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直角三角形的边角关系 单元全优达标卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则 的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为锐角，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠ ，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m.
A． B． C． D．
5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地而的距离为（已知，，，，，）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 ，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
8．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．22.5米 B．27.5米 C．32.5米 D．45.0米
9．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP=( )
A． B．2 C． D．
10．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知OA=8，OC=4，则点A1的坐标为（ ）
A．（4.8，6.4） B．（4，6）
C．（5.4，5.8） D．（5，6）
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=，AD=，则∠CBD=
12．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为
13．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米（结果保留根号）
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OC＝OB.点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）解方程：
18．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
19．如图，在Rt中，，.点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为 .
20．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
22．
（1）计算：.
（2）先化简，再求代数式的值，其中.
23．如图，将一个直角三角形形状的楔子（ ）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为 ，其高度 为 厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度 为 厘米.
（1）求 的长；
（2）木桩上升了多少厘米？（ ， ， ，结果精确到 厘米）
24．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5 千米的C处.
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？(结果保留根号)
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由.
25．交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使 ， ．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： ， ）；
（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．
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直角三角形的边角关系 单元全优达标卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则 的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】【解答】因为 ，所以 =
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cos30°=，于是∠ADE的度数可求解.
2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图：
利用三角函数的定义可知tan∠A=
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠A的值.
3．已知 为锐角，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由 ，得：
∴α-10°=45°，
∴α=55°，
故答案为：B.
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.
4．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠ ，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝ BC，
在Rt△ADC中，tanC＝ ，
∴DC＝ ＝ ，
∴BC＝2DC＝ .
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝DC＝BC，根据∠C的正切函数可得DC，进而可得BC.
5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用勾股定理及逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，即得∠BAC=45°，求出∠BAC的正切值即可.
6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地而的距离为（已知，，，，，）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，则BF＝3＋x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°≈2.1x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），
∴2.1x＝0.7（3＋x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15＋1.55=4.7米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，则BF＝3＋x，根据正切函数的定义得OF=xtan65°≈2.1x，OF＝BFtan35°≈0.7(3+x)，据此可得x，进而求出OF、OE.
7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 ，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【答案】A
【解析】【解答】解：因为 ，又BC＝30，所以， ，解得：AC＝75m，
故答案为：A.
【分析】根据BC的长度和 的值计算出AC的长度即可解答.
8．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．22.5米 B．27.5米 C．32.5米 D．45.0米
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，
延长DC交EA于点G，
则四边形EFHG是矩形，
∴FH＝GE，CG＝EF，
∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，
∴CG＝5，AG＝12，
∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，
∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，
∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，
∴DH＝FH tan37°≈30×0.75≈22.5，
∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）.
所以信号塔CD的高度约是27.5米.
故答案为：B.
【分析】过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，可得四边形EFHG是矩形，根据AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，可得CG＝5，AG＝12，CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，再根据锐角三角函数即可求出信号塔CD的高度.
9．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP=( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可．
【解答】
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA=20
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB=90° BP=60×=40
∴tan∠ABP=
故选A．
10．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知OA=8，OC=4，则点A1的坐标为（ ）
A．（4.8，6.4） B．（4，6）
C．（5.4，5.8） D．（5，6）
【答案】A
【解析】【分析】设出A1点的坐标，先根据翻折变换的性质得出△A1BD的面积，作A1E⊥x轴于E，交DE于F，根据BC∥x轴可知A1E⊥BC，再由（1）中BD的值及三角形的面积公式可求出A1F的长，B点坐标，用待定是法求出过O、D两点的一次函数的解析式，把A1点的坐代入函数解析式即可．
【解答】∵BC∥AO，
∴∠BOA=∠OBC，
根据翻折不变性得，
∠A1OB=∠BOA，
∴∠OBC=∠A1OB，
∴DO=DB．
设DO=DB=xcm，
则CD=（8-x)cm，
又∵OC=4，
∴（8-x)2+42=x2，
解得x=5．
∴BD=5，
∴S△BDO=×5×4=10；
设A1（a，4+b)，作A1E⊥x轴于E，交DE于F，如下图所示：
∵BC∥x轴，
∴A1E⊥BC，
∵S△OAB=OA AB=×8×4=16，S△BDO=10．
∴S△A1BD=BD A1F=×5A1F=6，
解得A1F=，
∴A点的纵坐标为 ，
∵BD=5，B（8，4)
∴D点坐标为（3，4)，
∴过OC两点直线解析式为y=x，
把A点的坐标（a，)代入得，=a，
解得a=，
∴A点的坐标为（ ，)．即（4.8，6.4)
故选A．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=，AD=，则∠CBD=
【答案】15°或105°
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2，AC=，
∴sin∠ABC=，∴∠ABC=45°；
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2，AD=，
∴sin∠ABD=，∴∠ABD=60°．
分两种情况：
①当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°；
②当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD=∠ABD+∠ABC=105°．
综上可知∠CBD=15°或105°．
故答案为15°或105°．
【分析】分两条弦在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论即可求解．
12．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为
【答案】
【解析】【解答】解：∵A（﹣1，3），
∴OA=
∴角α的余弦值为=；
故答案为：．
13．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】如图
Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，AC=6，
∴BC=AC tanA=6× =2．
根据勾股定理，得：AB=
= 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．
【分析】在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
【答案】5
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=18，tanA= ，
∴AC ，
∴AB ，
cosB ，
∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE= AB= ．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴cosB= ，
∴BD=13，
∴CD=BC﹣BD=18﹣13=5．
故答案为：5．
【分析】解直角三角形求出AC、AB，再在Rt△BDE中求出BD即可解决问题。
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为 .
【答案】
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD.
又∵AE=DE=3，
∴CE=4-3=1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE= ；
故答案是： .
【分析】由折叠的性质可得△AEF≌△DEF，于是根据全等三角形的性质和等边对等角可得∠EDF=∠A=∠B，AE=DE，由平角的意义和已证得的结论可得∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，则∠CDE=∠BFD；根据CE=AC-AE可求得CE的值，在直角△ECD中，根据sin∠CDE=可求解.
16．如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OC＝OB.点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，在OA上取 使 ，
∵ ，
∴ ，
在△ 和△QOC中，
，
∴△ ≌△QOC（SAS），
∴
∴当 最小时，QC最小，
过 点作 ⊥AB，
∵直线l： 与坐标轴分别交于A，B两点，
∴A坐标为：（0，8）；B点（-4，0），
∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段CQ的最小值为 .
故答案为： .
【分析】如图，在OA上取 使 ，根据SAS可证△ ≌△QOC，可得，根据垂线段最短，可得当 最小时，QC最小，先求出OB、AB、AC'的长，由，代入相应数据即可求出CP'，即得结论.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：
，
（2）解：，
方程两边同乘得：，
移项，合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验，把代入得：，
∴是原方程的根.
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质、0指数幂的性质分别化简，再合并同类二次根式即可；
（2）方程两边同时乘以x(x+3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
18．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
【答案】（1）解：由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，
∵∠EDH＝37°，
∴HE＝DE tan37°≈8×0.75＝6米.
∴BH＝EH+BE＝7.5米
（2）解：设GF＝x米，在Rt△GEF中，∠GEF＝45°，
∴EF＝GF＝x，
在Rt△DFG中，tan37°＝≈0.75，
∴x≈24，
∴CG＝CF+FG＝25.5米，
答：教学楼CG的高度为25.5米.
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是矩形，则DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，根据三角函数的概念可求出HE的值，然后根据BH＝EH+BE进行计算；
（2）设GF＝x米，则EF＝GF＝x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据CG＝CF+FG进行计算.
19．如图，在Rt中，，.点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据两组对边分别相等可证四边形是平行四边形， 结合DE⊥AC，根据菱形的判定即证结论；
（2）由，可设，则，由菱形的性质可得，，再利用勾股定理求出AB=a，根据即可求解.
20．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
【答案】（1）解：如图，过点O作、的平行线，交于H，
由题意可知，点O是的中点，
∵，
∴，
∴点H是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：
∴，
∴，
解得，
∴点O、M之间的距离等于；
（2）解：过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，
∵，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于.
【解析】【分析】（1）过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，由题意可知：点O是AB的中点，根据平行线分线段成比例的性质可得，由中点的概念可得CH=HD=6.5m，则MH=MC+CH=15m，由题意可得∠OHM=∠BDC=α，结合三家函数的概念可得OM，据此解答；
（2）过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK=OB，易证△BIO∽△JIB，根据相似三角形的性质可得BI、OI，易得四边形OHDJ是平行四边形，则OJ=HD，然后求出IJ、BI、OI的值，由勾股定理可得OB，据此解答.
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6
在直角 中， ，
在直角 中， ，
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
22．
（1）计算：.
（2）先化简，再求代数式的值，其中.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
当时，
原式.
【解析】【分析】（1）根据0次幂以及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值可得原式=1+2-+，然后根据有理数的加法法则以及二次根式的加法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，由特殊角的三角函数值可得x的值，接下来代入计算即可.
23．如图，将一个直角三角形形状的楔子（ ）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为 ，其高度 为 厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度 为 厘米.
（1）求 的长；
（2）木桩上升了多少厘米？（ ， ， ，结果精确到 厘米）
【答案】（1）解：在 中， ， ，
则 ，
，
（2）解：在 中， ， ，
则 ，
答：木桩上升了大约 厘米.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用tan∠ABC=可求得BC的值，进而求得BH的值；
（2）在Rt△BPH中，利用tan∠ABC=可求得PH的值.
24．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5 千米的C处.
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？(结果保留根号)
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，得∠BAC＝90°，
∴BC＝ ＝10 ，
∴飞机航行的速度为10 ×60＝600 (km/h).
（2）解：能降落在跑道MN之间.
理由：作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F.
在Rt△ABC中，AC＝5 ，BC＝10 ，
∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，
又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴CE＝AC·sin ∠CAE＝ ，
AE＝AC·cos ∠CAE＝ .
则AF＝2AE＝15(km)，
∴AN＝AM＋MN＝14.5＋1＝15.5 km，
∵AM＜AF＜AN，
∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间.
【解析】【分析】（1）先求出∠BAC=90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；（2）作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可.
25．交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使 ， ．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： ， ）；
（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．
【答案】（1）在直角三角形ADC中，AD=；
在直角三角形BDC中，BD=，
∴AB=AD-BD=21-7=14≈14×1.73=24.22≈24.2
（2）汽车从A到B的时间为2
∴速度=24.2÷2=12.1
∵12.1m/s=43.56km/h
∴43.56km/h＞40km/h，汽车已经超速。
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，根据角的正切，即可得到AD和BD的长度；
（2）根据题意，即可得到汽车的路程以及时间，即可得到汽车的速度，将单位换算，进行比较得到答案即可。
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