2024-2025学年黑龙江省牡丹江市第三子共同体高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江市第三子共同体高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合中所有元素的和为( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下面关于空间几何体叙述正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 正四棱柱都是长方体
D. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱
4.函数为幂函数，则( )
A. B. C. D.
5.对数函数的图像经过点( )
A. B. C. D.
6.从某校高一新生中随机抽取一个容量为的身高样本，将数据从小到大排序单位：：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，若样本数据的第百分位数是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，，分别为三个内角，，的对边，下列四个命题中错误的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列判断正确的是( )
A. 已知，则的最小值为
B. 天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
C. 函数的定义域为
D. ，是真命题
10.下列判断正确的是( )
A. 方程的根是
B.
C. 已知是函数的零点，则为
D. 不等式的解集为或
11.定义域为的函数在上是减函数，若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知函数则 ______．
13.在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为______．
14.若样本数据，，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为______．
四、解答题：本题共7小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求向量的坐标；
求向量，的夹角．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，底面．
若，求四棱锥的体积；
求证：平面．
17.本小题分
从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率．
18.本小题分
已知数集含有个元素，定义集合．
若，写出；
写出一个集合，使得．
19.本小题分
已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若数列是公比为的等比数列，且，求的前项和．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
已知锐角三个内角，，所对的边分别为，，，且，，若，求的面积．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率，且椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
过点作两条不同的直线与椭圆分别交于点，均异于点若的角平分线与轴平行，试探究直线的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为，，所以．
，．
则．
因为，所以向量，的夹角．
16.解：底面，四棱锥的高为，
正方形的面积为，
四棱锥的体积为．
证明：底面，平面，，
由正方形可得，
，，平面，
平面．
17.解：第六组的频率为，
所以第七组的频率为；
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
身高在第五组的频率为，
身高在第八组的频率为，
则平均数为：；
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况，
所以．
18.解：因为，，
所以，，，，，为集合的元素，
所以；
时，，满足．
19.解：设为公差不为零的等差数列，其前项和为，
由，可得，即，
由，，成等比数列，可得，即，
化为，
解得，，
则；
由数列是公比为的等比数列，且，
可得，
即有，
则的前项和．
20.解：因为
，
所以最小正周期；
由，
即，
在锐角三角形中，，
所以，
可得，
因为，，
所以．
所以的面积为．
21.解：由，得，所以，
又椭圆过点，则，，
由解得，，所以椭圆的标准方程为．
设直线的斜率为，点，；，
因为的平分线与轴平行，所以直线与的斜率互为相反数，则直线的斜率为．
联立直线与椭圆方程，得，
整理，得，
所以，同理可得，
所以，，
又，
所以为定值．
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