（含教育网站）或者其他组织，未经本公司许可，不得使用本网站任何作品及作品的
组成部分（包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式），一旦发现侵权，本
公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任。
四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为，欢迎予以举报。
举报电话：4006379991
举报信息一经核实，本公司将依法追究侵权人法律责任！
五、本公司将结合广大用户和网友的举报，联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为，
依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任！
特此声明！
深圳市二一教育股份有限公司
刃
D
C
1
X
E
P
C
M
D
O
B
A
X
O
A
B
X
11
C
D
A
B
C
M
y
巡
B
X
H
