2024-2025学年河南省开封市五县高二（下）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省开封市五县高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴的截距为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长半轴长等于焦距的倍，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知直线：与：交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在正项等比数列中，，，则( )
A. 的公比为 B. 的通项公式为
C. D. 数列为递增数列
10.若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是( )
A. 曲线可能是圆
B. 若曲线为椭圆，则且
C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线为双曲线，则
11.已知圆：，若圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是( )
A. 圆的标准方程为
B. 过点可作圆的切线有两条
C. 若，分别为圆，圆上的点，则，两点间的最大距离为
D. 若，为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，设直线：，：，若，则 ______．
13.已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______．
14.将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列是等比数列；
设数列满足，求的前项和．
16.本小题分
已知圆关于轴对称且经过点和．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆交于，两点；若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，．
求证：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列且，，，．
求，的通项公式；
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆：的焦距为，离心率为，左、右顶点分别为，．
求椭圆的标准方程；
已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值；
已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点与，不重合，直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
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15.证明：由，取，可得，
当时，，
两式作差得：，即，
，，
又，
数列是公比为的等比数列；
解：由数列是公比为的等比数列，
得，即，
，
则
．
16.解：由圆关于轴对称知圆心在轴上，设圆心；
因为圆经过点和，
所以，
解得，所以，圆的半径为，
故圆的标准方程为．
若，则圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程，
圆心到直线的距离，不满足题意；
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则，解得，，
此时直线的方程为或．
综上所述：直线的方程或．
17.解：因为，，，
所以四边形为直角梯形，
取中点，连接，
不难发现，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，平面，
所以平面；
由可知，，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，，故，
由可知平面，
所以是平面的一个法向量，记作，
记平面与平面的夹角为，
则．
18.解：是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，
由，，，，可得，，
解得负的舍去，
则，；
数列的前项和，
，
两式相减可得，
化为；
，
则数列的前项和
．
19.解：由题意，，
因此，，，
所以椭圆的标准方程为；
设，则有，
，，
当时，最小值为，
所以最小值为；
连接，设直线斜率为，，，
，
因为，所以，
设直线为，
联立，可得，
即，
所以，，
因为，
所以，
即，
即，
化简得，
解得或舍去，
所以直线的方程为，
所以存在定点，定点为．
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