2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中三角形相似与三角函数的综合训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中三角形相似与三角函数的综合训练
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CDAB时，求sin∠ACF的值．
2．如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF，求的值．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC，求DN的长．
6．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD，求tan∠CDA的值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：．
（3）若sin∠ABC，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
9．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE ED＝AC EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
12．如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
13．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值．
15．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB，BC＝1，求PO的长．
参考答案
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CDAB时，求sin∠ACF的值．
【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CDAB，
∴CD（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BEa，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF．
【点评】本题考查的是圆周角定理、矩形的判定定理和平行四边形的判定定理、相似三角形的判定和性质、正弦的定义，根据相似三角形的性质求出EC＝2BE是解题的关键．
2．如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OM＝ON，设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，求出OQ，可得结论．
（2）利用（1）中结论，求出AM，MN（用m表示即可）．
（3）证明△AME∽△DMB，可得，由此构建关系式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQm，
∴sin∠AOQ．
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OAm，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OMm﹣m，
∴．
（3）∵AB＝2R，
∴OA＝OB＝OQ＝R，
∵QM＝2MO，
∴OM，MQ，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，
∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴，
∴，
∴y，
当点C与P重合时，，
∴，
∴xR，
∴R＜xR．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；
（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF2，根据相似三角形的性质得到CH，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF2，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CH，
∴HF，
∴BH＝BF﹣HF＝2，
∴tan∠CBF．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键．
4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF，求的值．
【分析】（1）由AC为直径得∠ADC＝90°，再由直角三角形两锐角互余和已知条件得∠DAC+∠DAE＝90°，进而得出结论；
（2）由切线长定理得PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，进而证明△PAD≌△PBD，得AD＝BD，得∠BAD＝∠DBA，再由圆周角定理得∠DAF＝∠EAD，进而便可得：△FAD∽△DAE；
（3）证明△AOF∽△POA，得AP＝2OA，再证明△AFD∽△CAE，求得的值，即得的值．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴AP是⊙O的切线；
（2）连接DB，如图1，
∵PA和PB都是切线，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD，
∴△DPA≌△DPB（SAS），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAF＝∠DAE，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∵PO⊥AB，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△FAD∽△DAE；
（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
∴△AOF∽△POA，
∴，
∴，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，
∴，
∴，
∵，
不妨设OF＝x，则AF＝2x，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，切线长定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形的应用，第（3）小题关键在证明相似三角形．难度较大，一般为中考压轴题．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC，求DN的长．
【分析】（1）如图，连接OD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，由三角形中位线定理可得OD∥AC，可证OD⊥MN，可得结论；
（2）通过证明△BDN∽△DAN，可得，可得结论；
（3）由等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，由锐角三角函数可求AC＝AB＝5，由勾股定理可求AD＝4，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN AN＝BN （BN+AB）＝BN （BN+AC）；
（3）∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD4，
∵△BDN∽△DAN，
∴，
∴BNDN，DNAN，
∴BN（AN）AN，
∵BN+AB＝AN，
∴AN+5＝AN
∴AN，
∴DNAN．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键．
6．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵tanB，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC，
故⊙O的半径为；
（3）AF＝CE+BD，理由如下：
连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD，求tan∠CDA的值．
【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；
（2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论；
（3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE，则BC＝2BE，在Rt△OBE中，由勾股定理得（r﹣x）2+（）2＝r2，解得rx，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，如图2所示：
∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD，BE＝CE，
设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE，
∴BC＝2BE，
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即（r﹣x）2+（）2＝r2，
解得：rx，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（）2＝（9x）2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：．
（3）若sin∠ABC，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG12，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC＝sin∠ACG，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ，
∴CH＝HQ，
∴四边形CHQE的面积＝CH GQ6＝45．
【点评】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE ED＝AC EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
【分析】（1）证明△BOE≌△BOC（SSS）可得结论．
（2）连接EG．证明△AEC∽△EFG可得结论．
（3）过点O作OH⊥AN于H．解直角三角形求出DE＝EC，CD，利用相似三角形的性质求出E，AC，AO，求出AH，HN即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥EC，
∵DE∥OB，
∴OB⊥EC，
∴OB垂直平分线段EC，
∴BE＝BC，OE＝OC，
∵OB＝OB，
∴△OBE≌△OBC（SSS），
∴∠OEB＝∠OCB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：连接EG．
∵CD是直径，
∴∠DGC＝90°，
∴CG⊥DG，
∵CG∥OE，
∴OE⊥DG，
∴，
∴DE＝EG，
∵AE⊥OE，DG⊥OE，
∴AE∥DG，
∴∠EAC＝∠GDC，
∵∠GDC＝∠GEF，
∴∠GEF＝∠EAC，
∵∠EGF＝∠ECA，
∴△AEC∽△EFG，
∴，
∵EG＝DE，
∴AE DE＝AC EF．
（3）解：连接ON，延长BO交MN于I．
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵tan∠ACE，∠ACE＝∠ECG＝∠EDF，
∴tan∠EDF，
∵EF＝3，
∴DE＝6，DF3，
∴EC＝12，CD6，
∴EO＝DO＝CO＝3，
由（2）可知，
∴AC＝2AE，
在Rt△AEO中，AO2＝AE2+EO2，
∴（2AE﹣3）2＝AE2+（3）2，
解得AE＝4，
∴AC＝8，AO＝5，
∵OI⊥MN，
∵AN∥CE，
∴∠CAN＝∠ACE，
在Rt△AIO中，AO2＝AI2+IO2，
即（5）2＝（2OI）2+OI2，
∴OI＝5，AI＝10，
在Rt△OIN中，ON2＝IN2+IO2，即（3）2＝IN2+52，
∴IN＝2，
∴AN＝AI+IN＝10+2
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG＝OC，即可证明；
（2）①利用切线长定理，证明OE＝OC，结合OE＝OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；
②根据OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO＝x，BE＝y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果．
【解答】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分∠BAC交BC于点O，
∴OG＝OC，
∴点G在⊙O上，
即AB与⊙O相切；
（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，
∴AE＝AC，
∵OE＝OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵∠COF＝∠AOC，∠CFO＝∠ACO＝90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，
∴，
∴AC＝2OC，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO＝90°，AC＝AE，而∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，
∴BC＝2BE，AB＝2BO，
∴BD+2DO＝2BE，BE+2DO＝2BD+2DO，
∴DOBD，BE＝2BD，
∴tanB．
【点评】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数可得sinB，即可求解；
（3）通过证明△DAB∽△FAD，可得，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AB AF．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可知：∠CAD＝∠CDA，∠OAD＝∠ODA，再根据切线的性质可知∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝∠CDA+∠ODA＝90°＝∠ODC，由切线的判定定理可得结论；
（2）连接BD，根据等边对等角可知∠ODB＝∠OBD，再根据切线的性质可知∠ODE＝∠OBE＝90°，由等量减等量差相等得∠EDB＝∠EBD，再根据等角对等边得到ED＝EB，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得∠EDF＝∠EFD，推出DE＝EF，由此得出结论；
（3）过E点作EL⊥AM于L，根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tan∠BOE的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE的值．
【解答】解：（1）如图1中，连接OD，
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA，
∵直线AM与⊙O相切于点A，
∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°，
∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
（2）如图1中，连接BD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CE是⊙O的切线，BF是⊙O的切线，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠CAD＝∠BFD，
∵∠CAD＝∠CDA＝∠EDF，
∴∠BFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴BE＝EF．
（3）如图2中，过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，
设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x，
∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62，
解得：x，
∴，
∵∠BOE＝2∠BHE，
∴，
解得：tan∠BHE或﹣3（﹣3不合题意舍去），
∴tan∠BHE．
补充方法：如图2中，作HJ⊥EB交EB的延长线于J．
∵tan∠BOE，
∴可以假设BE＝3k，OB＝4k，则OE＝5k，
∵OB∥HJ，
∴，
∴，
∴HJk，EJk，
∴BJ＝EJ﹣BEk﹣3kk
∴tan∠BHJ，
∵∠BHE＝∠HBA＝∠BHJ，
∴tan∠BHE．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数/，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．
13．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
【分析】（1）由圆周角定理与已知得∠BAC＝∠DCA，即可得出结论；
（2）连接EO并延长交⊙O于G，连接CG，则EG为⊙O的直径，∠ECG＝90°，证明∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，得出∠DCE+∠OCE＝90°，即可得出结论；
（3）连接OA，由三角函数定义求出cos∠ACD，证出∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，求出BC＝AC＝10，AB＝12，过点B作BG⊥AC于G，设GC＝x，则AG＝10﹣x，由勾股定理得出方程，解方程得GC，由勾股定理求出BG，由三角函数定义即可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CEB，∠CEB＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD；
（2）证明：连接EO并延长交⊙O于G，连接CG、OC，如图1所示：
则EG为⊙O的直径，
∴∠ECG＝90°，
∵OC＝OG，
∴∠OCG＝∠EGC，
∵∠EAC＝∠EGC，∠EAC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，
∵∠OCG+∠OCE＝∠ECG＝90°，
∴∠DCE+∠OCE＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：连接OA，如图2所示：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，2∠ABC＝∠AOC，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
由（2）得：∠OCA+ACD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACD，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC10，
∴cos∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，
∴BC＝AC＝10，AB＝2BC cos∠ABC＝2×1012，
过点B作BG⊥AC于G，如图2所示：
设GC＝x，则AG＝10﹣x，
由勾股定理得：AB2﹣AG2＝BG2＝BC2﹣GC2，
即：122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x，
∴GC，
∴BG，
∴tan∠ACB．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数定义、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值．
【分析】（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，即可求解；（2）证明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解．
【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）∵tan∠CAD，连接BD，则BD＝CD，
∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE，
设：DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．
15．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB，BC＝1，求PO的长．
【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连接AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB，
在Rt△ABC中，cos∠C，
∴AC，AO，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO5．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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