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【50道综合题·专项集训】人教版九年级下册第二十六章 反比例函数
1．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点在反比例函数图象上，过点作轴于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点在第一象限且在反比例函数的图象上，，求点的坐标．
2．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求此反比例函数的关系式；
（2）当时，求电阻R的值．
3．已知点A（3，1）在反比例函数图象上
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）请判断点B（ ）是否在函数的图象上，并说明理由；
（4）画出这个函数的图象．
4．如图所示：已知直线y＝ x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4 .
（1）求k的值
（2）求反比例函数的解析式
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，并求的面积；
（3）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？
6．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
频率 5 10 15 20
波长 60 30 20 15
该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式．
7．知识背景，当a＞0且x＞0时，因为 ，所以 ，从而
（当x= 时取等号）．
设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
应用举例
已知函数为y1=x（x＞0）与函数 （x＞0），则当x= =2时，y1+y2=x+ 有最小值为2 =4．
解决问题
（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时， 有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？
8．如图，已知反比例函数 的图象与直线 相交于点 ， ．
（1）求出直线 的表达式．
（2）直线写出的 时， 的取值范围是 ．
（3）在 轴上有一点 使得 的面积为18，求出点 的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点 ，与反比例函数 在第二象限内的图象相交于点 ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求 的面积；
（3）设直线CD的解析式为 ，根据图象直接写出不等式 的解集．
10．已知反比例函数y=﹣．
（1）写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；
（2）求当x=﹣3时函数的值；
（3）求当y=﹣2时自变量x的值．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线 的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
12．如图，直线 与反比例函数 相交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为点 ，且 .
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）直接写出不等式 的解集.
13．已知图中的曲线是反比例函数 为常数）图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数 的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当 的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的关系式．
14．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是轴于点A，点B在反比例函数的图象上，将向右平移，得到交双曲线于点．
（1）求的值；
（2）求出向右平移到的距离；
（3）连接，求的面积．
15．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m．设AD的长为x m，DC的长为y m．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段AB的端点A、B的坐标分别为、，函数的图象交线段AB于点C，且
（1）求k的值；
（2）将线段AB向上平移个单位长度后，得到线段，若线段的中点D在函数的图象上，求m的值．
17．如图，反比例函数y 与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y 的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
18．如图，一次函数y1=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2= （x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
19．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点.
（1）求反比例函数的表达式与点B的坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值小于反比例函数 （k≠0）的值时，直接写出自变量x的取值范围 .
20．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.
21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于一、三象限内的A．B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m)，点B的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝ ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
22．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求ABC的面积，并直接写出时，x的取值范围.
23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线与y轴交于点C，连接OA、OC，计算△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
24．如图，反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ．
（1）求m的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，问线段AN与线段ME的大小关系如何？请说明理由．
25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A（﹣1，n），B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
26．电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻与温度之间的函数式为.
（1）当时，求与之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？
27．已知：如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，点 .
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象，试比较 ， 的大小.
28．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象与直线y= x交于点D，且反比例函数y= 交BC于点E，AD=3.
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，请写出△CDE的面积（不需要写解答过程）.
29．如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标；
30．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）求一次函数y=ax+b的解析式；
（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜ 的解集．
31．如图，直线y=kx（k为常数，k≠0）与双曲线y= （m为常数，m＞0）的交点为A、B，AC⊥x轴于点C，∠AOC=30°，OA=2
（1）求m、k的值；
（2）点P在y轴上，如果S△ABP=3k，求P点的坐标．
32．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于D，E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
33．如图，点A（1，6），B（3，m）是直线AB与反比例函数 （x＞0）的图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．
34．反比例函数 与一次函数 的图象都过 .
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式.
35．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式的解集.
36．如图，直线y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）m= ，n= ；若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1 y2（填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
37．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点A先往左平移n个单位，再往下平移6个单位后落在反比例函数的图象上，求n的值．
38．如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y= （k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224，求点P的坐标．
39．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= 的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
40． 如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B．
（1）求反比例函数和直线的解析式．
（2）C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点 ，与反比例函数 在第二象限内的图象相交于点 .
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求 的面积；
（3）设直线CD的解析式为 ，根据图象直接写出不等式 的解集.
42．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴交于 与反比例函数的图象交于点 ， 轴于点 ， .
（1）求反比例函数及一次函数的解析式.
（2）当 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值.
43．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于M、N两点.
（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OM、ON，求△MON的面积；
（3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
44．已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
（3）点B(3，4)，C(5，2)，D( ， )是否在这个函数图象上？为什么？
45．已知反比例函数y= （m为常数，且m≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
46．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
47．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y<的概率.
48．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y= （k﹥0）的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
（2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′ 两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
49．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
50．如图，一次函数 的图象与y轴相交于点C，与反比例函数 的图象相交于点 ， ，点D为 中点，连接 ， ，连接 交 于E．
（1）求 的值；
（2）求直线 的关系式；
（3）求直线 关系式；
（4）求 的面积．
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【50道综合题·专项集训】人教版九年级下册第二十六章 反比例函数
1．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点在反比例函数图象上，过点作轴于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点在第一象限且在反比例函数的图象上，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
2．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求此反比例函数的关系式；
（2）当时，求电阻R的值．
【答案】（1）此反比例函数的关系式为
（2）当时，电阻R的值为
3．已知点A（3，1）在反比例函数图象上
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）请判断点B（ ）是否在函数的图象上，并说明理由；
（4）画出这个函数的图象．
【答案】（1）解：设这个反比例函数的解析式为y= （k≠0），
∵点A（3，1）在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴这个反比例函数的解析式为y=
（2）解：把x= 代入y= 中得：y=6
（3）解：∵﹣ ×（﹣ ）= ≠3，
∴点B（ ）不在函数的图象上
（4）解：如图所示．
【解析】【分析】（1）设这个反比例函数的解析式为y= （k≠0），再把（3，1）代入可得函数关系式；（2）把x= 代入y= 中可得答案；（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案；（4）根据函数图象的画法画图即可．
4．如图所示：已知直线y＝ x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4 .
（1）求k的值
（2）求反比例函数的解析式
【答案】（1）解：将x=4代入y＝ x得，y=2，
将（4，2）代入y= 得，2= ，
解得k=8；
（2）解：∵k=8，
∴反比例函数的解析式为：y= .
【解析】【分析】（1）将x=4代入y＝ 求得A点纵坐标，然后将A点坐标代入反比例函数解析式求解即可；（2）由（1）中k的值即可得到反比例函数的解析式.
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，并求的面积；
（3）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？
【答案】（1）反比例函数的表达式为
（2）
（3）直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度
6．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
频率 5 10 15 20
波长 60 30 20 15
该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式．
【答案】电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系，λ关于f的函数表达式为
7．知识背景，当a＞0且x＞0时，因为 ，所以 ，从而
（当x= 时取等号）．
设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
应用举例
已知函数为y1=x（x＞0）与函数 （x＞0），则当x= =2时，y1+y2=x+ 有最小值为2 =4．
解决问题
（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时， 有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？
【答案】（1）解：
当 时， 有最小值
∴x=0或-6(舍)时，有最小值=6
（2）解：设该设各平均每天的租货使用成本为w元
则
当 时，w有最小值，
∴x=700或-700(舍)时，W有最小值，最小值=201.4元
【解析】【分析】（1）先将y1、y2代入，将x+3看着整体，再根据y2与y1的比值有最小值，建立关于x的方程求解，得出符合题意的最小值。
（2）根据题意列出w与x的函数解析式，再求出w的最小值。
8．如图，已知反比例函数 的图象与直线 相交于点 ， ．
（1）求出直线 的表达式．
（2）直线写出的 时， 的取值范围是 ．
（3）在 轴上有一点 使得 的面积为18，求出点 的坐标．
【答案】（1）解：将点 的坐标代入反比例函数表达式并解得： ，
故反比例函数表达式为： ，
将点 的坐标代入上式并解答： ，故点 ，
将点 ， 的坐标代入一次函数表达式得：
，解得： ，
故直线的表达式为： ．
（2）-2＜x＜0或x＞1
（3）解：连接 ， ，
设直线与 轴的交点为 ，
当 时， ，
故点 ，
分别过点 ， 作 轴的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，
则
，
∴ ，
故点 的坐标为（3，0）或（-5，0）．
【解析】【解答】解：（2）当 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∵ ， ，
∴当 时， 取值范围是 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出当 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，再求解即可；
（3）先求出 点 ， 再利用三角形的面积公式求出 ， 最后求点的坐标即可。
9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点 ，与反比例函数 在第二象限内的图象相交于点 ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求 的面积；
（3）设直线CD的解析式为 ，根据图象直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∵点 ， ∴设直线AB的解析式为 ，
∵直线AB过点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为
（2）解：∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
连接AC，则 的面积 ，
由平行线间的距离处处相等可得 与 面积相等，
∴ 的面积为18
（3）解：∵ ， ，
∴不等式 的解集是： 或 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法解出直线AB的解析式。
（2）根据平移后的直线CD，可得到C、E的坐标，利用面积关系，可求得结果。
（3）根据图像可直接写出不等式的解集。
10．已知反比例函数y=﹣．
（1）写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；
（2）求当x=﹣3时函数的值；
（3）求当y=﹣2时自变量x的值．
【答案】（1）解：这个函数的比例系数为：﹣6，
自变量的取值范围是：x≠0；
（2）解：当x=﹣3时，y=﹣=2；
（3）解：当y=﹣2时，
﹣2=﹣，
解得：x=3，
即自变量x的值为3．
【解析】【分析】（1）直接利用比例系数的定义以及分式的性质得出即可；
（2）将x=﹣3代入原式求出即可；
（3）利用y=﹣2代入原式求出即可．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线 的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
【答案】（1）解：∵函数 的图像经过 ，
∴ ，
解得：
（2）解：点P(2，4)在y=kx+b上，∴4=2k+b，∴b=4 2k，∵直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A ，B ，
如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，
∵PA=2AB，
∴AB=PB，则OA=OC，
∴ ，解得k=1；
当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时， ，解得，k=3.
∴k=1或k=3.
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值。
（2）将点P代入一次函数解析式，可得出b=4 2k，再求出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标，分两种情况讨论：点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，由PA=2AB，可证得AB=PB，则OA=OC，可求出k的值；当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，求出k的值。
12．如图，直线 与反比例函数 相交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为点 ，且 .
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）解： ，故点 的纵坐标为 ，
则 ，解得 ，
故点 ，
将点 的坐标代入 得， ，解得 ，
故反比例函数表达式为 ；
（2）解：观察函数图象可知，不等式 的解集为 或 .
【解析】【分析】 （1）根据直线的函数式先求出A点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数式；
（2）观察函数图象， 当 或 直线在双曲线的上方，则可得出不等式 解集．
13．已知图中的曲线是反比例函数 为常数）图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数 的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当 的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的关系式．
【答案】（1）解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限，
这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ，解得 ，
即这个反比例函数图象的另一支在第三象限，常数m的取值范围是 ．
（2）解：如图，由第一象限内的点A在正比例函数 的图象上，
设点A的坐标为 ， ，则 点B的坐标为 ， ，
， ，解得 （负值舍去）， 点A的坐标为 ，
又 点A在反比例函数 的图象上， ，即 ，
反比例函数的关系式为 ．
【解析】【分析】（1）由反比例函数的对称性可得另一支在第三象限即k＞0，由此求得m的取值范围；（2）设点A的坐标为 ， ，根据 的面积为4求得 ，确定点A的坐标，将点A的坐标代入 中求得m-5值.
14．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是轴于点A，点B在反比例函数的图象上，将向右平移，得到交双曲线于点．
（1）求的值；
（2）求出向右平移到的距离；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）解：∵点B坐标是，轴于点A，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∵交双曲线于点，
∴，解得：，
∵，
∴；
（2）解：过点C作轴于点D，如图所示：
由（1）可得：点，
∴，
由平移的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴向右平移4.5个单位长度得到；
（3）解：如（2）图，
∵，
由反比例函数k的几何意义可得，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点C代入即可求出a；
（2） 过点C作轴于点D，由（1）可得：点，，根据平移的性质可证，根据相似三角形的性质可得，则，即向右平移4.5个单位长度得到；
（2）由图可知：，根据反比例函数k的几何意义可得，则，可得。
15．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m．设AD的长为x m，DC的长为y m．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
【答案】（1）解：由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，
故y= ．（5≤x）
（2）解：由y= ，且x、y都是正整数，
可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，
∵2x+y≤26，0＜y≤12，
∴符合条件的围建方案为：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m
【解析】【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长＜12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段AB的端点A、B的坐标分别为、，函数的图象交线段AB于点C，且
（1）求k的值；
（2）将线段AB向上平移个单位长度后，得到线段，若线段的中点D在函数的图象上，求m的值．
【答案】（1）解：，
，将代入中，．
（2）解：由题意，得点的横坐标为，将代入中，得，解得．
【解析】【分析】（1）先根据点A和点B的坐标求出AB，进而根据题意即可得到点C的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）先根据题意得到点D的横坐标，进而将x=2.5代入反比例函数解析式，从而结合题意即可求解。
17．如图，反比例函数y 与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y 的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
【答案】（1）解：设AE交x轴于M．
由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴ ，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOM S△ABE 6 ，
∵S△AOM |k|，k＜0，
∴ |k| ，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y ；
（2）解：由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得， ，
解得 ，
经检验：它们都是原方程组的解，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝S矩形ANGE -S△AEB-S△CAN-S△BGC＝6×4 2×6 2×2 4×4＝8．
【解析】【分析】（1）先证明 △AMO∽△AEB， 再求出 |k| ， 最后计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 点A（﹣1，3），点C（3，﹣1）， 最后根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算求解即可。
18．如图，一次函数y1=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2= （x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
【答案】（1）解：∵ ， 而OE=CF=6， ∴OA=2， ∴A点坐标为（﹣2，0）
（2）解：B点坐标为（0，﹣2），
把A（﹣2，0）、B（0，﹣2）代入y1=mx+n得 ，解得： ，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣2；
把x=﹣6代入y1=﹣x﹣2得y=6﹣2=4， ∴C点坐标为（﹣6，4）， ∴k=﹣6×4=﹣24，
∴反比例函数解析式为y2=﹣
【解析】【分析】（1）由题意易得四边形OECF是矩形，由矩形的性质和已知条件易求得OA=2，则点A的坐标可求解；
（2）用待定系数法可求解析式。
19．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点.
（1）求反比例函数的表达式与点B的坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值小于反比例函数 （k≠0）的值时，直接写出自变量x的取值范围 .
【答案】（1）解：∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A（1，n），
∴n＝－1＋5＝4
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数 （k≠0）过点A（1，4），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为
联立 ，解得 ， ，
即点B的坐标为（4，1）
（2） 或
【解析】【解答】解：（2）如图：
由图象可知：当 或 时一次函数y＝ x＋5的值小于反比例函数 的值.
【分析】（1）由点A在一次函数图象上，可求出点A的坐标，结合点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数k的值，从而得出反比例函数解析式；联立一次函数解析式和反比例函数解析式，解方程组即得点B坐标；
（2）由图象可知当 或 时一次函数的图象在反比例函数图象的下方，据此即得结论.
20．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数y1=图象过点A(1，4)，
∴k=4， 即y1= ，
又∵点B(m， 2)在y1=上，∴m= 2，
∴B( 2， 2)，
又∵一次函数y2=ax+b过A.B两点，
则，解得 ，
∴y2=2x+2，
综上可得y1=，y2=2x+2；
（2）解：x< 2或0【解析】【解答】解：（2）∵B（-2，-2），A（1，4），
∴根据图象可知：当x< 2或0y2.
【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数关系式，再将点B(m， 2)代入反比例函数的解析式， 则可求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）根据A、B点坐标，在图象上找出反比例函数图象在一次函数图象上方时x的范围，即可解答.
21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于一、三象限内的A．B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m)，点B的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝ ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
【答案】（1）解：过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），
∴BD=2，
在Rt△OBD在，tan∠BOC= ，即
，解得OD=5，
又∵B点在第三象限，
∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y= 中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y= ，
将A（2，m）代入y= 中，得m=5，∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得 ，解得 ，
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）解：由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
【解析】【分析】（1）先求出 BD=2， 再求出 反比例函数解析式为y= ， 最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 CE=OC=3， 再求解即可。
22．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求ABC的面积，并直接写出时，x的取值范围.
【答案】（1）解：把代入，得
，
解得：k2=-2
∴，
把代入，得
n=-2
∴
分别把，代入，得
，
解得：，
∴
一次函数和反比例函数的图象如图所示：
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y1 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1
y2 1 2 -2 -1
（2）解：由题意作图如上，过点C作CDx轴，交直线于点D.那么点C与点A关于原点对称.所以点C（-2，1），
设点D（d，1），代入，得d-3=1
解得∶d=4
∴D（4，1）
∴CD=4-（-2）=6
∴=-
=
=3
∴ABC的面积为3
由图象知，时，x<1或x>2.
【解析】【分析】（1）将A（2，-1）代入y2=中求出k2，进而可得反比例函数的解析式，将B（1，n）代入可得n的值，进而可得点B的坐标；将A、B的坐标代入y1=k1x+b中求出k1、b，得到一次函数的解析式，然后利用列表、描点、连线即可画出函数的图象；
（2）过点C作CD∥x轴，交直线y1=x-3于点D，则点C与点A关于原点对称，C（-2，1），设D（d，1），代入y1=x-3中求出d，得到点D的坐标，求出CD，然后根据S△ABC=S△BCD-S△ACD求出S△ABC，根据图像，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线与y轴交于点C，连接OA、OC，计算△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】（1）解：把A（2，3）代入y= 得m=6，则反比例函数的解析式是y= ；
把（﹣3，n）代入y= 得n=﹣2，则B的坐标是（﹣3，﹣2）．
根据题意得： ，
解得： ，
则直线的解析式是y=x+1
（2）解：在y=x+1中，令x=0，解得y=1，
则C的坐标是（0，1）．
则S△AOB=S△OBC+S△AOC= ×1×（2+3）=
（3）解：x的范围是x＜﹣3或0小于0＜x＜1
【解析】【分析】（1）首先把A的坐标代入反比例函数解析式，求得反比例函数解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后根据S△AOB=S△OBC+S△AOC，利用三角形面积公式求解；（3）根据函数图象确定反比例函数的值大于一次函数的值时x的范围，就是求反比例函数图象在上边时对应的自变量x的范围．
24．如图，反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ．
（1）求m的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，问线段AN与线段ME的大小关系如何？请说明理由．
【答案】（1）解：∵B（2，0），
∴OB=2，
∵tan∠AOB= = ，
∴AB=3，
∴A（2，3），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段OA的端点A，
∴m=2×3=6；
（2）解：∵A（2，3），B（2，0），
∴线段AB的中点纵坐标为 ，
∵将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，
∴线段CD的中点E的纵坐标为 ，
由（1）可知反比例函数解析式为y= ，当y= 时，可得 = ，解得x=4，
∴E（4， ），
设直线AE解析式为y=kx+b，
把A、E坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线AE的函数表达式为y=﹣ x+
（3）解：相等．理由如下：
在y=﹣ x+ 中，令x=0可得y= ，令y=0可解得x=6，
∴M（6，0），N（0， ），且A（2，3），E（4， ），
∴AN= = ，ME= = ，
∴AN=ME．
【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中利用条件可求得A点坐标，利用待定系数法可求得m的值；（2）可先求得E点纵坐标，代入反比例函数解析式可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线AE解析式；（3）由直线AE解析式可求得M、N的坐标，利用勾股定理可求得线段AN和ME的长度，比较可求得其大小关系．
25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A（﹣1，n），B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数y 的图象经过点B（2，﹣1），
∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴反比例函数解析式为 ；
∵点A（﹣1，n）在 的图象上，
∴n＝2，则A（﹣1，2），
把点A，B的坐标代入y＝kx+b，得 ，解得
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）解：∵直线y＝﹣x+1交y轴于点C，
∴C（0，1）．
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，﹣1）．
∵B（2，﹣1），
∴BD∥x轴．
∴S△ABD＝ ×2×3＝3．
【解析】【分析】（1）先把B点坐标代入 中求出m得到反比例函数解析式为 ；再利用 确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先利用一次函数解析式确定C（0，1）．利用关于x轴对称的性质得到D（0，﹣1）．则BD∥x轴，然后根据三角形面积公式计算．
26．电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻与温度之间的函数式为.
（1）当时，求与之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？
【答案】（1）解：设与之间的关系式为.
∵过点，
∴.
∴当时，y与x的关系式为：
（2）解：对于，当时，得；
对于，当时，得；
答：温度x取值范围是
【解析】【分析】（1）设y=，将（10，6）代入可求出m的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）分别令一次函数、反比例函数解析式中的y=5，求出x的值，据此解答.
27．已知：如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，点 .
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象，试比较 ， 的大小.
【答案】（1）解：点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
∵点 也在反比例函数 的图象上，
∴ ，
即 ，
把点 ，点 代入一次函数 中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
故反比例函数解析式为 ，一次函数得到解析式为 ；
（2）解：设直线与 轴的交点为 ，
在 中，当 时，得 ，
∴直线 与 轴的交点为 ，
∵线段 将 分成 和 ，
∴ ；
（3）解：当 或 时， ；当 或 时， ；当 或 时， .
【解析】【分析】（1）把点 坐标代入反比例函数求出 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点 的坐标代入反比例函数解析式求出 的值，得到点 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）先求出直线与 轴的交点坐标，从而 轴把 分成两个三角形，结合点 、 的纵坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可；（3）根据函数的图象求得即可.
28．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象与直线y= x交于点D，且反比例函数y= 交BC于点E，AD=3.
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，请写出△CDE的面积（不需要写解答过程）.
【答案】（1）解：根据题意得：
点D的纵坐标为3，
把y=3代入y= x得：
x=3，
解得：x=4，
即点D的坐标为：（4，3），
把点D（4，3）代入y= 得：
3= ，
解得：k=12，
即反比例函数的关系式为：y= ，
（2）解：设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m=24，
解得：m=8，
即点B，点C的横坐标为：4+8=12，
把x=12代入y= 得：
y=1，
即点E的坐标为：（3，1），
线段CE的长度为2，
S△CDE= CE×CD
=
=8.
【解析】【分析】（1）根据两函数图象交于点D，由AD的长，可得到点D的纵坐标，将y=3代入直线OD的函数解析式求出x的值，就可得到点D的坐标；再将点D的坐标代入反比例函数解析式，就可求出k的值，从而可得到反比例函数解析式。
（2）设CD的长度为m，利用矩形的面积公式可求出m的值，再由点D的坐标，可得到点B，C的横坐标，将y=12代入反比例函数解析式求出x的值，就可得到点E的坐标，从而可求出CE的长，然后利用三角形的面积公式求出△CDE的面积。
29．如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标；
【答案】（1）解：∵，两点在一次函数的图像上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵点在图象上，
则，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，
设直线的解析式为，把和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，求出k的值即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线DA的解析式，再求出点P的坐标即可。
30．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）求一次函数y=ax+b的解析式；
（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜ 的解集．
【答案】（1）解：把A（﹣3，2）代入反比例解析式得：k=﹣6，则反比例解析式为
（2）解：把B（2，n）代入反比例解析式得：n=﹣3，即B（2，﹣3），把A（﹣3，2）与B（2，﹣3）代入y=ax+b中得： ，解得：a=﹣1，b=﹣1，则一次函数解析式为y=﹣x+1
（3）解：∵A（﹣3，2），B（2，﹣3），∴结合图象得：不等式ax+b＜ 的解集为﹣3＜x＜0或x＞2
【解析】【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数 y =，即可算出k的值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）将B（2，n）代入（1）求出的反比例函数的解析式，求出n的值，从而得出B点的坐标，将A，B两点的坐标分别代入一次函数y=ax+b，得出关于k，b的二元一次方程组，求解得出k，b的值，从而得出一次函数的解析式；
（3）利用图像求不等式ax+b＜ 的解集，就是求反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方部分相应的自变量的取值，根据图像即可直接得出答案。
31．如图，直线y=kx（k为常数，k≠0）与双曲线y= （m为常数，m＞0）的交点为A、B，AC⊥x轴于点C，∠AOC=30°，OA=2
（1）求m、k的值；
（2）点P在y轴上，如果S△ABP=3k，求P点的坐标．
【答案】（1）解：在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，OA=2，
∴AC=1，OC= ，
∴A（ ，1），
∵反比例函数y= 经过点A（ ，1），
∴m= ，
∵y=kx经过点A（ ，1），
∴k=
（2）解：设P（0，n），
∵A（ ，1），B（﹣ ，﹣1），
∴ |n| + |n| =3× ，
∴n=±1，
∴P（0，1）或（0，﹣1）
【解析】【分析】（1）求出点A坐标利用待定系数法即可解决问题；（2）设P（0，n），由A（ ，1），B（﹣ ，﹣1），可得 |n| + |n| =3× ，解方程即可；
32．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于D，E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD= ，又∵OA=3，
∴D（ ，3），
∵点D在双曲线y= 上，
∴k= ×3=4；∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，
∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y= 中，得y=1，∴E（4，1）
（2）解：假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．∵∠APE=90°，∴∠APO+∠EPC=90°，又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴ ，∴ ，解得：m=1或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出AD的值，和D点的坐标，由点D在双曲线上，求出k的值，得到E点的坐标；（2）由∠APE=90°，得到∠EPC=∠OAP，由两角对应相等两三角形相似，得到△AOP∽△PCE，得到比例，求出点P的坐标.
33．如图，点A（1，6），B（3，m）是直线AB与反比例函数 （x＞0）的图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．
【答案】（1）解：由点A（1，6），B（3，m）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴n＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0），
将点B（3，m）代入y＝ （x＞0）得m＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
∴ ，解得
，
∴直线AB的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）解：由点A（1，6），B（3，2）
AC＝6，点B到AC的距离为3﹣1＝2，
∴S1＝ ×6×2＝6，
设AB与y轴的交点为E，可得E（0， ），如图：
由直线y＝﹣2x+8可知，E（0，8），
∵D（0，1），
∴DE＝8﹣1＝7，
∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝ ×7×3﹣ ×1＝7，
∴S2﹣S1＝7﹣6＝1．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 S1＝ ×6×2＝6， 再求出DE=7，最后计算求解即可。
34．反比例函数 与一次函数 的图象都过 .
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式.
【答案】（1）解：将点 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ；
（2）解：将点 代入 得： ，
∴反比例函数解析式为 .
【解析】【分析】（1）把点A（m，2）代入一次函数y=2x-4求出m的值即可得出A点的坐标；（2）再把点A的坐标代入反比例函数 求出k的值，即可解析式．
35．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：，在的图象上，
，
反比例函数的解析式是.
；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）由图象可得，当或时，.
【分析】（1）将A（1，6）代入y=中可求出k2的值，据此可得反比例函数的解析式，然后将B（3，n）代入求解可得n的值；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
36．如图，直线y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）m= ，n= ；若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1 y2（填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
【答案】（1）4；1；＞
（2）解：设过C、D点的直线解析式为y=kx+b，
∵直线CD过点A（1，4）、B（4，1）两点，
∴ ，解得： ，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+5．
设点P的坐标为（t，﹣t+5），
∴|t|=|﹣t+5|，
解得：t= ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y= （x＞0）的图象过点A（1，4），
∴m=1×4=4．
∵点B（4，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴m=4n=4，解得：n=1．
∵在反比例函数y= （x＞0）中，m=4＞0，
∴反比例函数y= 的图象单调递减，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：4；1；＞．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出m的值，再由点B也在反比例函数图象上即可得出n的值，由反比例函数系数m的值结合反比例函数的性质即可得出反比例函数的增减性，由此即可得出结论；（2）设过C、D点的直线解析式为y=kx+b，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，设出点P的坐标为（t，﹣t+5），由点P到x轴、y轴的距离相等即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出t的值，从而得出点P的坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的性质以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）求出m的值；（2）找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式是关键．
37．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点A先往左平移n个单位，再往下平移6个单位后落在反比例函数的图象上，求n的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴，
∵反比例函数的图象过，
∴．
∴；
（2）解：∵先往左平移n个单位，再往下平移6个单位后的点的坐标为，平移后的点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）将A（m，3）代入y2=x+2中求出m的值，得到点A的坐标，然后代入y1=中求出k的值，据此可得反比例函数的表达式；
（2）根据点的平移规律可得平移后点的坐标为（1-n，-3），代入反比例函数解析式中计算就可求出n的值.
38．如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y= （k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A在正比例函数y=2x上，∴把x=4代入正比例函数y=2x，解得y=8，∴点A（4，8），
把点A（4，8）代入反比例函数y= ，得k=32
（2）解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣8），
由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，x＜﹣8或0＜x＜8
（3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ×= ×224=56，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），得P（m， ），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=16，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=56．
∴ （8+ ） （4﹣m）=56．∴m1=﹣7+3 ，m2=﹣7﹣3 （舍去），
∴P（﹣7+3 ，16+ ）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=56．
∴ ×（8+ ） （m﹣4）=56，解得m1=7+3 ，m2=7﹣3 （舍去），
∴P（7+3 ，﹣16+ ）．
∴点P的坐标是P（﹣7+3 ，16+ ）；或P（7+3 ，﹣16+ ）．
【解析】【分析】（1）将A点的横坐标4代入正比例函数y=2x，求出对应的函数值，从而得出A点的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数y=即可求出k的值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）根据反比例函数的对称性，由A点的坐标得出B点的坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，就是求不等式2x＜的解集，只要弄清楚谁大谁小，谁大就看谁的函数图象在上方时，相应的自变量的取值范围即可，但要注意，反比例函数图形不与坐标轴相交这一限制条件；
（3）根据反比例函数的对称性得出OP=OQ，OA=OB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形APBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得出S△POA=S平行四边形APBQ×=56，根据反比例函数图象上的点的坐标特点设出P点的坐标，过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，根据反比例函数的比例系数的几何意义得出S△POE=S△AOF=16，若0＜m＜4，如图，S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，故S梯形PEFA=S△POA=56．从而建立方程，求解得出m的值，并检验得出P点的坐标；
若m＞4，如图，由S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，得S梯形PEFA=S△POA=56．从而建立方程，求解并检验即可得出m的值，进而得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。
39．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= 的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
【答案】（1）解：令一次函数y=﹣ x中y=3，则3=﹣ x，
解得：x=﹣6，即点A的坐标为（﹣6，3）．
∵点A（﹣6，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=﹣6×3=﹣18，
∴反比例函数的表达式为y=﹣
（2）解：∵A、B两点关于原点对称，
∴点B的坐标为（6，﹣3），
∴AB= =6 ．
设平移后的直线的函数表达式为y=﹣ x+b（b＞0），即x+2y﹣2b=0，
直线y=﹣ x可变形为x+2y=0，
∴两直线间的距离d= = b．
∴S△ABC= AB d= ×6 × b=48，
解得：b=8．
∴平移后的直线的函数表达式为y=﹣ x+8．
【解析】【分析】（1）将y=3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）根据A、B点关于原点对称，可求出点B的坐标以及线段AB的长度，设出平移后的直线的函数表达式，根据平行线间的距离公式结合三角形的面积即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于b的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线间的距离公式要比通过解直角三角形简洁不少．
40． 如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B．
（1）求反比例函数和直线的解析式．
（2）C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为．
点在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为．
设一次函数的解析式为．
点的一次函数的图象上，
．
将点代入，得，解得，
一次函数的解析式为
（2）解：四边形为平行四边形，
．
设点C的坐标为，
点D的坐标为，
，
解得，（舍去），
点C的坐标为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比函数及一次函数的解析式即可；
（2）设点C的坐标为，利用反比例函数解析式可得，求出a的值，即可得到点C的坐标即可.
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点 ，与反比例函数 在第二象限内的图象相交于点 .
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求 的面积；
（3）设直线CD的解析式为 ，根据图象直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴设直线AB的解析式为 ，
∵直线AB过点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为 ；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
连接AC，则 的面积 ，
由平行线间的距离处处相等可得 与 面积相等，
∴ 的面积为18.
（3）∵ ， ，
∴不等式 的解集是： 或 .
【解析】【分析】（1）将A（-1，a）代入中可得a的值，进而可得点A的坐标，然后利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=-x-2，由点D的坐标可得BD，联立y=-x-2与反比例函数的解析式可得x、y，进而可得C、E的坐标，连接AC，利用三角形的面积公式可得△CBD的面积，进而根据同底等高的三角形的面积相等可得△ACD的面积；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
42．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴交于 与反比例函数的图象交于点 ， 轴于点 ， .
（1）求反比例函数及一次函数的解析式.
（2）当 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值.
【答案】（1）解： ，
，
轴于点 ，
∴ ，
，
， ， ，
设反比例函数解析式为： ，将点 代入可得：k=-6，
即反比例函数解析式为： ，
设一次函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，将 ， 代入可得： ，
解得： ，
即一次函数解析式为：y=
（2）解：联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得： ，
解得： 或 ，
∴D(6，-1)，
由图像得：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是：x＜-2或0＜x＜6.
【解析】【分析】（1）根据 可求出点A、B、C的坐标，然后用待定系数法求出反比例函数及一次函数的解析式即可；（2）联立反比例函数解析式和一次函数解析式求出点D坐标，然后根据函数图象和交点坐标即可求得.
43．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于M、N两点.
（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OM、ON，求△MON的面积；
（3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于M（3，2）、N（﹣1，a）两点
∴m＝6，a＝﹣6，
∴反比例函数y＝ ，N（﹣1，﹣6），
把M（3，2），N（﹣1，﹣6）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式的解析式为y＝2x﹣4.
（2）解：设直线MN交x轴于点A，
当y＝0时，2x﹣4＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
∴S△MON＝S△MOA+S△NOA＝ OA （yM﹣yN）＝ ×2×8＝8；
（3）﹣1＜x＜0或x＞3
【解析】【解答】解：（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时一次函数的值大于反比例函数的值.
【分析】（1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）令y=0，求出A点坐标，则知OA的长度，由于△MOA和△NOA有公共边OA，根据S△MON＝S△MOA+S△NOA求解即可；
（3）观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的上面部分时的x的范围即可.
44．已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
（3）点B(3，4)，C(5，2)，D( ， )是否在这个函数图象上？为什么？
【答案】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 ，
因为 在其图象上，所以点 的坐标满足 ，
即， ，解得 ，
所以，这个反比例函数解析式为 ；
（2）解：这个函数的图象位于第一、三象限，
在每一个象限内， 随 的增大而减小；
（3）解：因为点 ， 满足 ，所以点 ， 在函数 的图象上，点 的坐标不满足 ，所以点 不在这个函数图象上.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）根据反比例函数的性质求解；（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.
45．已知反比例函数y= （m为常数，且m≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
【答案】（1）解：∵在反比例函数y= 图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴m﹣5＜0，
解得：m＜5
（2）解：将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2，
∴反比例函数y= 图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．
将（﹣2，3）代入y= 得：
3=
解得：m=﹣1
【解析】【分析】（1）由反比例函数y= 的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；（2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y= 中，即可求出m的值．
46．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【答案】（1）①；②
（2）此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
47．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y<的概率.
【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；
（2）解：其中点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，
则P（点（x，y）落在反比例函数y=的图象上）==；
（3）解：所确定的数x，y满足y<的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共8种，
则P（所确定的数x，y满足y<）== .
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况数，即可求出所求的概率；
（3）找出所确定的数x，y满足y< 的情况数，即可求出所求的概率．
48．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y= （k﹥0）的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
（2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′ 两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
【答案】（1）解：过点A作AE⊥y轴于点E，
则∠AED=90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD．
证得△AED≌△DOC（AAS）．
∴OD=EA
∴点D的纵坐标为3
（2）解：过点BF⊥x轴于点F，同理可得△BFC≌△COD．
∴OD=EA=CF， DE=OC=BF．
∴OE=OF.
设OD′=a，OC′=b，同上可得EA′=FC′=OD′=a，
ED′=FB′=OC′=b， 即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．
∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上，有a（a+b）=8， b（a+b）=8，
解得a=b=2或a=b=-2（舍去）．∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）
（3）解：∵点A′（2，4），点B′（4，2），点C′（2，0），点D′（0，2），根据待定系数法求得直线A′B′解析式为y=﹣x+6，直线C′D′解析式为y=﹣x+2．设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+2，解得：m= ，此时点A的坐标为（ ， ），
∴k= × = ，
当点D在直线A′B′上时，有n=6，此时点A的坐标为（6，12），∴k=6×12=72．综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为 ≤x≤72．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，可得∠AED=90°，由正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，可得∠EDA=∠OCD，根据角角边证得△AED≌△DOC，从而OD=EA，从而得出点D的纵坐标；
（2）过点BF⊥x轴于点F，同理△BFC≌△COD，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论；
（3）由（2）可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征可得出k的取值范围．
49．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
【答案】（1）解：由题意得 ，整理得 ，
∵ ＜0，
∴直线 与函数 没有交点，
∴直线 不是函数 的“联络直线”
（2）解：设“联络直线”的解析式为 ，
，整理可得 ，
∵直线 与函数G的图象有且只有一个交点P
∴ ，
∴ ；
把“联络点” 代入 得 ，
解得 ，进而可得 ，
∴“联络直线”的解析式为 ；
（3）解：由 ，令x = 0，可得 ，
∴点C为 ；
∵点M，N在函数 ，直线 恰好经过M、N两点
∴ ，
∴
∴ ， ；
设P ， ，
则 ， ，
∴ ，
即 ，
∴
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
整理可得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则△=b2-4ac<0，然后利用 “联络直线”的概念进行判断；
（2）设 “联络直线”的解析式为y=kx+b，联立反比例函数解析式并消去y可得关于x的一元二次方程，根据△=0可表示出k，将（3，4）代入y=kx+b中可求出k、b的值，据此可得“联络直线”的解析式；
（3） 易得C（0，-3a），联立二次函数与直线解析式并结合根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，设P（0，m），M（x1，kx1-1），N（x2，kx2-1），表示出直线PM、PN的解析式，联立二次函数与直线PM的解析式并结合△=0可得x1+x2，x1x2，据此解答.
50．如图，一次函数 的图象与y轴相交于点C，与反比例函数 的图象相交于点 ， ，点D为 中点，连接 ， ，连接 交 于E．
（1）求 的值；
（2）求直线 的关系式；
（3）求直线 关系式；
（4）求 的面积．
【答案】（1）解：将点 代入 得
将点 代入 得
将点 代入 得
（2）解：设直线 的解析式为 ，把 代入得
解得
直线 的方程为 ；
（3）解：设直线 方程为
直线过 ，
解得
直线 方程为
（4）解：联立
解得
∴
∴
的面积为 ．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出a、k，然后把点A（m，4）代入解析式即可求出m；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）联立方程，解方程组求出E的坐标，然后根据割补法求解即可。
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