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二次函数 单元综合强化提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x =1，(1，-4) B．x =1，(1，4)
C．x=-1，(-1，4) D．x =-1，(-1，-4)
3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（ ）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
4．已知抛物线y1=x2﹣（m+2）x+2m、直线y2=2x﹣4，若对于任意的x的值，y1≥y2恒成立，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
5．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2
C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1
6．若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．若（2，5）、（4，5）是抛物线 上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图像如图所示，若有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A． B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较大值为M；若y1＝y2，则M＝y1＝y2.下列说法错误的是（ ）
A．当x＞2时，M＝y1 B．当x＜0时，M随x的增大而减小
C．M的最小值为-2 D．若M＝-1时，则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是二次函数，则a= .
12．已知抛物线经过点和，则的值是 .
13．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 ．
14．二次函数的图像与y轴的交点坐标为 ．
15．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 .
16．若实数a，b满足，则的取值范围为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
（1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克设水果店一天的利润为W元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
18．某公司电商平台.在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数.已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140.
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）.
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
19．某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：
x 22 24 26 28
y 90 80 70 60
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设超市每月台灯销售利润为（元），求与x之间的函数关系式，当x取何值时，的值最大？最大值是多少？
20．已知二次函数y=a（x-1）2+k的图象与y轴交于点C（0，-8），与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y<0．
21．如图所示，抛物线经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(-1，0)、(0，-3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标．
22．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
23．在平面直角坐标中，二次函数 的图像经过点(1,4).
（1）求 的值；
（2）自变量 在什么范围内， 随 增大而增大.
24．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 经过点C.线段 在线段 上移动，点P的横坐标为t， ，分别过点P，Q作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点，交直线 于D，G两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数t，使得 ？如果存在，请求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.
25．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积。
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二次函数 单元综合强化提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】原点坐标为（0，0)，所以应把原点坐标代入所给函数，适合的便一定经过原点．
【解答】把点（0，0)分别代入下列选项得
A、左边=0，右边=-1，左边≠右边，所以y=x2-1不经过原点；
B、左边=0，右边=0，左边=右边，所以y=3x2-2x经过原点；
C、左边=0，右边=1，左边≠右边，所以y=2x+1不经过原点；
D、左边=0，右边无意义，所以不经过原点．
故选B．
【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
2．抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x =1，(1，-4) B．x =1，(1，4)
C．x=-1，(-1，4) D．x =-1，(-1，-4)
【答案】A
【解析】【分析】利用顶点坐标公式可求顶点坐标和对称轴，或者利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标很对称轴．
【解答】解法1：利用公式法
y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（ ，)，代入数值求得对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4)．
解法2：利用配方法
y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1)2-4，故对称轴为x=1，顶点的坐标是（1，-4)．
故选A．
【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（ ）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
【答案】D
【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），
所以该抛物线有最大值是﹣3．
故选D．
【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），根据抛物线的性质可直接做出判断．
4．已知抛物线y1=x2﹣（m+2）x+2m、直线y2=2x﹣4，若对于任意的x的值，y1≥y2恒成立，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵y1≥y2，
∴y1﹣y2≥0，
∴x2﹣（m+2）x+2m﹣（2x﹣4），
=x2﹣（m+4）x+2m+4≥0，
设w=x2﹣（m+4）x+2m+4，
当w≥0时，∴ ≥0，
m=0，
故选A．
【分析】根据y1≥y2恒成立，可知：y1﹣y2≥0，得新二次函数：w=x2﹣（m+4）x+2m+4，当w≥0时，由抛物线顶点的纵坐标一定大于等于0，可得结论．
5．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2
C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；
B、y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；
C、y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；
D、y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．
故选：B．
【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，得出顶点坐标，比较得出答案即可．
6．若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x﹣m中a=1＞0，
∴开口向上，对称轴为x=﹣=2，
∵A（2，y1）中x=2，∴y1最小，
又∵B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．
∴y2＞y3＞y1．
故选C．
【分析】先求出二次函数y=x2﹣4x﹣m的图象的对称轴，然后判断出A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
7．若（2，5）、（4，5）是抛物线 上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ （2，5）、（4，5）是抛物线 上的两个点，
∴对称轴为直线 =3，
故答案为：D.
【分析】根据（2，5）、（4，5）是抛物线 上的两个点，再利用求对称轴的方法计算求解即可。
8．二次函数的图像如图所示，若有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A． B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得到的图象，
由图象可知：0k=3时，|ax2+bx+c|=k(k≠0)有3个不相等的实数根，
k>3时，|ax2+bx+c|=k(k≠0)有2个不相等的实数根，
故|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，
k的取值范围是k>3.
故答案为：D.
【分析】根据题意得y=|ax2+bx+c| ( a≠0)的图象，根据图象可知03时，|ax2+bx+c|=k ( k≠0 )有2个不相等的实数根，即可求解。
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∵对称轴在y轴的右侧，
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
所以①错误；
∴B(3，0)，
∴对称轴为：直线 即
所以②正确；
③∵抛物线 交x轴于点
)和点B(3，0)，
时，y有最大值 所以③正确；
④当 时，
由②知：
所以④正确.
正确结论有②③④，共有3个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线开口方向得到 ；对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到 又抛物线与y轴的交点在x轴上方，则 ，于是可判断①错误；根据 ，确定点B的坐标，可得抛物线的对称轴为直线 ，于是可判断②正确；根据 和点B(3，0)确定抛物线的解析式，并化为顶点式，于是可判断③正确；根据 和 可判断④正确.
10．已知二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较大值为M；若y1＝y2，则M＝y1＝y2.下列说法错误的是（ ）
A．当x＞2时，M＝y1 B．当x＜0时，M随x的增大而减小
C．M的最小值为-2 D．若M＝-1时，则
【答案】D
【解析】【解答】二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x的图像如图所示：
解方程2x2 4x= 2x，解得x1=0，x2=1，两函数图象的交点坐标为(0，0)，(1， 2)，
当x>2时，M=y1，所以A选项说法正确；
当x<0时，M=y1，M随x的增大而减小，所以B选项说法正确；
当x≤0，M的最小值为0；当0当M= 1时，若01，则2x2 4x= 1，解得，所以D选项说法错误.
故答案为：D.
【分析】通过解方程2x2-4x=-2x得两函数图象的交点坐标为（0，0），（1，-2），利用新定义和函数图象逐项判断即可
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是二次函数，则a= .
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵函数y=是二次函数，
∴2﹣a≠0， ，
∴a≠2，
∴
故答案为：.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此可得2-a≠0且a2-2=2，求解即可.
12．已知抛物线经过点和，则的值是 .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵抛物线
，开口向上，
顶点坐标为
，抛物线经过点
和
，
当
时，
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（-1，b2-1），结合题意可得a=-1，b=0，则y=x2+2x，然后令x=1，求出y的值即可.
13．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 ．
【答案】0
【解析】【解答】抛物线的对称轴为直线
故答案为：0
【分析】利用对称轴的性质可得，化简可得，再求出即可。
14．二次函数的图像与y轴的交点坐标为 ．
【答案】（0，-2）
【解析】【解答】把代入得：，
∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为：（0，-2）．
【分析】将x=0代入解析式求出y的值即可。
15．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，
∵二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，
∴当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所以x1+x2＝0，
∵C（x3，a）在反比例函数的图象上，
∴当y＝a时，x3＝ ，
因此ω＝x1+x2+x3＝ .
故答案为： .
【分析】观察点的坐标可知三个点的纵坐标都是a，因此设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，利用二次函数的对称性可知x1+x2＝0，点C在反比例函数图象上，可得到x3＝ ，即可求出ω的值.
16．若实数a，b满足，则的取值范围为 .
【答案】a≥0
【解析】【解答】解：由题意易知 所以
①显然 时，
②当 时，不妨设 此时
则
若 则 不符合题意，若 则 也不符合题意，
所以 即，
易知 时
令 则 由二次函数的
性质可知
综上，a的取值范围为a≥0
故答案为：a≥0
【分析】利用根式的意义先确定 再利用换元法及反比例函数、二次函数的性质计算即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
（1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克设水果店一天的利润为W元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设这种水果去年到明年每亩产平均每年的增长率为，
由题意，得：，
解得：(舍去)．
答：平均每年的增长率为；
（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得：
当时，w有最大值为2450，
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
【解析】【分析】（1）设这种水果去年到明年每田产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，结合二次函数性质即可求出答案.
18．某公司电商平台.在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数.已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140.
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）.
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
【答案】（1）解：设y＝kx+b，由题意有：
，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y＝-2x+300；
（2）解：①由（1）W＝（-2x+300）（x-30）＝-2x2+360x-9000＝-2（x-90）2+7200，
所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；
②由题意W＝-2（x-150）（x-30-a）（x≤75），
其对称轴x＝90+ ＞90，
∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝75时周销售利润最大，
∴6000＝-2（75-150）（75-30-a），
∴a＝5.
【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将x＝50，y＝200；x＝80，y＝140代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数表达式；
（2）①由题意可得每件的利润为(x-30)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
②由题意可得每件的利润为(x-30-a)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
19．某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：
x 22 24 26 28
y 90 80 70 60
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设超市每月台灯销售利润为（元），求与x之间的函数关系式，当x取何值时，的值最大？最大值是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，
，得
，
即y与x之间的函数关系式是y＝ 5x＋200；
（2）解：由题意可得，
＝（x 20）（ 5x＋200）＝＝ 5（x 30）2＋500，
∵20≤x≤32，-5＜0，
∴当x＝30时，取得最大值，最大值是500．
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，将表中的两组x，y的值代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，即可得到一次函数解析式.
（2）利用每月台灯销售利润=每一台的利润×销售量，可得到w与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
20．已知二次函数y=a（x-1）2+k的图象与y轴交于点C（0，-8），与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y<0．
【答案】（1）解：∵y=a（x-1）1+k的图象与y轴交于点C（0，-8），
与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
∴
解得
∴该函数的解析式为y=（x-1）2-9
（2）解：令y=0，则（x-1）2-9=0，解得：x1=-2，x2=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
∴当-2【解析】【分析】（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得出方程组，解方程组求出a，k的值，即可得出答案；
（2）令y=0，得出方程（x-1）2-9=0，解方程求出x的值，从而得出点B的坐标，结合图象得出当-221．如图所示，抛物线经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(-1，0)、(0，-3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，-3），
∴，
解得：，
故抛物线的函数解析式为
（2）解：令，
解得，，
则点的坐标为（3，0），
∵，
∴点E坐标为（1，-4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，如图：
在中：，
在中：，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为（0，-1）；
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用，即可得到，求出m的值，即可得到点D的坐标。
22．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，MG=GN.
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）解：∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即 ，
∴ .
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则 ，
∵ ，
∴B E＝10﹣ x＞0，
解得x＜ ，
∴ （0＜x＜ ）.
【解析】【分析】（1）由四块矩形花圃面积相等得S矩形AMND＝2S矩形MEFN，ME＝BE，MG=GN，则AM=GH=2ME，由此可证得结论；
（2）利用篱笆总长为100m，可得到2AB+GH+3BC＝100，可用含BC的代数式表示出AB的长， 设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，可得到y与x之间的函数解析式，同时求出x的取值范围.
23．在平面直角坐标中，二次函数 的图像经过点(1,4).
（1）求 的值；
（2）自变量 在什么范围内， 随 增大而增大.
【答案】（1）解：将(1,4)代入二次函数 中，
得 ，则
（2）解： ， 开口向下，
对称轴：直线 ,
结合图像可得：当 时， 随 增大而增大
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出a值；
（2）因为a<0，开口向下，结合对称轴方程，可知在对称轴左边 随 增大而增大，即可得出x的范围.
24．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 经过点C.线段 在线段 上移动，点P的横坐标为t， ，分别过点P，Q作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点，交直线 于D，G两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数t，使得 ？如果存在，请求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵直线 过点C，且点C在y轴，
令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意可得：
设P（t，0），∵PQ=1，
则Q（t+1，0），
∴D（t， ），G（t+1， ），
E（t， ），F（t+1， ），
∵DE=GF，
∴ -（ ）= -（ ）
解得：t= ，
∴存在实数t= ，使得DE=GF.
【解析】【分析】（1）根据直线表达式求出点C坐标，代入抛物线表达式，求出a值即可；（2）设P（t，0），根据已知条件表示出D，E，F，G的坐标，从而得到DE和GF，根据DE=GF得到方程，求出t值即可.
25．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积。
【答案】（1）解：将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令x＝0，则y＝，
∴C（0，）；
（2）解：作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+），
∴MN＝﹣m2+m，
∴S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，△MBC的面积有最大值，
此时M（，）；
【解析】【分析】（1）将点B、D的坐标代入 y＝ax2+x+c， 可得求出a、c的值可得 y＝﹣x2+x+， 再将x=0代入求出y的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式为 y＝﹣x+ ， 设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+）， 求出 MN＝﹣m2+m， 再利用三角形的面积公式可得 S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+， 最后利用二次函数的性质求解即可.
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