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【50道综合题·专项集训】人教版八年级下册第十六章 二次根式
1．海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．
（1）直接写出p的化简结果为 ．
（2）写出计算S值的过程．
2．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）
（1）背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
3．计算：
（1）
（2）
4．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
5．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
6．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
7．计算
（1）9 +7 ﹣5 +2
（2）（ ﹣1）（ +1）﹣（1﹣2 ）2．
8．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
9．求代数式a+ 的值，其中a＝﹣2020.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2 的值，其中a＝﹣2019.
10．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求 的值.
11．计算下面各题
（1）解方程组：
（2）化简： ﹣3× + ．
12．已知：，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）若为整数部分，为小数部分，求的值.
13．已知 + =b+8.
（1）求a的值；
（2）求a2-b2的平方根.
14．已知：实数a，b满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为 和 时，求x的值．
15．计算
（1）| ﹣ |+2
（2） （ + ）
16．计算题
（1）化简：（ ﹣ ）÷ +
（2）计算：（﹣3）﹣2+ ﹣|1﹣2 |﹣（ ﹣3）0．
17．观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①；
②；
③；
……
（1）化简： .
（2）化简： （n为正整数）.
（3）利用上面所揭示的规律计算：
18．计算下列各题
（1）
（2）（3 ﹣2 + ）÷2
（3）先化简，再求值： 其中a= +1．
19．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
20．
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，.
21．已知 ，求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
22．观察下列等式：
① ，
②
③
······
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ；(n是正整数)
（2）按上述方法，化简： .( 要求写过程)
23．先阅读，再解答
由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
（1）求 -1的有理化因式；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
24．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
25．探究过程：观察下列各式及其验证过程.
①②
验证：
验证：
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
= ； ；
（2）通过上述探究你能猜测出： = （n>0），并验证你的结论.
26．计算下列各题：
（1）
（2） ．
27．像 ； ； ......两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号.
（ 1 ） ；
（ 2 ）
勤奋好学的小明发现；可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数.
（ 3 ）化简： .
解：设 ，易知 ，则 .
由： .解得 .
即 = .
请你解决下列问题：
（1） 的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（3）化简： .
28．计算下列各式
（1） ×（ ﹣π）0+（ ）﹣1
（2） +（3﹣ ）（1+ ）．
29．在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ ，
∴
∴ ，即
∴
∴ .
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简： ；
（2）若 ，求 的值.
30．计算下列各式．
（1）（ ﹣ ）（4 + ）﹣ ；
（2）（a + ）÷ ．
31．综合题。
（1） ；
（2） ；
（3） ．
32．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
33．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
34．计算
（1）（ + ）（ ﹣ ）﹣（ +3 ）2．
（2） ÷（﹣ ）﹣ × + ．
35．有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 和 ，使 且 ，则 可变为 ，即变成 ，从而使得 化简.
例如：
请你仿照上例将下列各式化简：
（1） ；
（2） .
36．
（1）已知两个连续正整数a、b， ，求ab的值．
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的值．
（3）已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求m+n的值．
37．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示．
（1）求图（1）矩形纸片相邻的两边长；
（2）求图（2）正方形与正方形的面积．
38．已知 ， .
（1）求 ；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求 的值.
39．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，我们可以按如下两种方法进行化简：
方法一：．
方法二：．
（1）请分别参照以上两种方法化简：；
（2）计算．
40．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
41．计算和求证
（1）计算：
（2）在 中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且 ，求证： ．
42．已知：x= ，y= ．求值：
（1）x2y+xy2；
（2）x2﹣3xy+y2．
43．已知 + =b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
44．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
45．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足 ．
（1）点A的坐标为 ；点C的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
46．阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
47．已知： ， .
求：
（1）a﹣c的值；
（2） 的值.
48．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a），点B（b，0），且实数a，b满足+（b﹣8）2＝0．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P从点B出发，沿x轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，△APO的面积为S，求用含t的式子表示S，并直接写出的t取值范围；
（3）在（2）的条件下，点Q在AO上，射线BQ与AP交于点M，过点A作AN⊥BQ交直线BQ于点N，交x轴于点R，当△ANM的面积等于△ONM的面积时，求点R的坐标．
49．如图，已知点 ，且 ， 满足 .过点 分别作 轴、 轴，垂足分别是点A、C.
（1）求出点B的坐标；
（2）点M是边 上的一个动点（不与点A重合）， 的角平分线交射线 于点N，在点M运动过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由.
（3）在四边形 的边上是否存在点 ，使得 将四边形 分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
50．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、（0，b），其中满足a、b满足，将线段AB平移得到线段CD，其中点A与点C对应，点C在y轴负半轴上，点B与点D对应，CD与x轴交于点E．
（1）点A坐标 ；点B坐标 ；三角形AOB的面积为 ；
（2）若．
① 求出点E的坐标：
② 求出点C、D的坐标
（3）在（2）的条件下，点，，将点P向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，连接PC、PD、QA、QB，当三角形ABQ的面积等于三角形CDP面积的2倍时，直接写出此时t的值．
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【50道综合题·专项集训】人教版八年级下册第十六章 二次根式
1．海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．
（1）直接写出p的化简结果为 ．
（2）写出计算S值的过程．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，，
∴
．
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题目中提供的信息，代入数据根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据题目中的面积公式，代入数据根据二次根式的性质化简求值即可。
2．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）
（1）背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）背景墙的周长为
（2）整个电视背景墙需要花费元
3．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2 +4 -
=
（2）解：原式=（5-4）-3+2
=1-3+2
=0
【解析】【分析】根据二次根式的性质，平方差来进行计算。
4．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
5．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
6．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
【答案】（1）解： +6 ﹣2x ，
=2 +3 ﹣2
=3
把x=4代入上式得：
原式=3× =6；
（2）解： +3 +x ，
=2 + +
=4 ，
把x=6代入上式得：
原式=4× =12
【解析】【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可；
7．计算
（1）9 +7 ﹣5 +2
（2）（ ﹣1）（ +1）﹣（1﹣2 ）2．
【答案】（1）解：9 +7 ﹣5 +2
=9 +14 ﹣20 +
=
（2）解：（ ﹣1）（ +1）﹣（1﹣2 ）2
=3﹣1﹣（1+12﹣4 ）
=2﹣13+4
=﹣11+4
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式求出答案；（2）直接利用乘法公式化简，进而求出答案．
8．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【答案】解：（1）∵，，，
∴
∴a=－4，b=2
∴，
∴A(－4，0)，B(0，2)，C（0，-3)
∴BC=5， OA=4
∴
（2）由题意可知：，
∵A'、C、Q' 在同一直线上，
∴
∴
∴
∴
（3）如图3所示，连接OD、OE
设点D的坐标是（m，n）
∵
∴
∴
∴点D的坐标是（，n）
∵点D向右平移4个单位长度得到E点
∴E（2n，n）
∵
∴
∴
∴
∴D（，）.
【解析】【分析】（1）根据偶次根式和绝对值的非负性，得到，求得a=－4，b=2，得到，得出A，B，C三点的坐标，结合三角形的面积公式，即可得到答案；
（2）根据题意，得到，，根据A'、C、Q' 在同一直线上，结合，列出关于m的方程，求得m的值，即可得到答案；
（3）连接OD、OE，设点D的坐标是（m，n），根据，得到 ，求得点D的坐标是（，n），再根据点 D向右平移4个单位长度得到E点，求得点E坐标是（2n， n），结合，列出方程求解，即可得到答案.
9．求代数式a+ 的值，其中a＝﹣2020.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2 的值，其中a＝﹣2019.
【答案】（1）小芳
（2）被开方的数具有非负性
（3）解：a+2
＝a+2 ，
∵a＝﹣2019，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，
即代数式a+2 的值是2025.
【解析】【解答】解：（1）∵a＝﹣2020，
∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，
故答案为：被开方的数具有非负性；
【分析】（1）根据题目中的解答过程和二次根式的性质，可以得到哪位同学做错了；
（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；
（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．
10．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）由题意可得
（2）
.
【解析】【分析】（1）根据题意可知点B所表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值；（2）首先把m的值代入待求式中，利用有理数的加减进行运算，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算，即可解答.
11．计算下面各题
（1）解方程组：
（2）化简： ﹣3× + ．
【答案】（1）解： ，
①+②×4得：7x=35，
解得：x=5，
将x=5代入②得：5﹣y=4，
解得：y=1，
则方程组的解为：
（2）解： ﹣3× +
=2 ﹣3× +2
= +2
【解析】【分析】（1）直接利用加减消元法解二元一次方程组进而得出答案；（2）直接利化简二次根式进而求出答案．
12．已知：，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）若为整数部分，为小数部分，求的值.
【答案】（1）解：，，
（2）解：，，，
（3）解：为整数部分，为小数部分，，，
，
，
的值.
【解析】【分析】（1）根据a、b的值结合平方差公式进行计算；
（2）根据二次根式的减法法则可求出a-b的值，原式可变形为(a-b)2-ab，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得a、b的范围，据此可得m、n的值，然后代入进行计算.
13．已知 + =b+8.
（1）求a的值；
（2）求a2-b2的平方根.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得：a=17，
（2）解：b+8=0，
解得：b=﹣8，
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15.
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质可得： ，即可解得 ，然后再代入可得b=﹣8，(2)根据(1)代入可求得a2﹣b2=225，根据平方根的意义可解.
14．已知：实数a，b满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为 和 时，求x的值．
【答案】（1）-3；4
（2）解：依题意，得 ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【解析】【解答】解：（1） ， ；
【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性，可得a+3=0,b-4=0，据此求出a、b的值即可；
（2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此可得，据此求出m的值，从而求出x值.
15．计算
（1）| ﹣ |+2
（2） （ + ）
【答案】（1）解：原式= ﹣ +2 = +
（2）解：原式=3+1=4
【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果；（2）原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
16．计算题
（1）化简：（ ﹣ ）÷ +
（2）计算：（﹣3）﹣2+ ﹣|1﹣2 |﹣（ ﹣3）0．
【答案】（1）解：原式= ÷ ﹣ ÷ + = ﹣1+ = ﹣1=1﹣1=0；
（2）解：原式= +2 ﹣2 +1﹣1= ．
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律及二次根式的乘除法则计算，再进行计算化简即可。
（2）先段乘方运算，再算加减法运算。解题技巧：负整数指数幂转化为正整数指数幂的方法是，底数取倒数，正整数指数变成负整数指数。|1﹣2 |=2-1（大减小）。
17．观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①；
②；
③；
……
（1）化简： .
（2）化简： （n为正整数）.
（3）利用上面所揭示的规律计算：
【答案】（1）
（2）
（3）解：
=
=
=
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
（2）
=
故答案为：
【分析】（1）给分子、分母同时乘以-，然后利用平方差公式对分母进行化简即可；
（2）给分子、分母同时乘以-，然后利用平方差公式对分母进行化简即可；
（3）进行分母有理化可将原式变形为 ，化简即可.
18．计算下列各题
（1）
（2）（3 ﹣2 + ）÷2
（3）先化简，再求值： 其中a= +1．
【答案】（1）解：原式=4 ﹣ +9﹣（2 ）2
=4 ﹣ +9﹣12
=4 ﹣ ﹣3
（2）解：原式=（6 ﹣ +4 ）
= ÷2
=
（3）解：原式=（ ﹣ ）÷a
= ×
= ，
当a= +1时，
原式= = =
【解析】【分析】（1）先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得；（2）先化简括号内的二次根式并合并同类二次根式，再计算除法即可得；（3）先化简分式，再代入计算可得．
19．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意得， ，
（2）解：由（1）得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）将x、y值直接代入计算即可；
（2）先求出， 的值，再根据完全平方公式将原式变形， 然后代入计算即可.
20．
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，.
【答案】（1）解：原式，
（2）解：原式，
；
当，时，
原式.
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根及二次根式的性质分别化简，然后计算乘除法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，进而将x、y的值代入化简结果计算即可.
21．已知 ，求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： ， ，
，
原式 ；
（2）解： ， ，
， ，
原式 ，
（3）解： ， ，
，
原式= =4.
【解析】【分析】（1）求出x+y的值，再将代数式转化为（x+y）2，然后整体代入可求值.
（2）先求出x+y，x-y的值；再利用因式分解法可得到（x-y）（x+y），然后整体代入求值.
（3）将代数式转化为（x-y）2，然后整体代入求值.
22．观察下列等式：
① ，
②
③
······
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ；(n是正整数)
（2）按上述方法，化简： .( 要求写过程)
【答案】（1）
（2）∵
∴
.
【解析】【解答】（1）解：∵第1个等式为：
第2个等式为：
第3个等式为：
∴第n个等式为：
【分析】（1）观察①②③等式，可得第n个等式；
（2）将分子分母同乘即可.
23．先阅读，再解答
由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
（1）求 -1的有理化因式；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1）解： 的有理化因式是 ；
（2）解： ，
（3）解： ．
理由如下：
； ，
，
，
．
【解析】【分析】根据题意，有理化因式是为了构建平方差公式的，a2-b2=(a+b)(a-b)，根据这个原理来构建有理化因式并化简即可
24．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
当时，的最小值是2；
（2）解：当时，，
，
，
当时，的最大值是；
（3）解：，
，
的最小值是8，
的最小值是11，
当时，的最小值是11．
【解析】【分析】（1）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（2）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（3）先根据题意得到，进而运用二次根式的性质结合题意即可求解。
25．探究过程：观察下列各式及其验证过程.
①②
验证：
验证：
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
= ； ；
（2）通过上述探究你能猜测出： = （n>0），并验证你的结论.
【答案】（1）；
（2） ，证明：左边= = =右边
【解析】【解答】解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
4 ；5 ；
（ 2 ） = （n>0）.
【分析】（1）利用题干所给的规律即可解决问题；
（2）先利用题干所给的规律得出 = （n>0），然后滚局二次根式的性质及乘法法则进行验证.
26．计算下列各题：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：原式=3 + ﹣
=（3+ ﹣1）
=
（2）解：原式=（ ﹣ ）÷
= ÷
=
【解析】【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的混合运算以及同类二次根式的合并，计算求解即可．
27．像 ； ； ......两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号.
（ 1 ） ；
（ 2 ）
勤奋好学的小明发现；可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数.
（ 3 ）化简： .
解：设 ，易知 ，则 .
由： .解得 .
即 = .
请你解决下列问题：
（1） 的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（3）化简： .
【答案】（1）
（2）解：
=
=
（3）解：设x= ，易知 ，则 .
由： .解得 .
∵
∴ = .
【解析】【解答】（1） 的有理化因式是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求解；
（2）根据分母有理化的方法化简即可求解；
（3）根据平方之后再开方的方式即可求解.
28．计算下列各式
（1） ×（ ﹣π）0+（ ）﹣1
（2） +（3﹣ ）（1+ ）．
【答案】（1）解： ×（ ﹣π）0+（ ）﹣1
=3×1+5
=8
（2）解： +（3﹣ ）（1+ ）
=4 +3+3× ﹣ ﹣1
=4 +2．
【解析】【分析】（1）直接利用零指数幂的性质结合负指数幂的性质分别化简进而求出答案；（2）首先利用二次根式乘法运算法则化简进而求出答案．
29．在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ ，
∴
∴ ，即
∴
∴ .
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简： ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解： ∵
∴
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
30．计算下列各式．
（1）（ ﹣ ）（4 + ）﹣ ；
（2）（a + ）÷ ．
【答案】（1）解：原式=（ ﹣ ）（2 + ）﹣
=2 × +（ ）2﹣2 × ﹣ × ﹣
=2 +3﹣4﹣ ﹣
=﹣1；
（2）解：原式=（2 a +4 a ）÷
=6 a ÷（ ）
=6a．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再根据乘法分配律去括号，最后合并可得；（2）先化简二次根式，再合并括号内同类二次根式，最后计算除法即可得．
31．综合题。
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）解：原式=2× ×13=
（2）解：原式=9×5=45
（3）解：原式=8﹣a
【解析】【分析】根据 =|a|和（ ）2=a（a≥0）得到答案即可．
32．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
【答案】（1）解：设长方体的高为 x cm，则长为4x cm，宽为2x cm，由
题意得4x×2x=24，解得x1= ，x2=- (舍去)，
则4x=4 ，2x=2 ，
答：这个长方体的长宽、高分别是4 cm，2 cm， cm．
（2）解：(4 ×2 + ×4 +2 × )×2
=(24+12+6) ×2=42×2= 84(cm2 )．
答：长方体的表面积是84 cm2．
（3）解：4 ×2 × =24 (cm3 )．
答：长方体的体积是24 cm3．
【解析】【分析】（1）利用比例设未知数，列出方程4x×2x=24，得到结果。
（2）利用长方体的表面积公式，得到(4 ×2 + ×4 +2 × )×2 ，得到结果。
（3）利用长方体体积公式，得到4 ×2 × ，得到结果。
33．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=200时，
（2）解：当t=3时， ，解得
∴下落的高度是45米.
【解析】【分析】（1）将h=200直接代入t=中进行计算即可；
（2）将t=3代入t=中进行计算即可.
34．计算
（1）（ + ）（ ﹣ ）﹣（ +3 ）2．
（2） ÷（﹣ ）﹣ × + ．
【答案】（1）解：原式=7﹣5﹣（3+ +18）
=2﹣21﹣6
=﹣19﹣6
（2）解：原式=﹣ ﹣ +2
=﹣4﹣ +2
=﹣4+
【解析】【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．
35．有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 和 ，使 且 ，则 可变为 ，即变成 ，从而使得 化简.
例如：
请你仿照上例将下列各式化简：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
，
；
（2）解：
，
.
【解析】【分析】（1）4+可变形为()2+12+2××1=(+1)2，然后利用二次根式的性质进行化简；
（2）同理可得7-=()2+()2-2××=(-)2，然后利用二次根式的性质进行化简.
36．
（1）已知两个连续正整数a、b， ，求ab的值．
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的值．
（3）已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求m+n的值．
【答案】（1）解：∵a、b是两个连续的正整数，且 ，
又∵ ，即 ，
∴a=5，b=6，
∴ ；
（2）解：∵a是 的整数部分，b是 的小数部分，
∴a=2，b= ，
∴ ；
（3）解：∵ ，m是 的小数部分，n是 的小数部分，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）估算无理数的大小即可求得a、b的值即可得出答案；
（2）估算无理数的大小，即可求出a与b的代数式，代入即可求得答案；
（3）估算无理数的大小，根据不等式的性质即可求出的小数部分和的小数部分m、n的值，再代入m+n即可求得答案。
37．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示．
（1）求图（1）矩形纸片相邻的两边长；
（2）求图（2）正方形与正方形的面积．
【答案】（1），
（2），
38．已知 ， .
（1）求 ；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求 的值.
【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解： ，
， ，
.
【解析】【分析】（1）利用配方法将待求式变形为(x-y)2+3xy，然后将已知条件代入进行计算；
（2）根据估算无理数大小的方法可得a、b的值，然后代入待求式中进行计算.
39．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，我们可以按如下两种方法进行化简：
方法一：．
方法二：．
（1）请分别参照以上两种方法化简：；
（2）计算．
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
40．计算：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】（1）解：∵
∴原式= ；
（2）解：∵ ，
∴原式= .
【解析】【分析】（1）将x的值代入代数式，先算乘方和乘法运算，再合并同类二次根式.
（2）将a，b的值代入代数式，先利用完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式.
41．计算和求证
（1）计算：
（2）在 中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且 ，求证： ．
【答案】（1）解：原式= =
（2）证明：在 ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，∵EF＝AD，∴BC＝EF，∴BE＝CF，
∴△BAE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CDF.
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法则计算求解即可；
（2）先求出 ∠ABE＝∠DCF， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。
42．已知：x= ，y= ．求值：
（1）x2y+xy2；
（2）x2﹣3xy+y2．
【答案】（1）解：x= = = ﹣3，
y= = = +3，
x2y+xy2
=xy（x+y）
=（ ﹣3）（ +3）（ ﹣3+ +3）
=2
（2）解：x2﹣3xy+y2
=（x﹣y）2﹣xy
=（ ﹣3﹣ ﹣3）2﹣（ ﹣3）（ +3）
=36﹣1
=35．
【解析】【分析】（1）首先化简x，y的值，进而将原式提取公因式xy，分解因式，再将x，y的值代入求出答案；（2）首先化简x，y的值，进而将原式变形，再将x，y的值代入求出答案．
43．已知 + =b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得：a=17
（2）解：b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15
【解析】【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
44．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
．
（2）解：
．
【解析】【分析】由题意先将a、b的值分母有理化得：a=3-2，b=3+2，则a+b=6，ab=1；
（1）将所求代数式变形得原式=（a+b）2-2ab，然后整体代换即可求解；
（2）将所求代数式变形得原式=，然后整体代换即可求解.
45．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足 ．
（1）点A的坐标为 ；点C的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
【答案】（1）（0，6）；（8，0）
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴ ，
，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
46．阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：
．
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1） ；
；
；
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）将各式中分子、分母同乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可；
（3）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可.
47．已知： ， .
求：
（1）a﹣c的值；
（2） 的值.
【答案】（1）解：∵a﹣b＝2＋ ，b﹣c＝2﹣ .
∴a﹣b＋b﹣c＝
∴a﹣c＝4
（2）解：原式＝
＝
【解析】【分析】 （1）根据a-c=（a-b）+（b-c）即可求解；
（2） 将已知式化为 ，然后代入计算即可.
48．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a），点B（b，0），且实数a，b满足+（b﹣8）2＝0．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P从点B出发，沿x轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，△APO的面积为S，求用含t的式子表示S，并直接写出的t取值范围；
（3）在（2）的条件下，点Q在AO上，射线BQ与AP交于点M，过点A作AN⊥BQ交直线BQ于点N，交x轴于点R，当△ANM的面积等于△ONM的面积时，求点R的坐标．
【答案】（1）解：∵+（b﹣8）2＝0，
又∵≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣8＝0，
∴a＝b＝8，
∴B（8，0），A（0，8）．
（2）解：①当点P在BO上时，如图1，
S＝ OA OP＝ （8﹣2t） 8＝32﹣8t（0≤t＜4）．
②当点P在BO延长线上时，如图2，
S＝ OA OP＝ （2t﹣8） 8＝8t﹣32（t＞4）．
综上所述，S＝．
（3）解：①当点P在BO上时，如图3，
过点O作OK⊥BN于点K，
∵S△ANM＝MN AN，
S△OMN＝MN OK，
∵S△ANM＝S△OMN，
∴MN AN＝MN OK，
∴AN＝OK，
在△ANQ和△OKQ中，
，
∴△ANQ≌△OKQ（AAS），
∴AQ＝OQ，
∵OA＝8，
∴OQ＝4，
∵∠OBQ+∠BRN＝90°，
∠OAR+∠ARO＝90°，
∴∠OBQ＝∠OAR，
在△BOQ和△AOR中，
，
∴△BOQ≌△AOR（AAS），
∴OR＝OQ＝4，
∴R（﹣4，0）．
②当点P在BO延长线上时，如图4，
同理可证△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR，
∴OR＝OQ＝4，
∴R（﹣4，0），
综上：R（﹣4，0）．
【解析】【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性得a﹣b＝0，b﹣8＝0，据此求出a、b值，即得坐标；
（2） 分两种情况：①当点P在BO上时，如图1②当点P在BO延长线上时，如图2， 根据三角形的面积公式分别列出关系时即可；
（3） 分两种情况： ①当点P在BO上时，如图3，过点O作OK⊥BN于点K， △ANQ≌△OKQ（AAS），△BOQ≌△AOR（AAS）， 可得 OR＝OQ＝4， 即得R的坐标；②当点P在BO延长线上时，如图4，同理可证△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR，可得OR＝OQ＝4， 即得R的坐标.
49．如图，已知点 ，且 ， 满足 .过点 分别作 轴、 轴，垂足分别是点A、C.
（1）求出点B的坐标；
（2）点M是边 上的一个动点（不与点A重合）， 的角平分线交射线 于点N，在点M运动过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由.
（3）在四边形 的边上是否存在点 ，使得 将四边形 分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：由 得：
，解得：
∴点 的坐标为
（2）解：不变化
∵ 轴
∴BC∥x轴
∴
∵ 平分
∴
∴
∴
（3）解：点P可能在OC，OA边上，如下图所示，
由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形 的面积为15
若点P在OC边上，可设P点坐标为 ，则
三角形BCP的面积为 ，
剩余部分面积为 ，
所以 ，解得 ，
P点坐标为 ；
若点P在OA边上，可设P点坐标为 ，则
三角形BAP的面积为 ，
剩余部分面积为 ，
所以 ，解得 ，
P点坐标为 .
综上，点 的坐标为 ， .
【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知 由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；
（2）根据平行线和角平分线的性质可证明 ，所以比值不变化；
（3）点P只能在OC，OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.
50．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、（0，b），其中满足a、b满足，将线段AB平移得到线段CD，其中点A与点C对应，点C在y轴负半轴上，点B与点D对应，CD与x轴交于点E．
（1）点A坐标 ；点B坐标 ；三角形AOB的面积为 ；
（2）若．
① 求出点E的坐标：
② 求出点C、D的坐标
（3）在（2）的条件下，点，，将点P向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，连接PC、PD、QA、QB，当三角形ABQ的面积等于三角形CDP面积的2倍时，直接写出此时t的值．
【答案】（1）；；6
（2）解：设点，
∵点平移到点，点平移到点D
∴点
①解：连接BE、BD，
∵，设点B到CD的距离为h
∴
∴
∴
∴，即
②解：过点D作轴于点F，连接FE，
点
∵
∴
∴
∴，，
∴；
（3）或9
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a+b+1=0且3-b=0，
解得a=-4，b=3，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴△AOB的面积=×3×4=6，
故答案为：（-4，0），（0，3），6.
（3）∵ 点，，将点P向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，
∴点Q（t+1，1），
∵ 三角形ABQ的面积等于三角形CDP面积的2倍，
∴×3×4+（3+1）（t+1）-×1×（t+1+4）=2×××3，
解得t=或9.
【分析】（1）由非负性求出 a、b的值，即得点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解.
（2）设点，由平移的规律求出点，①连接BE、BD，由可得
，据此可求出OE的长，继而得出点E坐标；
②过点D作轴于点F，连接FE，由建立方程求出n值即可.
（3）由平移确定点Q（t+1，1），利用三角形ABQ的面积等于三角形CDP面积的2倍列出方程并解之即可.
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