第十七章：勾股定理 方法专题《勾股定理与最值问题》（含答案）

2025年春八下数学人教版
第十七章：勾股定理
方法专题《勾股定理与最值问题》
1.如图，在ΔABC中，，CD是高.
（1）若AB=8,，则AD的长为 ;
（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）.
2.已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB=25,AD=15, BC=10,，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC.
图1 图2
（1）当PD=PC时，求AP的长；
（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使ΔAMN与ΔBMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由.
3.如图，在ΔABC中，分别为AB，AC上两个动点，且AD=CE，连接CD，BE，则BE+CD的最小值为
如图，在ΔABC中，∠BAC=30°，AB=10,AC=15,P是ΔABC内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是
如图，已知点P是等腰直角ΔABC内一点，∠ABC=90°,AB=BC=3.求PA+PB+PC的最小值.
如图，在边长为6的等边ΔABC中，D为AC的中点，射线DE//BC，M，N分别为线段AB与DE上的点，连接CM，CN，若BM=DN，求CM+CN的最小值.
如图，C为线段BD上一动点，AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，
若AB=5,DE=1，CD=x.
①用含x的代数式表示AC+CE的长；
②求AC+CE的最小值；
（2）若求y的最小值；
（3）若，求y的最大值.
8.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是？
9.如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为？
10.如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从点A出发沿长方体的表面到达点B，则它运动的最短路程为
11.如图，E是边长为4的等边ΔABC的BC边上一动点（点E不与点B，C重合），以AE 为边作等边ΔAEF，则ΔAEF面积的最小值为？
12.如图，在等腰直角ΔADC中，，点M在DC上，且DM=2N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为？
答案
1.解：（1）在RtΔABC中，∵,
∴
在RtΔACD中, ∵
∴
（2）如图，作点D关于AC的对称点，点E关于BC的对称点E',
连接D＇E＇交AC、BC于M、N两点.
2.解（1）设AP=x, 则BP=25-x
∵DA⊥AB,CB⊥AB,AD=15,BC=10
∴
当PD=PC时，
解得x=10
（2）存在
作D点关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P（如图）
∴
由题得： BM=2t,AM=25-2t,AN=xt,BC=10
①∵∠A=∠B=90°
∴当AM=BC,AN=BM时ΔAMN≌ΔBCM
∴25-2t=10,xt=2t
∴t=7.5,x=2
∴t=7.5,x=2时ΔAMN≌ΔBCM
② ∵∠A=∠B=90°
∴当AM=BM,AN=BC时， ΔAMN≌ΔBMC
∴25-2t=2t,xt=10
∴时，ΔAMN≌ΔBMC
解 过点C向上作CM//AD，且CM=AC，连接EM，BM，
则∠CAD=∠ACM,ΔADC≌ΔCEM,
∴DC=ME 当B，E，M三点共线时，BE+M的最小值为BM，
过点M 作MN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵∠MCN=60 ° CM=AC=8,
∴CN=4,，在RtΔBMN 中，由勾股定理易求BM=2
∴BE+CD的最小值为
解将ΔAPC绕点A逆时针旋转60°得到ΔAFE，连接FP，BE，
得ΔAPF为等边三角形，
∴ PA=PF ，PC=FE，AC=AE、
∴PA+PB+PC=PF+PB+FE,
∴当B,P,F，E四点在一条直线上时， PA+PB+PC 有最小值为BE，
∵
∴
在RtΔABE中,
解将ΔBPA绕点B逆时针旋转60°到，连接CE，则为等边三角形，
∴，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，, EH=1,
∴EC=
6.解 在DN的上方作∠FDN=∠CDN=60°且FD=BC，连接FN,CF,FA，则ΔFDN≌ΔCBM,
∴CM +CN=NF+NC≥CF
∴CM+CN的最小值为CF
∵∠ADF=120°－ 60°=60°，DF=BC=AC=2AD
取DF中点K，连接AK，则DK=AD
∵∠ADK=60°
∴ΔKAD为等边三角形，∠KDA=60°，∠FAK= ，∠ADK=30°
∴∠FAD=90°
∴
在RT△ACF中，
7.解(1) ①
②连接AE，过点A作AFLDE交ED于点F，当A，C，
E三点共线时， AC＋CE最小等于
（2）如图1， AB=3 DE=1,
设BC=x,BD=6,
则
A，C，E三点共线时y、有最小值，即为AE，
AE是以AB+DE=4, BD=6为直角边的直角三角形的斜边，
∴
（3）如图2， AB=3,DE=1,BD=6,
设BC=x,则
∴
8.解：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴ BD=12-3+AE=12cm,
将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A＇，
连接A＇B，则A＇B即为最短距离，
9.解如图展开后连接SF ，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E
则
EF=18-1-1=16(cm),
在RtΔFES中，由勾股定理得：
10.解①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时：
最短路径为：
②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时：
最短路径为：
∵
最短路径为10，
故答案是：10．
11.解作AM⊥EF于M，
∴
∴
要使最小，只需AE最小，
此时AE⊥BC,
∴=
12.解
作D关于AC的对称点B，
连接BM，BC，
∴BN=DN, ∠BCA=∠DCA,
∵ AD=CD=8-
∴
∴
∴
∵DN+MN=BN+MN≥BM,
当B、N、M三点共线时， DN+MN的值最小，
∵BC=CD=8, DM=2
∴CM=6,
在RtΔBCM中， ,
∴
∴BM=101
∴DN+MN的值最小值为10，