2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.正方体的棱长为，则( )
A. B. C. D.
3.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D.
4.在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.设数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线交圆：于，两点，则“为正三角形”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为时，( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足：，正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是( )
A. B. C. D.
10.已知数列，满足，且，则( )
A. B. 当时，是等比数列
C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列
11.已知三棱锥，，是边长为的正三角形，为中点，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成的角的余弦值为
C. 与平面所成的角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知双曲线的离心率为，则 ______．
13.已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ______．
14.已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，记，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列为递增数列，其前项和为，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及前项和．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且关于的方程有两个相等的实数根．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值．
17.本小题分
已知三棱柱，侧棱底面，底面是等边三角形，是的中点，．
证明：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
求的方程；
过点作直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程．
19.本小题分
给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”设数列的前项和为．
若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
设既是等差数列又是“数列”，且，，，求公差的所有可能值；
设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“数列”．
参考答案
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15.解：Ⅰ等比数列为递增数列，设公比为，其前项和为，，，
可得，，
解得，或，舍去，
则；
Ⅱ若数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
可得，
前项和．
16.解：方程有两个相等的实数根，
则，即，
当时，，
当时，，符合，
．
由知，，
，
，
得，
，
整理得：．
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
故，
由于函数单调递增，
故，当且仅当时取到最小值．
所以实数的最大值为．
17.解：底面为等边三角形，为中点，
，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
又平面，
；
取中点，则、、两两垂直，
则建立以为原点，分别以、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示：
令，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，取，则，，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
，取，则，，
平面的一个法向量，
，
由图形得二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
18.解：因为椭圆的短轴长为，离心率为，
所以，
解得，，
则的方程为；
当直线的斜率不存在时，
可得，不符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以
整理得，
即，
解得或．
故直线的方程为或．
19.解：，时，．
时，，
．
对任意，且，
因此数列为“数列”．
设既是等差数列又是“数列”，且，，，
，，即且，
，
则，
若，则，是“数列”，
若，则，是“数列”，
若，则，是“数列”，
若，则，舍去．
时，不是“数列”．
公差的所有可能值为：，，．
证明：设是等差数列，且对任意，是中的项，
设．
．
设．
则取时，可得：，可得，则存在整数使得，
对任意，且，
，
因此是“数列”．
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