第五章 圆 专项训练 与圆的切线有关的证明与计算（含答案）

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第五章 圆
专项训练 与圆的切线有关的证明与计算
类型一 切线的性质
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,⊙O是△ABC 的外接圆,点P在AC的延长线上,PQ⊥AB于点Q,交BC于点E,CD是⊙O的切线,交PQ于点D.
(1)判断△DCE 的形状，并说明理由；
(2)若CD=AC=2,求OQ的长度.
2.如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,以 AB为直径的⊙O交 AC于点D,且AC平分∠BAE,DE是⊙O的切线.
(1)求证:AE⊥DE;
(2)若⊙O的半径为4, 求线段 BC的长度.
3.如图,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于点D,AC⊥CD于点C,交⊙O于点E,连接AD,BD,ED.
(1)求证:BD=ED;
(2)若CE=3,CD=4,求 AB的长.
类型二 切线的判定
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD 是⊙O的直径,过点 A 作AE⊥CD,交 CD 的延长线于点 E,DA 平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)已知 AE=4 cm,CD=6 cm,求⊙O 的半径.
5.如图1,在△ABC中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E.点 F在AC 的延长线上,且∠CAB=2∠CBF.
(1)求证:BF 是⊙O的切线;
(2)若AB=6,BF=8,求AD的长;
(3)如图 2,在(2)的条件下,求 tan∠CBF的值.
6.如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点 C,过点 A 作 AD⊥BO,交 BO的延长线于点 D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若 求 BC的长.
7.如图，以线段AB 为直径作⊙O，交射线 AC于点 C,AD 平分∠CAB 交⊙O于点 D,过点 D 作直线DE⊥AC于点 E,交AB 的延长线于点 F.连接BD 并延长交AC于点 M.
(1)求证:直线 DE 是⊙O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若 ME=1,∠F=30°,求 BF 的长.
8.如图,O为正方形 ABCD对角线 AC上一点,以O为圆心，OA长为半径的⊙O与 BC相切于点 M,与AB,AD分别相交于点 E,F.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为 ,求正方形 ABCD的边长.
9.如图,在菱形 ABCD中,P 是对角线AC 上的一点,且 PA=PD,⊙O为△APD的外接圆.
(1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=8,tan∠DAC= 求⊙O的半径.
类型三 切线的判定与性质
10.如图,△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点 E,且∠BEC=90°,点 D 在OA 的延长线上,AO⊥BC,∠ODC=30°.
(1)求证:DC为⊙O的切线.
(2)若CA=6,求 DC的长.
11.如图,PA 是⊙O的切线,切点为 A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O 于点 E.过 A 点作 AB⊥PO 于点D,交⊙O于点 B,连接 BC,PB.
(1)求证:PO∥BC;
(2)求证:PB是⊙O的切线;
(3)若 求 PO的长.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在AB 上,以 OB 为半径的⊙O分别与BC,AB 相交于点D,F,与AC相切于点 E,过点 D 作 DG⊥AC,垂足为G.
(1)求证:DG是⊙O的切线;
(2)若CG=2,CD=8,求 BD的长.
13.如图,点 P 是⊙O外一点,PA 与⊙O相切于A 点，B，C是⊙O上的另外两点，连接AC,BC,∠APB+2∠ACB=180°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若BC∥PA,⊙O 的半径为5,BC=6,求 PA 的长.
易错点一 不能正确选择连半径还是作直径
14.如图,△ABC 内接于⊙O,CD与AB 的延长线相交于点D,且∠BCD=∠BAC.
求证：CD是⊙O的切线.
易错点二 对于证切线的两种题型不够熟练
15.如图,等腰△BEF 中,BE=BF,BA 平分∠EBF,O为线段AB 上一点,以 AO为半径的⊙O与BE 相切于点C.
(1)求证:BF 与⊙O相切;
(2)⊙O交AB 于点 D, 求 AC的长.
参考答案
1.解:(1)△DCE是等边三角形,理由:
如图，连接OC，
∵ ∠ACB = 90°,∠ABC=30°,⊙O 是△ABC的外接圆,
∴ AB 是⊙O 的直径，∴OB=OC,∴∠OCB=∠ABC=30°,
∵CD是⊙O的切线,
∵PQ⊥AB,∠ABC=30°,∴∠CED=∠BEQ=60°,
∴∠CED=∠DCE=60°,∴△DCE是等边三角形；
(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴AB=2AC=4,
∵△DCE是等边三角形,CD=2,∴CE=CD=2,
∵PQ⊥AB,∠ABC=30°,∴BQ=BE·cos∠ABC
2.解:(1)证明:连接OD,如图所示:
∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,
∵AC平分∠BAE,∴∠OAD=∠DAE,∴∠DAE=∠ADO,∴AE∥OD,
∴∠E+∠ODE=180°,∴∠E=90°,即AE⊥DE;
(2)连接BD,如图所示,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∵⊙O的半径为4,∴AB=8,
又∵
在Rt△ABC中,BC=AB·tan∠BAC=6.
3.解:(1)证明:连接OD,OE.
∵CD切⊙O于点D,∴OD⊥CD.
∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD.
又∵∠EAO=∠AEO,∴∠EOD=∠DOB.∴BD=ED;
(2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.
又∵CE=3,CD=4,∴ED=5.
∵BD=ED,∴BD=5.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ACD=∠ADB.
∵四边形ABDE内接于⊙O,∴∠CED=∠B.∴△CDE∽△DAB.
4.解:(1)证明:连接OA,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA,∴∠OAD=∠EDA,∴EC∥OA,
∵AE⊥CD,∴OA⊥AE,
∵OA 是⊙O的半径,∴AE是⊙O的切线;
(2)过点O作OF⊥CD,垂足为点 F,
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°,∴四边形 AOFE 是矩形,∴OF=AE=4cm,
∵OF⊥CD,CD=6 cm,
在 Rt△ODF中, 即⊙O的半径为5cm .
5.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠CAB=2∠CBF,
即∠ABC+∠CBF=90°,∴AB⊥BF,
∵AB为⊙O的直径,∴BF是⊙O的切线;
(2)在 Rt△ABF中,∵AB=6,BF=8,
∵∠DAB=∠BAF,∠ADB=∠ABF=90°,∴Rt△ABD∽Rt△AFB,
∴AD:AB=AB:AF,即AD:6=6:10,
(3)作 CH⊥BF 于点H,如图,
∴CH∥AB,
∵AC=AB=6,∴CF=AF-AC=10-6=4,
∵CH∥AB,∴△FCH∽△FAB,
即
在Rt△BHC中,即 tan∠CBF的值为
6.解:(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,
∵AD⊥BO于点 D,∴∠D=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
又∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD,
∵BC为⊙O的切线,∴AC⊥BC,∴∠BCO=∠D=90°,
∵∠BOC=∠AOD,∴ ∠OBC = ∠OAD =∠ABD,
在△BOC 和△BOE中,
∴△BOC≌△BOE(AAS),∴OE=OC,∴OE为⊙O的半径,
∵OE⊥AB,∴AB是⊙O的切线;
∴设 BC=3k,则 4k,
∴BC= BE = 3k, AE= AB - BE = 2k,
∵∠ABD=∠DAO,∠D=∠D,∴△ADO∽△BDA,
∴k=1,∴BC=3.
7.解:(1)证明:连接OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠DAC.∴∠ODA=∠DAC.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴∠ODF=∠AED=90°.∴DE⊥OD,
又∵OD 是⊙O的半径,∴直线 DE是⊙O的切线;
(2)证明:∵线段AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠ADM=180°-∠ADB=90°,∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°.
∵∠DAM=∠DAB,∴∠M=∠ABM.∴AB=AM;
(3)∵∠AEF=90°,∠F=30°,∴∠BAM=60°,∴△ABM是等边三角形.
∴∠M=60°.
∵∠DEM=90°,ME=1,∴∠EDM=30°.∴MD=2ME=2.∴BD=MD=2.
∵∠BDF=∠EDM=30°,∴∠BDF=∠F.∴BF=BD=2.
8.解:(1)证明:连接⊙M,过点 O作ON⊥CD,垂足为 N，
∵⊙O与BC 相切于点 M,∴OM⊥BC.
∵正方形 ABCD中,AC平分∠BCD,又∵ON⊥CD,OM⊥BC,∴OM=ON,
∴CD与⊙O相切;
(2)设正方形 ABCD的边长为a,
∵∠OCM=∠ACB,∠OMC=∠B=90°,∴△COM∽△CAB.
解得 舍去)，
∴正方形 ABCD的边长为
9.解:(1)直线AB与⊙O相切.理由:
连接OP,OA,OP交AD于点E,如图,
∵PA=PD, ∴OP⊥AD,AE=DE.
∵OP=OA,∴∠OAP=∠OPA.∴∠1+∠OAP=90°.
∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2.∴∠2+∠OAP=90°.∴OA⊥AB,
∵OA 是⊙O的半径,∴直线 AB与⊙O相切;
(2)连接 BD,交AC 于点F,如图,
∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分.
∴DF=2.
在Rt△PAE中,
设⊙O的半径为R，则 ,在Rt△OAE中,
即⊙O的半径为
10.解:(1)连接OC,连接 BO并延长,交⊙O 于点F，连接AF，如图所示：
∵AO⊥BC,且O为圆心,∴点 A为BC的中点，即
∴∠BCA=∠ABC.
∵BE为切线,∴∠ABE+∠ABF=90°,
∵BF为直径,∴∠ABF+∠F=90°,∴∠ABE=∠F,
∴∠ABE=∠ACB.∴∠ABE=∠ACB=∠ABC.
∵∠BEC=90°,∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°.∴∠AOC=2∠ABC=60°.
又∵∠ODC=30°,
∴OC⊥CD,∵OC是⊙O的半径,∴CD为⊙O切线;
(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,∴△AOC为等边三角形.∴OA=OC=AC=6.
在 Rt△OCD中,∠ODC=30°,
则
11.解:(1)证明:∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°,即AB⊥BC.
又∵AB⊥PO,∴PO∥BC;
(2)证明:连接OB,如图,
∵PO∥BC,∴∠POB=∠OBC,∠POA=∠C,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠AOP=∠POB,
在△AOP与△BOP中,∴△AOP≌△BOP(SAS),
∴∠OAP=∠OBP,
∵PA为⊙O的切线,∴OB⊥PB,
∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;
(3)∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,∴∠PAB=∠C,
在Rt△ABC中,
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠PAO=∠ABC=90°.
∵∠POA=∠C,∴△ABC∽△PAO,∴PO=5.
12.解:(1)证明:连接OD,则OD=OB,∴∠ODB=∠B,
∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,
∵DG⊥AC,∴DG⊥OD,
∵OD是⊙O的半径,∴DG是⊙O的切线;
(2)连接OE,
∵⊙O 与 AC 相切于点 E,∴AC⊥OE,
∵∠ODG=∠DGE=∠OEG=90°,∴四边形ODGE 是矩形,
∵OD=OE,∴四边形ODGE是正方形，
∵∠DGC=90°,CG=2,CD=8,
作OI⊥BD 于点I,则∠OID=90°,ID=IB=
∴BD的长是
13.解:(1)证明:连接OA,OB,如图1所示:∵∠APB+2∠ACB=180°,∠AOB=2∠ACB,
∴∠APB+∠AOB=180°,∴∠OAP+∠OBP=180°,
∵PA与⊙O相切于点A,∴PA⊥OA,∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°,
∵OB是⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;
(2)连接AO并延长交BC 于点D,连接OC,过点 P作PQ⊥BC交CB 的延长线于点Q,如图2所示：
∵PA⊥OA,BC∥PA,∴AD⊥BC,
3,四边形 ADQP 是矩形，
∴PQ=AD=OA+OD=5+4=9,
∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,
在 Rt△PBQ中,设 PB=PA=x,则.BQ=x-3,
由勾股定理，得( 解得x=15,
即 PA 的长为15.
14.证明:过C作⊙O的直径CE,连接BE,
则∠CBE=90°,∴∠BEC+∠BCE=90°.
∵∠BEC=∠BAC,∠BCD=∠BAC,∴∠BCD+∠BCE=90°.∴EC⊥CD.
∵CE 是⊙O的直径,∴CD是⊙O的切线.
15.解:(1)证明:如图1,连接OC,过O作OH⊥BF于点 H,
∵⊙O与BE 相切于点C,∴∠BCO=∠BHO=90°.
∵BA平分∠EBF,∴∠CBO=∠HBO.
在△BCO与△BHO中,∴△BCO≌△BHO(AAS).
∴OH=OC.∴BF与⊙O相切;
(2)如图2,连接OC,
∵以 AO 为半径的⊙O 与BE 切于点C,
∴∠BCD+∠OCD=90°.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°.∴∠ACO+∠OCD=90°.
∴∠ACO=∠BCD.
∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAO=∠BCD.
∵∠CBA=∠CBD,∴△BCD∽△BAC,
∴AD=AB-BD=10.
∵△BCD∽△BAC,
∴设AC=2x,CD=x.
故AC的长为4
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