专题16.3 二次根式的加减【十大题型】
【人教版】
【题型1 同类二次根式】 1
【题型2 分母有理化】 2
【题型3 二次根式的加减】 3
【题型4 比较二次根式的大小】 3
【题型5 二次根式的混合运算】 4
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 4
【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 5
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 5
【题型9 二次根式中的新定义类问题】 7
【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 8
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【题型1 同类二次根式】
【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
知识点2：分母有理化
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型2 分母有理化】
【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知，，则与的关系是（ ）
A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数
【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算： ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______，______；
(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
知识点3：二次根式的加减
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
【题型3 二次根式的加减】
【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算
(1)
(2)
【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算结果为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试） ．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算：．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小， （填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【变式4-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
【变式4-2】（23-24九年级·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算 ．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】
【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设，，求值.
【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若，，求：
(1)；
(2)求．
【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知．
(1)求和的值；
(2)求的值；
(3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】
【例7】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知：y＝＋5，化简并求的值．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）已知，求的值．
【变式7-2】（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）已知实数满足求代数式的值．
【变式7-3】（23-24九年级·山东威海·期中）已知，，求的值．
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形绿地的周长；
(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？
【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【变式8-2】（23-24九年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______；
(2)求图①中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【变式8-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【题型9 二次根式中的新定义类问题】
【例9】（23-24九年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______， ______；
(2)若，求x的值．
【变式9-1】（23-24九年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则 ；
(2)若与是关于的因子二次根式，求m的值．
【变式9-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：
(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏盐城·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：，所以与互为“对偶式”．
(1)的“对偶式”是________，的“对偶式”是________．
(2)已知，其中．
①的“对偶式”的值是________．
②利用“对偶式”的相关知识，求方程中x的值．
【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】
【例10】（23-24九年级·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），
则有．
∴①，②，
得，
∴，
因式分解得，，
∵a、b、m、n均为整数，
∴和均为的因数，
由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简．
(1)请你根据小聪的方法探索化简：
当设（m、n均为正整数，），则①______， ______，
∴②______，______，
∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），
∴④______；
在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了．
(2)请你根据小聪的方法化简______．
接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了．
(3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【变式10-2】（23-24九年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解∵∴又∵，∴，即时取等号．
∴的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
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【人教版】
【题型1 同类二次根式】 1
【题型2 分母有理化】 3
【题型3 二次根式的加减】 5
【题型4 比较二次根式的大小】 7
【题型5 二次根式的混合运算】 10
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 13
【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 15
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 18
【题型9 二次根式中的新定义类问题】 21
【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 25
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【题型1 同类二次根式】
【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可．
【详解】解：，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴．
故答案为：3．
【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并．
将各选项化为最简二次根式即可解答．
【详解】解：，
A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
【答案】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．
知识点2：分母有理化
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型2 分母有理化】
【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知，，则与的关系是（ ）
A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴与互为相反数，
故选：．
【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算： ．
【答案】
【分析】
本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴的一个有理化因式是，
故选：C．
【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______，______；
(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；
（1）根据题中给的例子即可得出答案；
（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；
（3）根据（2）中规律计算化简即可；
【详解】（1），
，
故答案为：，；
（2），
验证： ，
故答案为：；
（3）
．
知识点3：二次根式的加减
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
【题型3 二次根式的加减】
【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1），根据，，，再计算有理数的加减法即可；
对于（2），先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键．
先将二次根式化简，然后计算加减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试） ．
【答案】
【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质的化简及其应用．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算：．
【答案】
【分析】分母不变，分子作减法后，根据 ，将分子分解为 ，通过约分即可得.
【详解】原式
【点睛】本题考查分式的化简，利用使此题化简更为简便.
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小， （填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式4-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第个等式；
（2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案；
（3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：通过观察可知，，
故答案为：；
（2）解：原式
，
；
（3）解：，，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
【变式4-2】（23-24九年级·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案.
【详解】∵()-()=3-2=3-=->0，
∴，
∵()-()=-=-=>0，
∴，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．
【详解】（1）解：
；
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)、
(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
(3)乘法分配律
(4)见解析
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号的依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
、是最简二次根式，
故答案为：、
（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（4）解：
．
【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
故选：．
【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】
【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
；
；
原式．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设，，求值.
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把，化简，再把变形为代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若，，求：
(1)；
(2)求．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知．
(1)求和的值；
(2)求的值；
(3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入即可求出和的值；
（2）将原式变形为，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】
【例7】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知：y＝＋5，化简并求的值．
【答案】
，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】把已知等式两边平方求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：把两边平方得：＋2＝9，即＝7，
则原式＝，
故答案为.
【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-2】（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）已知实数满足求代数式的值．
【答案】
【分析】首先化简已知条件的等式，得出，代入所求代数式中即可得解.
【详解】解：由已知条件，等式可化为
，即为
解得 ，（舍去）
将其代入，即得
原式=，
故答案为.
【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.
【变式7-3】（23-24九年级·山东威海·期中）已知，，求的值．
【答案】
【分析】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．
【详解】解：，，
∴a和b均为负数，
【点睛】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形绿地的周长；
(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？
【答案】(1)米
(2)3080元
【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【详解】（1）解：(米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：(平方米)，
则(元)，
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元．
【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【答案】(1)秒
(2)秒
【分析】（1）根据题意可先求得，根据代入计算即可求解；
（2）先根据高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴，
∴，
∴该物品落地的时间为；
（2）该玩具最低的下落高度为，
∴．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【变式8-2】（23-24九年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______；
(2)求图①中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能截出，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【变式8-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆形团扇所用的包边长度更短
【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米；
（2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米，
∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米
∵，，
∴，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
【题型9 二次根式中的新定义类问题】
【例9】（23-24九年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______， ______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）分和，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴ ；
故答案为：，；
（2）当，即：时，则：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴（舍去）；
当，即：时，则：，
∴或（舍去）；
∴．
【变式9-1】（23-24九年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则 ；
(2)若与是关于的因子二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可；
（2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：
（2）由题意，得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：
(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
，
∴
∴，
∴．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏盐城·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：，所以与互为“对偶式”．
(1)的“对偶式”是________，的“对偶式”是________．
(2)已知，其中．
①的“对偶式”的值是________．
②利用“对偶式”的相关知识，求方程中x的值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算．
（1）根据“对偶式”的定义即可解答．
（2）①根据平方差公式求得，根据即可求解；
②由，得到，，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，的“对偶式”是，的“对偶式”是．
故答案为：，
（2）解：①的“对偶式”是，
而，
∵，
∴；
故答案为：8
②∵，，
∴，，
解得．
【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】
【例10】（23-24九年级·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），
则有．
∴①，②，
得，
∴，
因式分解得，，
∵a、b、m、n均为整数，
∴和均为的因数，
由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简．
(1)请你根据小聪的方法探索化简：
当设（m、n均为正整数，），则①______， ______，
∴②______，______，
∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），
∴④______；
在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了．
(2)请你根据小聪的方法化简______．
接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了．
(3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想．
【答案】(1)①8，15；②24，24；③5，3；④
(2)
(3)转换化归
【分析】本题考查二次根式的化简．掌握题干给定的化简方法，构造完全平方公式，是解题的关键．
（1）根据题干的步骤，逐一进行计算即可；
（2）根据题干给定的方法，进行化简即可；
（3）用到了转换化归的数学思想．
【详解】（1）解：当设（m、n均为正整数，），
∴，
则①，，
∴②，即：，
∴③，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），
∴④；
故答案为：①8，15；②24，24；③5，3；④
（2）解：∵，
∴设，（m、n均为正整数，），
∴，
则，，
∴，即：，
∴，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），
∴；
即：；
故答案为：；
（3）他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想；
故答案为：转换化归．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
【变式10-2】（23-24九年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【答案】1；1
【分析】将和代入题干中给出的算术进行计算即可．
【详解】解：第1个数：当时，
．
第2个数：当时，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解∵∴又∵，∴，即时取等号．
∴的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)1；2
(2)
(3)40米
【分析】（1）仿照阅读材料计算，即可求解；
（2）先原式变形为，再仿照阅读材料计算，即可求解；
（3）设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米，可得需要用的篱笆长度为米，再仿照阅读材料计算，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
当，即时，取等号，
∴的最小值为2，
故答案为：1；2
（2）解：，
∵，
∴，
∴当，即时，取等号，
即的最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米，
∴需要用的篱笆长度为米，
∵，
∴当，即时，有最小值，为，
答：需要用的篱笆最少是米．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，理解阅读材料是解题的关键．
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