第一章三角形的证明单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册（含答案）

第一章三角形的证明单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
2．下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝BC，AC＝BC
C．AB＝BC，∠B＝60° D．AB＝BC，∠A＝∠C
3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　）
A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm
4．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC＝100°，则∠DBF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
7．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（　　）
A．7 B．5 C． D．5或
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在△ABC中，MN垂直平分BC，垂足为E，交AB于点D，若△ACD的周长是10，CE＝4，则△ABC的周长是　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AD上的任意两点．若△ABC的面积为20cm2，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
11．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积是　 　．
12．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则mn＝　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
15．已知：四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若∠B＝60°，BC＝5，BD＝3，求CF的长．
17．如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°．
（1）证明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积．
18．在△ABC中，已知点D在BC上，且CD＝CA，点E在CB的延长线上，且BE＝BA．
（1）如图①，若∠BAC＝120°，AB＝AC，求∠DAE的度数；
（2）试探求∠DAE与∠BAC的数量关系；
（3）如图②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于点C，求证：BE＝2CD．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A C D D
二、填空题
9．【解答】解：∵MN垂直平分BC，CE＝4，
∴DB＝DC，BC＝2CE＝8，
∵△ACD的周长是10，
∴AC+AD+DC＝10，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝10，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝10+8＝18，
故答案为：18．
10．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵，
∴阴影部分面积为，
故答案为：10．
11．【解答】解：取BC的中点D，连接AD，
∵AB＝AC＝5，
∴AD⊥BC，BD＝3，
∴AD4，
∴△ABC的面积6×4＝12，
故答案为：12．
12．【解答】解：根据题意，大正方形的面积是25，
∴根据勾股定理可得，m2+n2＝25，
∵小正方形的面积是1，即（m﹣n）2＝1，
∴m2﹣2mn+n2＝1，
∴25﹣2mn＝1，
∴2mn＝24，
解得mn＝12，
所以mn的长为12，
故答案为：12．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F，
由条件可知BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，
∴BF+EF＝CF+DF，
即BE＝CD；
（2）解：由条件可知△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°，
∴，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°．
14．【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
15．【解答】解：（1）在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
根据勾股定理得，BD5；
（2）在△BCD中，BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴CD2+BD2＝122+52＝132＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
AB ADCD BD
3×412×5
＝36．
16．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE+∠B＝90°，∠F+∠C＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD；
（2）解：∵∠B＝60°，DE⊥BC，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝3，
∴，
∴，
∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠F＝90﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝2CE＝27．
17．【解答】（1）证明：过E点作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝28°，∠CEH＝62°，
∴∠HCE＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°＝∠ACE，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（2）∵AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，
∴，
∴EM＝4，
∴EN＝EH＝EM＝4，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED
＝32，
∴△ACD的面积为32．
18．【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠C）＝75°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°，
∵BE＝BA，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠BAE，
∴2∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠DAE＝∠BAE+∠BAD＝15°+45°＝60°；
（2）解：∠DAE与∠BAC的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE，理由如下：
∵CD＝CA，
∴设∠CAD＝∠CDA＝α，
∵BE＝BA，
设∠E＝∠BAE＝β，
∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2β，
∵∠CDA＝∠ABD+∠DAB，
∴∠DAB＝∠CDA﹣∠ABD＝α﹣2β，
∴∠BAC＝∠DAB+∠CAD＝α﹣2β+α＝2（α﹣β），
又∵∠DAE＝∠BAE+∠DAB＝β+α﹣2β＝α﹣β，
∴∠BAC＝2∠DAE；
（3）证明：∵AB平分∠DAE，
∴设∠BAE＝∠BAD＝θ，
∵BE＝BA，
∴∠E＝∠BAE＝θ，
∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2θ，
∵CD＝CA，AC⊥CD，
∴△CAD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
又∵∠ACD＝∠ABD+∠BAD＝3θ，
∴3θ＝45°，
∴θ＝15°，
∴∠ABD＝2θ＝30°，
在Rt△ABC中，∠ABD＝30°，
∴BA＝2CA，
∵CD＝CA，BE＝BA，
∴BE＝2CD．