第十七章 勾股定理章节复习专项训练《勾股定理与动点问题》（含答案）

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2025年春人教版八年级下册
第十七章勾股定理章节复习
专项训练《勾股定理与动点问题》
如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以
2cm／s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止.过了 秒钟后，ΔPBQ的面积等于8c㎡．
2.如图，在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm／s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm／s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒.
（1）填空：BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26c㎡？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
3.已知：如图所示，在ΔABC中，∠B=90° AB=5cm, BC=7cm,，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，ΔPBQ的面积等于4c㎡？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm
（3）ΔPQB的面积能否等于7c㎡？请说明理由
4.如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm／s 的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm／s的速度向终点A运动.当点P运动到点B时，两点均停止运动.运动时间记为ts，请解决下列问题：
（1）若点P在边AC上，当t为何值时，ΔAPQ为直角三角形？
（2）是否存在这样的t值，使ΔAPQ的面积为2c㎡？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由
如图，在RtΔABC中，动点P从点B出发，以2cm／秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
6.如图，已知ΔABC中，∠B=90°AB=16cm，BC=12cm ,P、Q 是ΔABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后， 能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后， 能形成直角三角形？
7.如图， ，点C在OA边上， 点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？
如图，在中， 点P从点A沿AB方向以1cm／s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm／s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒
求BC的长
（2）运动几秒后，ΔPBQ是等腰三角形；
（3）运动过程中，直线PQ能否平分ΔABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是边OA的中点，点P在BC边上运动，当ΔODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标
10.如图，在RtΔABC中，cm，动点P从点A出发，在AB边上以2cm／s 的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA边上以3cm／s的速度向点A匀速运动，运动时间为ts(011.如图，在四边形ABCD中，,AD//BC,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发，以1cm／s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm／s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使PQ=CD需要多少秒？
12.如图，在长方形ABCD中,AB=16cm,,AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm／s的速度向点B移动，至到达点B为止，点Q以2cm／s的速度向点D移动．点P，Q从出发开始几秒时，点P和点Q之间的距离是10cm？
13.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是边OA的中点，点P在BC边上运动，当ΔODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标
答案
1.解设经过x秒， ΔPBQ的面积等于8c㎡，
当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，PB=6-x BQ=2x
所以
解得x=2或4，
又知x<3,故x=2符合题意，
当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，
解得
2.解(1)P从点A开始沿边AB向终点B以1cm／s的速度移动，
∴AP=tcm.
∵AB=5cm,
∴PB=(5-t)cm.
点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm／s的速度移动，∴BQ=(2t)cm.
(2)
由题意得：
解得： 不合题意舍去），
当t=2秒时，PQ的长度等于5cm．
（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于.理由如下：长方形ABCD的面积是： ，使得五边形APQCD的面积等于26c㎡，则ΔPBQ的面积为
解得： 不合题意舍去），
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26c㎡
3.解（1）设经过x秒以后，ΔPBQ面积为此时AP=xcm, BP=(5-x)cm BQ=2xcm,
由得
整理得：
解得：x=1或x=4(舍）；
答：1秒后ΔPBQ的面积等于
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2、10cm，由
即
解得： t=-1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为
（3）假设经过t秒后，ΔPBQ的面积等于，即
整理得：
由于
则原方程没有实数根，所以ΔPQB的面积不能等于7c㎡
解（1）由题意，知cm，cm，
当时，
∴，即(6-t），解得；当时，
∵
即，解得
∴若点P在边AC上，当或3时，是直角三角形
（2）存在．理由如下：
如图（1），当点P在边AC上时，作于点M，则
∴
由
得
解得，此时，
∴
如图（2），当点P在边BC上时，作PM⊥AB于点M.此时
∴
由，得
解得（不合题意）
综上所述，当或4时，的面积是
5.解（1）在-RtΔABC中，由勾股定理得：
（2）存在，理由如下：
如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，
由已知可得： BP=2tcm,
PC=BC-BP=(8-2t)cm,
连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：
则PE=PC=(8-2t)cm,
在ΔAEP与ΔACP中,
∠PAE=∠PAC
AF=AP
∴ΔAEPQ≌ΔACP(AAS)
∴AE=AC=6cm,
BE=AB-AE=10-6=4(cm)
在RtΔBEP中，由勾股定理得：
即
解得：
6.解（1） 运动时间为4秒，
∴BQ=2×4=8(cm),
∴BP=AB-AP=16-1×4=12(cm),
在RtΔPQB中，根据勾股定理得：
（2）设运动时间为t秒，则BQ=2t(cm)
BP=(16-t)(cm),
根据题意得： 2t=16-t,
解得： ,
即出发秒钟后， ΔPQB能形成等腰三角形；
（3）当点Q在CA边上，且ΔCQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q.
在RtΔABC中，根据勾股定理得：
,
根据三角形面积公式可得：
在RtΔBCQ中，根据勾股定理得
当点Q运动到点A时， ΔCQB也形成直角三角形，
(12+20)÷2=16(秒)。
∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，ΔCQB能形成直角三角形.
7.解点P、Q同时出发，且速度相同，
∴BC=CA,
设BC=xcm,则CA=xcm,
∵OA=36cm
∴OC=(36-x)cm,
∵
∴
解得： x=20,
∴BC=20cm
8.解（1）由勾股定理得，
(2)∵ΔPBQ是等腰三角形，
∴BP=BQ,
则7-1×t=6t
解得t=1,
∴运动1秒后， ΔPBQ是等腰三角形；
（3）假设直线PQ能平分ΔABC的周长，则
=28(cm)
则7-1×t+6t=28
解得
当t时，点Q的运动路程为
∴直线PQ不能平分ΔABC的周长
9.解过P作PM⊥OA于M
（1）当OP=OD时,OP=5 CO=4,易得CP=3,
∴P(3,4);
(2)当OD=PD时,PD=DO=5,PM=4,
易得MD=3，从而CP=2或
∴P(2,4)或(8,4)
(3)当OP=PD时,
此时腰长为： ，故这种情况不合题意，舍去.
综上，满足题意的点P的坐标为(3,4)、(2,4)、(8,4).
解：易得 AP=2t,AQ=，当时，
易得
∴
解得t=2
当时，
∴ 2t,9 ∴ ，
综上所述t=2 或
11.解①当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形；
∴24-x=3x
解得x=6,
∴t=6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ=CD.
②当四边形PQCD是等腰梯形时， PQ=CD.
设运动时间为t秒，则有AP=tcm, CQ=3tcm
∴BQ=26-3t
作PM⊥BC于M DN⊥BC于N，则有
NC=BC-AD=26-24=2.
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC=QM=2
∴BM=(26-3t)+2=28-3t
∴当AP=BM，即t=28-3t，解得t=7,
∴t=7时，四边形PQCD为等腰梯形.
故答案为：6或7
12.解：（1）设P，Q两点从出发开始到x s时，
四边形PBCQ的面为33c㎡，则PB=(16-3x)cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得33，
解得x=5、
所以，P，Q两点从出发开始到5s时，四边形PBCQ的面积为33c㎡．
（2）设P，Q两点从出发经过ts时，点P，Q间的距离是10cm，如图，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6cm,
PQ=10cm.
∵PA=3tcm,CQ=BE=2tcm,
∴PE=|16-5t|cm,
由勾股定理，得
解得
所以，P，Q两点从出发到1.6s或4.8s时，点P和点Q的距离是10cm．
13.解过P作PM⊥OA于M
（1）当OP=OD时,
OP=5 CO=4,
易得CP=3,
∴P(3,4);
(2)当OD=PD时,PD=DO=5,PM=4,
易得MD=3，从而CP=2或·P(2,4)或(8,4);
(3)当OP=PD时,
此时腰长为： ，故这种情况不合题意，舍去.
综上，满足题意的点P的坐标为(3,4)、(2,4)、(8,4)
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