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第3章 函 数
第13讲 二次函数与几何综合题
第3课时 特殊四边形存在性问题、相似（含全等）有关的问题
类型一 特殊四边形存在性问题
1．（2024·泸州节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵A(3，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另外一个交点为(－1，0)，
∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3，
∴－3a＝3，解得a＝－1，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．由抛物线的解析式知点B(0，3).
由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3.
设点C(x，－x2＋2x＋3)，则点D(x，－x＋3)，∴CD＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，BD＝x，BC＝.
如图．①当BC为菱形对角线时，对应菱形为菱形BDCE′，则BD＝CD，∴－x2＋3x＝x，
解得x＝3－或x＝0（舍去），
∴BD＝x＝3－2；
②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD＝BC，
∴－x2＋3x＝，
解得x＝2或x＝0（舍去），
∴CD＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2.
综上所述，菱形的边长为3－2或2.
2．（2024·宁夏）抛物线y＝ax2－x－2与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点．
(1)抛物线的解析式为 y＝x2－x－2 ；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.设点D的横坐标为m，当PE＝BE时，求m的值；
(3)如图2，点F(1，0)，连接CF并延长，交直线PD于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，
解得x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴BO＝4.
当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2，
∴BC＝＝2.
易得直线BC的解析式为y＝x－2.
∵点D(m，0)，0＜m＜4，
∴P（m，m2－m－2），E（m，m－2），BD＝4－m，∴PE＝2m－m2.
∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴△BDE∽△BOC，
∴＝，即＝，∴BE＝(4－m)，
∴PE＝BE＝(4－m)，
∴2m－m2＝(4－m)，
解得m＝或m＝4（舍），∴m＝.
(3)存在．
∵C(0，－2)，F(1，0)，
∴直线CF的解析式为y＝2x－2.
当x＝时，y＝2×－2＝3，
∴M（，3），∴易得yN＝3.
∵N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2－x－2＝3，
解得x＝－2或x＝5.
当N(－2，3)时，FH＝MN＝，
∴点H的坐标为（－，0）或（，0）；
当N(5，3)时，FH＝MN＝，
∴点H的坐标为（－，0）或（，0）.
综上所述，点H的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）.
类型二 相似（含全等）有关的问题
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接BC，抛物线的对称轴l交x轴于点H，请问在对称轴右侧第一象限的抛物线上是否存在点P，当PQ⊥l于点Q时，以P，Q，H为顶点的三角形与△BOC相似（包含全等）？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3；
令y＝－x2＋2x＋3＝0，则x＝3或－1，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3).
(2)存在．
设点P(m，－m2＋2m＋3).
由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x＝1，
则PQ＝m－1，QH＝－m2＋2m＋3.
在Rt△BOC中，∵tan ∠CBO＝＝3，
∴当以点P，Q，H为顶点的三角形与△BOC相似时，tan ∠QPH＝3或，
即tan ∠QPH＝＝＝3或，
解得m＝－3（舍去）或2或（舍去）或，
∴点P的坐标为(2，3)或（，）.
4．（2024·内江节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令y＝0，则－2x＋6＝0，解得x＝3；令x＝0，则y＝6，
∴A(3，0)，B(0，6).
把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴这条抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋6.
(2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似．
设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0)，
∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.
①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴＝tan ∠BDE＝tan ∠CAE＝，∴＝＝2，
∴－2t2＋2t＝t，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴D（，）.
综上所述，点D的坐标为(1，6)或（，）.
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第3课时 特殊四边形存在性问题、相似（含全等）有关的问题
类型一 特殊四边形存在性问题
1．（2024·泸州节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵A(3，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另外一个交点为(－1，0)，
∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3，
∴－3a＝3，解得a＝－1，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．由抛物线的解析式知点B(0，3).
由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3.
设点C(x，－x2＋2x＋3)，则点D(x，－x＋3)，∴CD＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，BD＝x，BC＝.
如图．①当BC为菱形对角线时，对应菱形为菱形BDCE′，则BD＝CD，∴－x2＋3x＝x，
解得x＝3－或x＝0（舍去），
∴BD＝x＝3－2；
②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD＝BC，
∴－x2＋3x＝，
解得x＝2或x＝0（舍去），
∴CD＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2.
综上所述，菱形的边长为3－2或2.
2．（2024·宁夏）抛物线y＝ax2－x－2与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点．
(1)抛物线的解析式为 y＝x2－x－2 ；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.设点D的横坐标为m，当PE＝BE时，求m的值；
(3)如图2，点F(1，0)，连接CF并延长，交直线PD于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，
解得x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴BO＝4.
当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2，
∴BC＝＝2.
易得直线BC的解析式为y＝x－2.
∵点D(m，0)，0＜m＜4，
∴P（m，m2－m－2），E（m，m－2），BD＝4－m，∴PE＝2m－m2.
∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴△BDE∽△BOC，
∴＝，即＝，∴BE＝(4－m)，
∴PE＝BE＝(4－m)，
∴2m－m2＝(4－m)，
解得m＝或m＝4（舍），∴m＝.
(3)存在．
∵C(0，－2)，F(1，0)，
∴直线CF的解析式为y＝2x－2.
当x＝时，y＝2×－2＝3，
∴M（，3），∴易得yN＝3.
∵N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2－x－2＝3，
解得x＝－2或x＝5.
当N(－2，3)时，FH＝MN＝，
∴点H的坐标为（－，0）或（，0）；
当N(5，3)时，FH＝MN＝，
∴点H的坐标为（－，0）或（，0）.
综上所述，点H的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）.
类型二 相似（含全等）有关的问题
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接BC，抛物线的对称轴l交x轴于点H，请问在对称轴右侧第一象限的抛物线上是否存在点P，当PQ⊥l于点Q时，以P，Q，H为顶点的三角形与△BOC相似（包含全等）？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3；
令y＝－x2＋2x＋3＝0，则x＝3或－1，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3).
(2)存在．
设点P(m，－m2＋2m＋3).
由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x＝1，
则PQ＝m－1，QH＝－m2＋2m＋3.
在Rt△BOC中，∵tan ∠CBO＝＝3，
∴当以点P，Q，H为顶点的三角形与△BOC相似时，tan ∠QPH＝3或，
即tan ∠QPH＝＝＝3或，
解得m＝－3（舍去）或2或（舍去）或，
∴点P的坐标为(2，3)或（，）.
4．（2024·内江节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令y＝0，则－2x＋6＝0，解得x＝3；令x＝0，则y＝6，
∴A(3，0)，B(0，6).
把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴这条抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋6.
(2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似．
设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0)，
∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.
①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
图1
∴BD∥AC，
∴点D的纵坐标为6，
∴－t2＋t＋6＝6，
解得t＝0（舍去）或t＝1，
∴D(1，6)；
②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.过点B作BH⊥DC于点H，则H(t，6)，
∴BH＝t，DH＝－t2＋t，
图2
∴＝tan ∠BDE＝tan ∠CAE＝，∴＝＝2，
∴－2t2＋2t＝t，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴D（，）.
综上所述，点D的坐标为(1，6)或（，）.
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