第五章 圆 章末突破（含答案）
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第五章 圆
章末突破
类型一 圆的基本性质
1.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的弦必相等
2.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB.若∠AOD=118°,则∠B=( )
A.52° B.59° C.62° D.69°
第2题图 第3题图
3.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4,则∠D= .
4.如图,在 △ABC 中, ∠C = 90°,AC=8,BC=6,O为内心,过点O的直线分别与 AC，AB边相交于点 D,E.若DE=CD+BE,则线段CD 的长为 .
类型二 点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系
5.已知⊙O的半径是4,点 P 到圆心O 的距离d 为方程 4=0的一个根，则点 P 在 ( )
A.⊙O的外部 B.⊙O的内部 C.⊙O上 D.无法判断
6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,tanB= 如果以点C为圆心，半径为 R 的⊙C 与线段 AB 有两个交点，那么⊙C的半径R 的取值范围是 ( )
类型二 圆的计算问题
7.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2 厘米，则镜面半径是 ( )
A.24厘米 B.26厘米 C.28厘米 D.30厘米
8.如图，MN是⊙O的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN 的中点，点P 是直径 MN 上一动点，若 ，则△PAB周长的最小值是 ( )
9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为 A，曲线终点为 B，过点 A，B的两条切线相交于点C，列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径 OA=2km,则这段圆曲线 的长为 ( )
10.如图,直线 6分别与 x轴,y轴相交于点 M,N,点 P在平面内,∠MPN=90°,点 C(0,3),则PC长度的最小值是 .
11.如图,在 ABCD中,∠C=120°,AB=8,BC=10. E为边CD 的中点,F为边 AD 上的一动点,将△DEF 沿 EF翻 折 得, 连接则面积的最小值为 .
12.【跨学科·地理】数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬 28°，求北纬 28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图 2，赤道 半径 OA 约为6 400千米,弦BC∥OA,以 BC 为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
根据以上信息，北纬 28°纬线的长度约为 千米.(参考数据:π≈3,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
13.【主从联动】如图,已知点 A 是第一象限内的一个定点，若点 P是以点O 为圆心，4为半径的圆上的一个动点,连接 AP,过点 A 作 AB⊥AP,且 当点 P 在⊙O上运动一周时，点 B 运动的路径长是 .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与⊙O相交于A，B两点，且点 A 在x轴上，则图中阴影部分的面积为 .
类型四 圆的证明问题
15.如图,AB 是⊙O 的直径,△ABC内接于⊙O,点 I为△ABC 的内心,连接CI并延长交⊙O于点D,E 是BC上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明；
(3)若 求△ABC 的周长.
16.如图,已知⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D 是圆上一点，E是DC 延长线上一点，连接AD，AE,且AD=AE,CA=CE.
(1)求证:直线 AE 是⊙O的切线;
(2)若 ⊙O的半径为 3,求 AD的长.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O分别与 BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点 F.
(1)求证:直线 DF是⊙O的切线;
(2)求证:
(3)若⊙O的半径为2,∠CDF=22.5°,求图中阴影部分的面积.
18.如图,AB 是⊙O 的直径,点C,D在⊙O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC;
(2)延长 DO 交⊙O 于点 E,连接 CE,交OB 于点F,过点 B 作⊙O 的切线交DE 的延长线于点 P.若 求⊙O半径的长.
易错点 圆中的分类讨论问题
19.在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为 ( )
A.2 B.5 C.1 D.5 或1
20.在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为 cm.
21.已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，则∠A= .
参考答案
1. D 2. B 3.72 4.2 或 5. B 6. A 7. B 8. D 9. B
10.1 解析:如图,以 MN 为直径作⊙E，连接 EC 并延长交⊙E于点 P',
此时 P'C的长度最小，当x=0时,y=0+6=6,∴点 N 的坐标为(0,6).
当y=0时, 解得x=-8,∴点M的坐标为(-8,0),
点 E 的坐标为(-4,3).
又∵点C的坐标为(0,3),
解析:∵在 ABCD中,∠BCD=120°,AB=8,∴CD=AB=8,AB∥CD,
∵E为边CD 的中点,
∵△DEF 沿EF翻折得△D'EF,
∴点 D'在以 E为圆心，4为半径的圆上运动,
如图,过 E 作 EM⊥AB 交AB 延长线于点M，交圆 E 于点 D"，此时点D"到边AB 的距离最短，最小值为 D"M的长，即△ABD"的面积最小.
过C作CN⊥AB于点N,∵AB∥CD,∴EM=CN,在 Rt△BCN 中,BC=10,∠CBN=60°,
∴△ABD'面积的最小值为
12.33792
13. 4π 解析:如图,连接OA,OP,过点 A 作AC⊥OA,且 连接BC,以
点 C 为圆心,CB长为半径作圆，
∵AC⊥OA,AB⊥AP,∴∠PAB=∠OAC=90°,
∴∠PAB-∠OAB=∠OAC-∠OAB,即∠PAO=∠BAC.
又∵
∴△PAO∽△BAC,
∴以点C为圆心，CB长为半径的圆即为点B 运动的轨迹，
∴点 B运动的路径长为2π×2=4π.
解析：过点 O作OE⊥AB 于点 C,记AB与y 轴交于点D,
∵直线 与⊙O相交于A,B两点，
∴当y=0时, 解得x=-2,∴OA=2,∴当x=0时 ∴∠DAO=30°,
∵OA=OB,∴∠DAO=∠ABO= 30°,
15.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵∠ABC=25°,
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，∴∠CEB+∠CAB=180°,
(2)DI=AD=BD,
证明：如图1，连接AI，
∵点I为△ABC的内心,∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵∠DAI = ∠DAB +∠BAI,∠DIA =∠ACI+∠CAI,∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD;
(3)如图 2,过 I 分别作IQ⊥AB,IF⊥AC, IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心.
∴Q，F，P 分别为该内切圆与△ABC三边的切点，∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.
∠DAB=45°,
∴△ABC的周长为
16.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,∴AB是⊙O的直径.
∵AD=AE,∴∠E=∠D.
∵∠B=∠D,∴∠E=∠B.
∵CA=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠CAE=∠B,
∴∠OAE = ∠CAE + ∠CAB = ∠B +∠CAB=90°,即 AE⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,∴直线AE 是⊙O的切线;
(2)作 CF⊥AE于点F,则∠CFE=90°,
∵∠E=∠CAE=∠B,
∵OA=OB=3,∴AB=6,
∴
∴AD的长是
17.解:(1)连接OD,如图1,
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,∴直线 DF是⊙O的切线;
(2)连接AD,如图2,
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵DF⊥AC, ∠FDC,
又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△DFC,即CD =CF·AC,
∵AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°,
(3)连接AD,OE,如图3,
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠C=∠B=67.5°,∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∵⊙O的半径为2,∴S扇形AOE=π,S△AOE=2,
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=π-2.
18.解:(1)证明:连接AC交OD 于点 H,
∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,
∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD,
∴OD⊥AC,∴OD∥BC;
(2)∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,
∴设OE=OB=5x,BC=6x,
∵AO=OB,OH∥BC,∴AH=CH,
∵PB是⊙O的切线,∴∠OBP=90°,∴∠PBO=∠AHO,
∵∠BOP=∠AOH,∴△AOH∽△POB,
或x=0(不合题意舍去)， ∴⊙O半径的长为
19. D 20.7 或1 21.60°或120°
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第五章 圆
章末突破
类型一 圆的基本性质
1.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的弦必相等
2.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB.若∠AOD=118°,则∠B=( )
A.52° B.59° C.62° D.69°
第2题图 第3题图
3.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4,则∠D= .
4.如图,在 △ABC 中, ∠C = 90°,AC=8,BC=6,O为内心,过点O的直线分别与 AC，AB边相交于点 D,E.若DE=CD+BE,则线段CD 的长为 .
类型二 点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系
5.已知⊙O的半径是4,点 P 到圆心O 的距离d 为方程 4=0的一个根，则点 P 在 ( )
A.⊙O的外部 B.⊙O的内部 C.⊙O上 D.无法判断
6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,tanB= 如果以点C为圆心，半径为 R 的⊙C 与线段 AB 有两个交点，那么⊙C的半径R 的取值范围是 ( )
类型二 圆的计算问题
7.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2 厘米，则镜面半径是 ( )
A.24厘米 B.26厘米 C.28厘米 D.30厘米
8.如图，MN是⊙O的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN 的中点，点P 是直径 MN 上一动点，若 ，则△PAB周长的最小值是 ( )
9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为 A，曲线终点为 B，过点 A，B的两条切线相交于点C，列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径 OA=2km,则这段圆曲线 的长为 ( )
10.如图,直线 6分别与 x轴,y轴相交于点 M,N,点 P在平面内,∠MPN=90°,点 C(0,3),则PC长度的最小值是 .
11.如图,在 ABCD中,∠C=120°,AB=8,BC=10. E为边CD 的中点,F为边 AD 上的一动点,将△DEF 沿 EF翻 折 得, 连接则面积的最小值为 .
12.【跨学科·地理】数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬 28°，求北纬 28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图 2，赤道 半径 OA 约为6 400千米,弦BC∥OA,以 BC 为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
根据以上信息，北纬 28°纬线的长度约为 千米.(参考数据:π≈3,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
13.【主从联动】如图,已知点 A 是第一象限内的一个定点，若点 P是以点O 为圆心，4为半径的圆上的一个动点,连接 AP,过点 A 作 AB⊥AP,且 当点 P 在⊙O上运动一周时，点 B 运动的路径长是 .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与⊙O相交于A，B两点，且点 A 在x轴上，则图中阴影部分的面积为 .
类型四 圆的证明问题
15.如图,AB 是⊙O 的直径,△ABC内接于⊙O,点 I为△ABC 的内心,连接CI并延长交⊙O于点D,E 是BC上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明；
(3)若 求△ABC 的周长.
16.如图,已知⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D 是圆上一点，E是DC 延长线上一点，连接AD，AE,且AD=AE,CA=CE.
(1)求证:直线 AE 是⊙O的切线;
(2)若 ⊙O的半径为 3,求 AD的长.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O分别与 BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点 F.
(1)求证:直线 DF是⊙O的切线;
(2)求证:
(3)若⊙O的半径为2,∠CDF=22.5°,求图中阴影部分的面积.
18.如图,AB 是⊙O 的直径,点C,D在⊙O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC;
(2)延长 DO 交⊙O 于点 E,连接 CE,交OB 于点F,过点 B 作⊙O 的切线交DE 的延长线于点 P.若 求⊙O半径的长.
易错点 圆中的分类讨论问题
19.在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为 ( )
A.2 B.5 C.1 D.5 或1
20.在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为 cm.
21.已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，则∠A= .
参考答案
1. D 2. B 3.72 4.2 或 5. B 6. A 7. B 8. D 9. B
10.1 解析:如图,以 MN 为直径作⊙E，连接 EC 并延长交⊙E于点 P',
此时 P'C的长度最小，当x=0时,y=0+6=6,∴点 N 的坐标为(0,6).
当y=0时, 解得x=-8,∴点M的坐标为(-8,0),
点 E 的坐标为(-4,3).
又∵点C的坐标为(0,3),
解析:∵在 ABCD中,∠BCD=120°,AB=8,∴CD=AB=8,AB∥CD,
∵E为边CD 的中点,
∵△DEF 沿EF翻折得△D'EF,
∴点 D'在以 E为圆心，4为半径的圆上运动,
如图,过 E 作 EM⊥AB 交AB 延长线于点M，交圆 E 于点 D"，此时点D"到边AB 的距离最短，最小值为 D"M的长，即△ABD"的面积最小.
过C作CN⊥AB于点N,∵AB∥CD,∴EM=CN,在 Rt△BCN 中,BC=10,∠CBN=60°,
∴△ABD'面积的最小值为
12.33792
13. 4π 解析:如图,连接OA,OP,过点 A 作AC⊥OA,且 连接BC,以
点 C 为圆心,CB长为半径作圆，
∵AC⊥OA,AB⊥AP,∴∠PAB=∠OAC=90°,
∴∠PAB-∠OAB=∠OAC-∠OAB,即∠PAO=∠BAC.
又∵
∴△PAO∽△BAC,
∴以点C为圆心，CB长为半径的圆即为点B 运动的轨迹，
∴点 B运动的路径长为2π×2=4π.
解析：过点 O作OE⊥AB 于点 C,记AB与y 轴交于点D,
∵直线 与⊙O相交于A,B两点，
∴当y=0时, 解得x=-2,∴OA=2,∴当x=0时 ∴∠DAO=30°,
∵OA=OB,∴∠DAO=∠ABO= 30°,
15.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵∠ABC=25°,
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，∴∠CEB+∠CAB=180°,
(2)DI=AD=BD,
证明：如图1，连接AI，
∵点I为△ABC的内心,∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵∠DAI = ∠DAB +∠BAI,∠DIA =∠ACI+∠CAI,∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD;
(3)如图 2,过 I 分别作IQ⊥AB,IF⊥AC, IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心.
∴Q，F，P 分别为该内切圆与△ABC三边的切点，∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.
∠DAB=45°,
∴△ABC的周长为
16.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,∴AB是⊙O的直径.
∵AD=AE,∴∠E=∠D.
∵∠B=∠D,∴∠E=∠B.
∵CA=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠CAE=∠B,
∴∠OAE = ∠CAE + ∠CAB = ∠B +∠CAB=90°,即 AE⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,∴直线AE 是⊙O的切线;
(2)作 CF⊥AE于点F,则∠CFE=90°,
∵∠E=∠CAE=∠B,
∵OA=OB=3,∴AB=6,
∴
∴AD的长是
17.解:(1)连接OD,如图1,
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,∴直线 DF是⊙O的切线;
(2)连接AD,如图2,
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵DF⊥AC, ∠FDC,
又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△DFC,即CD =CF·AC,
∵AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°,
(3)连接AD,OE,如图3,
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠C=∠B=67.5°,∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∵⊙O的半径为2,∴S扇形AOE=π,S△AOE=2,
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=π-2.
18.解:(1)证明:连接AC交OD 于点 H,
∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,
∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD,
∴OD⊥AC,∴OD∥BC;
(2)∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,
∴设OE=OB=5x,BC=6x,
∵AO=OB,OH∥BC,∴AH=CH,
∵PB是⊙O的切线,∴∠OBP=90°,∴∠PBO=∠AHO,
∵∠BOP=∠AOH,∴△AOH∽△POB,
或x=0(不合题意舍去)， ∴⊙O半径的长为
19. D 20.7 或1 21.60°或120°
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