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三角形的证明 单元全真模拟提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，3 B．，2， C．2，2，2 D．1，2，2
2．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设
A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是( )
A． B．
C．：：：： D．：：：：
4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A．同旁内角互补的两条直线平行
B．同旁内角互补的两条直线不平行
C．同旁内角不互补的两条直线平行
D．同旁内角不互补的两条直线不平行
5． 已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（ ）
A．该命题的题设是正方形
B．该命题是真命题
C．其逆命题的题设是四边形的四条边相等
D．其逆命题是真命题
6． 如图，在矩形中，交于点O，，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
7．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西方向，则丙在甲的什么方向？（ ）
A．南偏西 B．南偏西 C．西南方向 D．北偏东
9．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（ ）
A．128° B．118° C．108° D．98°
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
12．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
13．在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个．
14．如图，在中，，平分，于点，若，，则的长为 ．
15．在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为 .
16． 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路隔开，．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长
18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）直接写出边上的高的长度＝ ．
19．如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
20．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移到△DCE.
（1）如图（1），连接AE，BD，求证：AE=BD；
（2）如图（2），点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE.求证：BH =GE .
21．如图，中，点D是上的一点，，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求的面积．
22．如图，中，，长为5，点D是上的一点，．
（1）是哪种类型的三角形，请给出证明；
（2）求出线段的长．
23．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使顶点 与顶点 重合，点 落在点 处．
（1）点 ， ， 三点是否共线？并说明理由．
（2）若 ， ，求折叠后纸片重合部分的面积．
24．如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上．
（1）求BC的长；
（2）求∠BCD的大小．
25． 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
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三角形的证明 单元全真模拟提分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，3 B．，2， C．2，2，2 D．1，2，2
【答案】A
【解析】【解答】解：A：32+42=25，52=25，故A满足题意；
B：()2+22=7，()2=5，7≠5，故B不满足题意；
C：22+22=8，22=4，8≠4，故C不满足题意；
D：12+22=5，22=4，5≠4，故D不满足题意.
故答案为：A.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设
A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB【答案】A
【解析】【解答】解： 反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设AB=AC.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步需要假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是( )
A． B．
C．：：：： D．：：：：
【答案】C
【解析】【解答】A、∵，∴，∴△ABC是直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，∴∠C+∠B=∠A，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵：：：：，∴∠C=，∴△ABC不是直角三角形，∴C符合题意；
D、∵：：：：，∴，∴△ABC是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形的内角和的计算方法逐项分析判断即可.
4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A．同旁内角互补的两条直线平行
B．同旁内角互补的两条直线不平行
C．同旁内角不互补的两条直线平行
D．同旁内角不互补的两条直线不平行
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故答案为：C．
【分析】利用反证法的证明步骤（①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立）分析求解即可.
5． 已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（ ）
A．该命题的题设是正方形
B．该命题是真命题
C．其逆命题的题设是四边形的四条边相等
D．其逆命题是真命题
【答案】D
【解析】【解答】解：∵命题“ 正方形的四条边均相等 ”的逆命题是“四条边均相等的四边形是正方形”是假命题，
∴选项D不正确，
故答案为：D.
【分析】先求出原命题的逆命题，再利用真命题及假命题的定义分析求解即可.
6． 如图，在矩形中，交于点O，，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB，
因为，
所以是等边三角形，
所以OA=OB=5，
所以AB=5.
故答案为：5.
【分析】根据矩形的对角线互相平分，可得出OA=OB，可判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OB=AB，即可得出AB的长度.
7．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，交于，如图：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接，交于，先求出，再结合，求出，最后利用角的运算求出即可.
8．甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西方向，则丙在甲的什么方向？（ ）
A．南偏西 B．南偏西 C．西南方向 D．北偏东
【答案】B
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
丙在甲的南偏西40°方向，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理判定△OAB是直角三角形，且∠AOB=90°，结合题中给出的方位角度数及平角定义解答即可.
9．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（ ）
A．128° B．118° C．108° D．98°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= （180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正确；
④易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∵S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM= ，
∵∠FCO=30°，
∴FM= ，BM= CM，
∴ = ，
∴S△AOE：S△BCM=2：3，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B
【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；③可证明∠CDE=∠DFE；④可通过面积转化进行解答．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
12．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【答案】不是
【解析】【解答】解：∵等腰三角形顶角为120°，
∴等腰三角形的底角是30°．
∵120°-30°=90°，30°-30°=0°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．
故答案为：不是．
【分析】根据三角形内角和定理得出底角为30°，结合定义，即可求解．
13．在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个．
【答案】3
【解析】【解答】解：①与互余，则是直角三角形；
②，即，则是直角三角形；
③，∴，则是直角三角形；
∴能判定是直角三角形的有3个
故答案为：3.
【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理分析，即可求解．
14．如图，在中，，平分，于点，若，，则的长为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，CD平分∠ACB，DE垂直BC，
∴AD=DE=4.
又∵AB=10，
∴BD=AB-AD=10-4=6.
故答案为：6.
【分析】在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等.
15．在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为 .
【答案】59°或31°
【解析】【解答】情况一：当E点在线段AD上时，如图所示：
∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°，
∴∠ADB=90°-28°=62°.
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=（180°-62°）÷2=59°.
情况二：当E点在AD的延长线上时，如图所示：
∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°，
∴∠BDE=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=∠BDE=×62°=31°.
综上可知，∠A的度数为59° 或31°.
故答案为：59° 或31°.
【分析】当E点在线段AD上时，易得∠ADB=62°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理就可求出∠A的度数；当E点在AD的延长线上时，易得∠BDE=62°，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行计算.
16． 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，延长线于点，过作于点，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
，则，
，
，
，
是边上的中线，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】连接AE，过点B作BF⊥AC于点F，BG⊥CE延长线于点G，首先证明BD垂直平分线段AE，是直角三角形，证明CE∥BD，可得，，得到相关线段长度，然后在利用等面积法列式求解即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路隔开，．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长
【答案】（1）解：∵米，米，米．，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：
（米）；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴（米）．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用三角形的面积公式求出 ， 再计算求解即可。
18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）直接写出边上的高的长度＝ ．
【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）2
【解析】【解答】解：（2）设AC边上的高为h，则AB·BC=AC·h，
∴×=5h，
∴h=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据勾股定理可得AB2、BC2、AC2，然后结合勾股定理逆定理进行解答；
（2）设AC边上的高为h，然后根据等面积法进行计算.
19．如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，利用勾股定理的逆定理可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作 ，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出方程求解即可.
20．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移到△DCE.
（1）如图（1），连接AE，BD，求证：AE=BD；
（2）如图（2），点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE.求证：BH =GE .
【答案】（1）证明：由平移，知△ABC≌△DCE，
∵AB=AC=DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠BCD=∠ECA，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE＝BD；
（2）证明：∵GH∥BE，
∴∠CHG=∠HCE=∠ACB=∠CGH，
∴CG=CH，
∵∠BCH=∠ECG，BC=CE，
∴△BCH≌△ECG(SAS)，
∴BH=GE.
【解析】【分析】（1）根据平移性质得AB=AC=DC=DE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，推出∠BCD=∠ECA，从而用SAS判断出△ACE≌△DCB，得AE=BD；
（2）由平行线的性质得∠CHG=∠HCE=∠ACB=∠CGH，由等角对等边得CG=CH，从而用SAS判断出△BCH≌△ECG，得BH=GE.
21．如图，中，点D是上的一点，，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，理由如下：，，，，是以为直角的直角三角形，．
（2）解：在中，，，，，，则的面积为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明 是以为直角的直角三角形，即可得到；
（2）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用三角形的面积公式计算即可。
22．如图，中，，长为5，点D是上的一点，．
（1）是哪种类型的三角形，请给出证明；
（2）求出线段的长．
【答案】（1）解：为直角三角形．∵，，，∴∴∴∴为直角三角形．
（2）解：在中，设，则，由勾股定理得：解得：，∴．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2） 设，则 ，根据勾股定理建立关于x方程并解之即可.
23．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使顶点 与顶点 重合，点 落在点 处．
（1）点 ， ， 三点是否共线？并说明理由．
（2）若 ， ，求折叠后纸片重合部分的面积．
【答案】（1）证明：点 ， ， 三点共线，理由如下
连接CF
∵矩形纸片 沿 折叠
∴ ，
∴ （SAS）
∴
∵
∴
∴点 ， ， 三点共线
（2）解：由折叠可得：AE=EC，
设BE=x，则AE=EC=8-x
在Rt△ABE中
∴ ，解得
∴AE=EC=8-x=5
∵矩形
∴AD∥BC
∴
∴
∴
折叠后纸片重合部分△AEF的面积为
【解析】【分析】 （1）连接CF，由折叠可得CD=AG，GF=DF，∠D=∠G，根据SAS证明△CDF≌△AGF，可得∠CFD=∠AFG，由可得，即证结论；
（2）由折叠得AE=EC，∠AEF=∠CEF，设BE=x，则AE=EC=8-x ，在Rt△ABE中，由勾股定理知，据此建立关于x方程并解之，即得AE=CE=5， 由矩形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠AFE=∠CEF，即得∠AEF=∠AFE，可得AE=AF=5， 由折叠后纸片重合部分的面积=，据此即得结论.
24．如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上．
（1）求BC的长；
（2）求∠BCD的大小．
【答案】（1）解：如图，可知，，，
∴．
（2）解：如图，
由勾股定理可得，，
，
由（1）知，
∵，
∴，
∴BCD是直角三角形，
∴∠BCD．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）先求出，可得BCD是直角三角形，即可得到∠BCD。
25． 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
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