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第3章 函 数
第13讲 二次函数与几何综合题
第2课时 面积问题、特殊三角形存在性问题
类型一 面积问题
1．（2024·黑龙江）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)将B(1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)令y＝0，则0＝－x2－2x＋3，
解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，
∴OA＝3.
∵C(0，3)，∴OC＝3.
过点P作PE⊥x轴于点E.
设P(x，－x2－2x＋3)，－3＜x＜0，
∴OE＝－x，AE＝3＋x，
∴S△APC＝S△APE＋S梯形PCOE－S△AOC＝AE·PE＋(OC＋PE)·OE－OA·OC＝×(3＋x)(－x2－2x＋3)＋(3－x2－2x＋3)(－x)－×3×3＝－（x＋）2＋.
∵－＜0，∴S有最大值，
∴当x＝－时，S有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（－，）.
2．（2024·凉山州）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把B(3，m)代入y＝x＋2，得m＝3＋2＝5，∴B(3，5).
把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.
(2)设P(t，－t2＋2t＋8)，－2＜t＜3，
则E(t，t＋2)，D(t，0).
∵PE＝2DE，
∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)，
解得t＝1或t＝－2（舍去），
∴点P的坐标为(1，9).
(3)存在．过点M作MK∥y轴，交直线AB于点K.
在y＝－x2＋2x＋8中，令y＝0，得0＝－x2＋2x＋8，
解得x＝－2或x＝4，∴C(4，0)，
∴AC＝6.
∵B(3，5)，∴S△ABC＝×6×5＝15.
设M(m，－m2＋2m＋8)，则K(m，m＋2)，
∴MK＝|－m2＋2m＋8－(m＋2)|＝|－m2＋m＋6|，
∴S△ABM＝MK·|xB－xA|＝|－m2＋m＋6|×5＝|－m2＋m＋6|.
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|－m2＋m＋6|＝×15，
∴|－m2＋m＋6|＝3，
∴－m2＋m＋6＝3或－m2＋m＋6＝－3，
解得m＝或m＝，
∴点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）.
类型二 特殊三角形存在性问题
3．（2024·遂宁节选）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标．
解：(1)由题意，得y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则－3a＝－3，∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点P，C关于抛物线对称轴对称，
C(0，－3)，∴点P(2，－3).
设Q(m，m2－2m－3).
∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2，
∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝m2＋(m2－2m－3)2，
整理得3m2－8m＋4＝0，
解得m1＝，m2＝2（舍去），∴m＝，
∴Q（，－）.
4．（2024·泰安）如图，抛物线C1：y＝ax2＋x－4的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A，B.
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将点D的坐标代入C1：y＝ax2＋x－4，
得－1＝a＋－4，解得a＝，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2＋x－4.
(2)∵抛物线C1：y＝x2＋x－4＝（x＋）2－，
∴抛物线C2：y＝（x－－1）2－＋3＝（x－）2－.
当x＝1时，y＝×（1－）2－＝－1，
∴点D在抛物线C2上．
(3)存在．
当∠BDP为直角时，
如图1，分别过点B，E作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，分别相交于点G，H，则G(－2，1).
∵△PBD为等腰直角三角形，∴∠BDG＋∠PDH＝90°，∠PDH＋∠PEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DPH.
∵∠DGB＝∠PHD＝90°，BD＝PD，
∴△DGB≌△PHD(AAS)，
∴DH＝BG＝1，PH＝GD＝1＋2＝3，∴点P(2，2).
当x＝2时，y＝（2－）2－＝2，即点P在抛物线C2上；
当∠DBP为直角时，如图2，同理可得△BGP≌△DHB(AAS)，
∴BG＝DH＝3，GP＝BH＝1，∴点E(－1，3).
当x＝－1时，y＝（－1－
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第13讲 二次函数与几何综合题
第2课时 面积问题、特殊三角形存在性问题
类型一 面积问题
1．（2024·黑龙江）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)将B(1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)令y＝0，则0＝－x2－2x＋3，
解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，
∴OA＝3.
∵C(0，3)，∴OC＝3.
过点P作PE⊥x轴于点E.
设P(x，－x2－2x＋3)，－3＜x＜0，
∴OE＝－x，AE＝3＋x，
∴S△APC＝S△APE＋S梯形PCOE－S△AOC＝AE·PE＋(OC＋PE)·OE－OA·OC＝×(3＋x)(－x2－2x＋3)＋(3－x2－2x＋3)(－x)－×3×3＝－（x＋）2＋.
∵－＜0，∴S有最大值，
∴当x＝－时，S有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（－，）.
2．（2024·凉山州）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把B(3，m)代入y＝x＋2，得m＝3＋2＝5，∴B(3，5).
把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.
(2)设P(t，－t2＋2t＋8)，－2＜t＜3，
则E(t，t＋2)，D(t，0).
∵PE＝2DE，
∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)，
解得t＝1或t＝－2（舍去），
∴点P的坐标为(1，9).
(3)存在．过点M作MK∥y轴，交直线AB于点K.
在y＝－x2＋2x＋8中，令y＝0，得0＝－x2＋2x＋8，
解得x＝－2或x＝4，∴C(4，0)，
∴AC＝6.
∵B(3，5)，∴S△ABC＝×6×5＝15.
设M(m，－m2＋2m＋8)，则K(m，m＋2)，
∴MK＝|－m2＋2m＋8－(m＋2)|＝|－m2＋m＋6|，
∴S△ABM＝MK·|xB－xA|＝|－m2＋m＋6|×5＝|－m2＋m＋6|.
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|－m2＋m＋6|＝×15，
∴|－m2＋m＋6|＝3，
∴－m2＋m＋6＝3或－m2＋m＋6＝－3，
解得m＝或m＝，
∴点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）.
类型二 特殊三角形存在性问题
3．（2024·遂宁节选）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标．
解：(1)由题意，得y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则－3a＝－3，∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点P，C关于抛物线对称轴对称，
C(0，－3)，∴点P(2，－3).
设Q(m，m2－2m－3).
∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2，
∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝m2＋(m2－2m－3)2，
整理得3m2－8m＋4＝0，
解得m1＝，m2＝2（舍去），∴m＝，
∴Q（，－）.
4．（2024·泰安）如图，抛物线C1：y＝ax2＋x－4的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A，B.
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将点D的坐标代入C1：y＝ax2＋x－4，
得－1＝a＋－4，解得a＝，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2＋x－4.
(2)∵抛物线C1：y＝x2＋x－4＝（x＋）2－，
∴抛物线C2：y＝（x－－1）2－＋3＝（x－）2－.
当x＝1时，y＝×（1－）2－＝－1，
∴点D在抛物线C2上．
(3)存在．
当∠BDP为直角时，
如图1，分别过点B，E作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，分别相交于点G，H，则G(－2，1).
∵△PBD为等腰直角三角形，∴∠BDG＋∠PDH＝90°，∠PDH＋∠PEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DPH.
∵∠DGB＝∠PHD＝90°，BD＝PD，
∴△DGB≌△PHD(AAS)，
∴DH＝BG＝1，PH＝GD＝1＋2＝3，∴点P(2，2).
当x＝2时，y＝（2－）2－＝2，即点P在抛物线C2上；
当∠DBP为直角时，如图2，同理可得△BGP≌△DHB(AAS)，
∴BG＝DH＝3，GP＝BH＝1，∴点E(－1，3).
当x＝－1时，y＝（－1－）2－＝3，即点P在抛物线C2上；
当∠BPD为直角时，如图3，设点P(x，y)，
同理可得△PHB≌△DGP(AAS)，
∴PH＝x＋2＝GD＝y＋1且BH＝y＝GP＝1－x，
解得x＝0且y＝1，∴点E(0，1).
当x＝0时，y＝（0－）2－≠1，即点E不在抛物线C2上．
综上所述，点P的坐标为(2，2)或(－1，3).
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中考数学一轮复习课件
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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
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考点提升训练
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