2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中三角形相似与三角函数的综合练习（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中三角形相似与三角函数的综合练习
1．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF AC＝AD DC；
（3）若sin∠C，AD＝4，求EF的长．
2．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠ODC，AB＝40，求⊙O的半径．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB，AD＝2，求FD的长．
5．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD，求⊙O的半径．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE，求AF的长．
7．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
8．如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与 OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．
9．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB，求OB的长．
10．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE，OE＝3，求BC的长．
13．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC，且AD＝2，求切线PA的长．
15．已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC，BC＝4，求⊙O的半径．
16．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
参考答案
1．【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．
（2）证明：如图，连接BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴，
∴DF AC＝AD DC．
（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CDk，
∵ OD DC OC DH，
∴DHk，
∴OHk，
∴AH＝OA+OHk，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴AC＝5k＝40，AB＝2k＝16，
∴sinCsin∠ABF，
∴AE＝10，AF＝4，
∴EF＝AE﹣AF＝10﹣4＝6．
2．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC，
∴tan∠CBD，
在Rt△ADB中，tan∠CBD，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，
∴OA＝OBAB＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE3，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，
∵，
∴AD，BD，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DGx，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（x）2＝18，
∴x或x（舍），
∴EG，
∴sin∠DBE．
3．【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由如下：如图，连接OC，
∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACO+∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵tan∠ODC，
∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，
∵∠OCD＝90°，
∴OD25x，
∴OB＝32x，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴1600＝576x2+1024x2，
∴x＝1，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24．
4．【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB，
∴cos∠ADC，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC，AD＝2，
∴CD＝AD cos∠ADC＝2，
∴AC，
∴，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x（取正值），
∴FD＝3x．
5．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
即∠CAD＝∠BAC；
（2）∵∠CAD＝∠BAC，
∴EC＝CB＝4，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠CAB，
∴AB＝12，
∴半径为6．
6．【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE，
∴，
∴DE＝4，
∴OE5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF．
7．【解答】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCEOC CECP OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP，
在Rt△CPE中，PE，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDECE DFCD PE，
∴4DF，
∴DF，
在Rt△DEF中，sin∠DEC．
8．【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠DOC＝∠OAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEF，
∴∠DOC＝∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AFE+∠DOC＝90°，
∵∠AFE＝∠OCD，
∴∠OCD+∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接DF，如图：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠G+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠G，
又∠DAF＝∠GAD，
∴△ADF∽△AGD，
∴，
∵AD＝6，GF＝1，
∴，
解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），
在Rt△AEF中，AE2，
∴cos∠AEF；
（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，
∵EF＝AD＝6，AF＝8，
∴FO＝3，FK＝AK＝4，
Rt△OKF中，OK，
∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，
且∠OAF＝∠OFA，
∴∠G＝∠AEF，
∴tanG＝tan∠AEF，
即，
∴，即，
解得CK＝10，
∵BH平分∠ABC，OC∥AB，
∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，
∴CH＝BC＝OA＝3，
∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10333，
∴KH＝OK+OM+MH＝7，
在Rt△AKH中，AH，
而∠MNH＝∠MFA∠MOA∠ABC＝∠ABH，
且∠MHN＝∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴．
9．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC，即，
∴，
解得：EC＝4，
在Rt△AEC中，AC8，
∵tan∠CAB，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB16，
∴OB＝8．
10．【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB，AD＝2，
∴ABAD，
∵，
∴，
即，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB，
∴∠AGB＝60°，AGBG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EGDG，DEDG，
在Rt△FED中，DF，
∴FG+DG+DF，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
11．【解答】解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥EC．
∵DF∥CE，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接DE，如图，
∵，
∴ED＝DC．
∵AD是⊙O的直径，
∴DE⊥AE．
∴∠BED＝90°．
∵sin∠B，sin∠B，BD＝5，
∴DE＝3．
∴BE，DC＝DE＝3．
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA．
∴．
∴BA＝2BD＝10，AC＝2DE＝6．
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．
∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，
∴△DEF∽△AED．
∴．
∴EF．
∴FD．
12．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACEtan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，
∵OE＝3，
∴OA＝a+3，AB＝2a+6，
∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+6＝8．
13．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠F＝∠OAC，
∵∠OAB＝∠F，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴OA是∠BAC的角平分线，
∵⊙O与AD相切于点B，
∴OB是⊙O的半径，OB⊥AD，
∵∠ACD＝90°，
∴OC⊥AC，
∴OB＝OC，
∴点C在⊙O上，
∵OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：OB＝OC＝3，OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的直径，
∴CE＝2OC＝6，
∴CD＝CE+DE＝6+2＝8，OD＝OE+DE＝OC+DE＝3+2＝5，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC，
∴△ODB∽△ADC，
∴，
∴AC6，
∵∠F＝∠OAC，
∴tanF＝tan∠OAC．
14．【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.
（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BEm，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴ OP AB＝16，
∴4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB424．
（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAP＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB，
∴PA＝3AE＝6．
15．【解答】（1）证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC，即，
∵BC＝4，
∴AC＝2，
由勾股定理得：AB2，
∴⊙O的半径为．
16．【解答】解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴2，
∴ED＝xCD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD AD，
∴（x）2＝1×（2x+1），解得x或x（舍去），
∴⊙O的半径为．
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