人教版六年级下册数学3.1《圆柱的体积（3）》教学设计

六年级《圆柱的体积（3）》教学设计
一、教学目标
学生能够熟练掌握圆柱体积公式的运用，理解不规则物体体积转化为圆柱体积的计算原理。学会解决与圆柱体积相关的实际问题，如瓶子容积、物体浸没导致体积变化等问题。
通过观察、分析瓶子容积计算等实际问题，培养学生将不规则物体体积转化为规则物体体积的转化思想，提升逻辑思维能力。通过对不同图形卷成圆柱后体积大小比较的探究，培养学生的探究精神和归纳总结能力。
让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和自信心。通过介绍阿基米德与 “圆柱容球” 的故事，激发学生对数学历史文化的兴趣，培养学生的科学探索精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
掌握将不规则物体（如瓶子）的容积转化为圆柱体积进行计算的方法，理解转化的依据和过程。运用圆柱体积公式解决各类实际问题，包括物体浸没、容器容积等问题。理解 “圆柱容球” 中圆柱和球的体积、表面积关系，并能运用相关公式进行计算。
（二）教学难点
如何引导学生自主发现并理解不规则物体体积转化为圆柱体积的方法，培养学生的转化思想。在解决复杂实际问题时，能准确分析题目中的数量关系，正确选择和运用圆柱体积公式进行计算。理解 “圆柱容球” 定理的推导过程，以及球的体积和表面积公式与圆柱体积和表面积公式之间的联系。
三、教学准备
教师准备相关练习题资料，用于课堂练习和课后巩固。
学生准备草稿纸、笔、计算器等学习用具。
四、教材分析
本节课是在学生已经掌握圆柱的基本特征、圆柱的表面积计算以及圆柱体积公式推导的基础上进行教学的。教材通过生活中常见的瓶子容积问题，引出将不规则物体体积转化为圆柱体积的计算方法，进一步深化学生对圆柱体积公式的理解和运用。同时，通过 “圆柱容球” 的介绍，拓展学生的数学视野，让学生了解数学历史文化，感受数学的魅力。
五、教学过程
（一）新课导入
教师提出一系列与生活实际相关的问题：
“瓶子里还有多少水？喝了多少水？这个瓶子一共能装多少水？” 引导学生思考这些问题与数学知识的联系，从而引出本节课的主题 —— 圆柱的体积在实际问题中的应用。
教师给出一个内直径是 8cm 的瓶子，水的高度是 7cm，让学生思考如何求瓶子里水的体积，复习圆柱体积公式 V = πr h（r 为底面半径，h 为高），为后续解决复杂问题做铺垫。
（二）探索新知
阅读与理解
教师展示完整题目：
“一个底面内直径是 8cm 的瓶子里，水的高度是 7cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是 18cm。这个瓶子的容积是多少？” 引导学生仔细阅读题目，分析题目中的已知条件和问题。
组织学生小组讨论：这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积，那该怎么办？让学生交流自己的想法，激发学生的思维。
分析与解答
在学生讨论后，教师引导学生观察瓶子倒置前后的情况，讲解瓶子里的水倒置后，水的体积没变，瓶子的容积等于水的体积加上倒置后无水部分（圆柱形）的体积，即瓶子的容积转化成两个圆柱的体积之和。
教师在黑板上进行详细的解题示范：
首先求瓶子的底面半径：r = 8÷2 = 4（cm）
然后分别计算水的体积 V 水和无水部分的体积 V 空气：
V 水 = 3.14×4 ×7
V 空气 = 3.14×4 ×18
最后计算瓶子的容积：
瓶子的容积 = V 水 + V 空气 = 3.14×4 ×7 + 3.14×4 ×18
运用乘法分配律进行简便计算：3.14×4 ×（7 + 18）= 3.14×16×25 = 1256（cm ）
因为 1cm = 1mL，所以 1256cm = 1256mL
教师强调解题过程中的单位换算和计算准确性，规范学生的解题格式。
思考
教师提出问题：“你还能想到别的方法吗？” 鼓励学生积极思考不同的解题思路，培养学生的创新思维。
引导学生发现可以将瓶子的容积看作是一个底面半径为 4cm，高为（7 + 18）cm 的圆柱的体积，即 3.14×（8÷2） ×（7 + 18），同样得到 1256cm = 1256mL，让学生体会不同方法之间的联系和优劣。
回顾与反思
教师引导学生回顾解决瓶子容积问题的过程，总结解题方法和思路，强调转化思想在数学学习中的重要性。
让学生回忆在五年级计算土豆的体积时，也是用了转化的方法，将不规则的土豆体积转化为规则的水上升的体积来计算，进一步加深学生对转化思想的理解。
（三）随堂练习
教师出示题目：“两个底面积相等的圆柱，一个高为 4.5dm，体积为 81dm 。另一个高为 3dm，它的体积是多少？”
引导学生分析题目，根据圆柱体积公式 V = Sh（S 为底面积，h 为高），先求出第一个圆柱的底面积 S = 81÷4.5，再计算第二个圆柱的体积 V = 81÷4.5×3 = 54（dm ）。
请一名学生上台板演解题过程，其他学生在草稿纸上完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
教师出示题目：“一个装水的圆柱形容器的底面内直径是 10cm，一个铁块完全浸没在这个容器的水中，将铁块取出后，水面下降 2cm。这个铁块的体积是多少？”
引导学生理解铁块的体积等于下降部分水的体积，下降部分水的形状是圆柱，其底面半径为 10÷2 = 5（cm），高为 2cm。
学生独立完成计算：3.14×（10÷2） ×2 = 157（cm ），教师请学生说说解题思路，强化学生对这种类型题目的理解。
教师出示题目：“下面 4 个图形的面积都是 36dm 。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）”
引导学生分析每个图形卷成圆柱的情况，分两种情况计算每个圆柱的体积：以长为底面周长和以宽为底面周长。
学生计算后，教师组织学生交流讨论，得出以 18dm 为圆柱的底面周长、2dm 为高的圆柱体体积最大；以 2dm 为圆柱的底面周长、18dm 为高的圆柱体体积最小。
引导学生观察并总结规律：当圆柱的侧面积相同时，底面半径（或周长）大的体积就大。
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学内容，包括：
如何将不规则物体（瓶子）的容积转化为圆柱体积进行计算，理解转化的依据和过程。
运用圆柱体积公式解决实际问题，如物体浸没、容器容积等问题的方法。
圆柱侧面积相同时，底面半径（或周长）与体积的关系。
请学生分享自己在本节课学习中的收获和体会，教师对学生的表现进行评价和鼓励，增强学生学习数学的自信心。
（五）巩固练习
教师出示题目：“往一个底面直径是 8cm，高 10cm 的圆柱形玻璃杯内倒入水，水面高 8cm。把一个小球浸没在杯内，水满后还溢出 12.52mL。求小球的体积。”
引导学生分析小球的体积由两部分组成：一是水面上升部分的体积，二是溢出的水的体积。
学生独立完成计算：12.52mL = 12.52cm ，3.14×(8÷2) ×(10 - 8)+12.52 = 113 (cm )，教师巡视，检查学生的解题情况，对有困难的学生进行个别辅导。
教师出示题目：“如图，一个油瓶，瓶身是圆柱形，容积是 500mL。瓶里装有一些油，正放时，油深 18cm，盖紧瓶盖倒放时，空余部分高 2cm。求瓶中油的体积。”
引导学生理解油瓶的容积等于油的体积加上空余部分的体积，且油的体积和空余部分的体积之比等于它们的高度之比。
学生计算：500mL = 500cm ，500÷(18 + 2)×18 = 450 (cm ) = 450mL，教师请学生讲解解题思路，加深学生对这类问题的理解。
教师出示题目：“一瓶装满果汁的饮料瓶的内直径是 8cm，状状全家喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，空的部分高 15cm。状状全家喝了多少果汁？”
引导学生明白喝掉的果汁的体积等于倒置后空的部分的体积，空的部分是一个圆柱。
学生计算：3.14×（8÷2） ×15 = 753.6（cm ） = 753.6（mL），教师对学生的计算结果进行点评，强调计算的准确性。
教师出示题目：“如图，一个醋瓶里面深 30cm，底面内直径 10cm，瓶子里醋的高度是 15cm。把瓶口塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时醋深 25cm。醋瓶的容积是多少毫升？”
引导学生分析醋瓶的容积可以转化为一个底面直径 10cm，高为（30 - 25 + 15）cm 的圆柱的体积。
学生计算：3.14×（10÷2） ×（30 - 25 + 15） = 1570（cm ） = 1570（mL），教师总结这类问题的解题关键，强化学生对不规则物体容积转化计算的掌握。
拓展延伸
教师介绍古希腊数学家阿基米德和 “圆柱容球” 的故事：按照阿基米德的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个 “圆柱容球” 的几何图形，因为他在众多科学发现中，对 “圆柱容球” 定理最为满意。
教师讲解 “圆柱容球” 的概念：把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触。此时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。
教师推导 “圆柱容球” 时圆柱和球的体积关系：假设圆柱的底面半径为 r，那么圆柱的体积 V 圆柱 = πr ×2r = 2πr 。阿基米德发现并证明了当圆柱容球时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二。
教师引导学生思考球的表面积与圆柱表面积的关系：当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二。让学生尝试根据圆柱表面积公式 S 圆柱 = 2πr + 2πrh（此时 h = 2r），推导出球的表面积公式 S 球 = 4πr 。
教师布置课后作业：让学生查阅资料，了解更多阿基米德的数学成就，以及 “圆柱容球” 在实际生活中的应用，下节课进行分享交流。