第1章 直角三角形的边角关系单元提升卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·北京·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状．
【详解】解：由题意得，，，
，，
即是等边三角形．
故选：C．
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
【详解】解：小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为，则较长的直角边是，其中，
由勾股定理得：，
整理得：
解得：，（不合题意，舍去）．
，
．
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若 ，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，余弦函数的计算，设，则，根据勾股定理，再根据余弦计算即可．
【详解】∵的垂直平分线交于点D，，
∴设，
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
4．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点C是线段的中点，，若则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作，交的延长线于点M，根据正切和勾股定理计算即可．
【详解】解：过点D作，交的延长线于点M，
∵点C是线段的中点，
∴，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选D．
5．（3分）（23-24九年级·湖北随州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可．
【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，得，
设，则，
，
在中，
，
故选：B．
6．（3分）（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、， ，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
；
故选：A．
7．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识．连接，过点作于，交于，根据矩形的性质得，从而得出点的运动路径，再利用特殊角的三角函数进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，
四边形是矩形，点是的中点，
点是，的交点，
，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
当时，的值最小，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故选：A．
8．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（ ）
A．12 B．17 C．20 D．21
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得出，，，结合已知条件可得出，由等角对等边可得出， 解直角三角形可得出，设，，利用勾股定理解出x， 再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，， ，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∵
∴，
∴
∴的面积：，
故选∶B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定以及性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用， 掌握这些性质是解题的关键．
9．（3分）（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
延长、交于点G，作于H，于M，则是等腰直角三角形，得，由的坡度得，设米，则米，米，米，在中，由三角函数定义得出，解得，进而得出答案．
【详解】解：如图，延长、交于点G，作于H，于M，
则，米，米，，，∠，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的坡度，
∴,
∴，
设米，则米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
∴米，米，
∴米；
故选：B．
10．（3分）（2024·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，中，，点在上，，若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由锐角三角函数求出，再由锐角三角函数求出，利用勾股定理即可求出的长度，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（3分）（23-24九年级·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则．
【详解】解：∵D是边的中点，，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（3分）（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
【答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
14．（3分）（2024·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则 ．
【答案】6
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】解： 是边的中点，，
矩形，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
15．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反射定律，，设点，由，得到，得到直线的解析式，根据两直线平行k值相等，设直线的解析式为，将点代入，即可求解，
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标．
【详解】解：设点B的坐标为，过点B作轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作，垂足为E，
根据反射定律，，
∴，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入得：解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线和解析式中的k值相等，
设直线的解析式为，将点代入得：解得：，
∴直线的解析式为：，
故答案为：．
16．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ．
【答案】
【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，交于点，
由旋转和矩形的性质可得：，，，
，
设，则，
在中，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·福建南平·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．
（1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案；
（2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
【详解】（1）
；
（2）解：
．
18．（6分）（23-24九年级·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键．
（1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；
（2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
所以的长为5．
（2）解：∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
所以的正弦值为．
19．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！
【答案】理由见解析．
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切的定义，设，由第一次折叠可得，，即得，由第二次折叠可得，，进而可得，最后根据正切的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，
∴，，
∴，
∵还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，
∴，，
∴，
．
20．（8分）（23-24九年级·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明；
（2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到．
∴，，，
∴为等边三角形，为等边三角形．
∴，，
∴．
（2）解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴点A到直线的距离为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
21．（8分）（23-24九年级·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
【答案】(1)妈妈步行的速度为
(2)明明从C处到D处的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
（1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴，
∴，
答：妈妈步行的速度为；
（2）解：如图，过点C作交延长线于点E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
过点D作于点F，得矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明从C处到D处的距离约为．
22．（8分）（23-24九年级·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________．
(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________．
【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中．
(3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可；
（2）由平行线的性质可得，即有，再在中，由求解可获答案；
（3）取格点，连接，由平行线的性质可得，由图易知为等腰直角三角形，即有，由即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点，
由图可知点在格点上，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2；
（3）如下图，取格点，连接，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题．
23．（8分）（2024·北京·二模）在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
(1)如果
①如图1，DE与BE之间的数量关系是______
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)①DE=BE ②CP=BF
(2)BF-BP=2DEtanα
【分析】(1) ①利用60°的角的正切值计算即可；②利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可；
(2) 利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可．
【详解】（1）①DE与BE之间的数量关系是DE=BE．理由如下：
如图，∵，，，
∴∠B=60°，
∴tan60°=，
∴DE与BE之间的数量关系是DE=BE，
故答案为：DE=BE．
②CP、BF之间的数量关系是CP=BF．理由如下：
∵，，CD是AB边的中线，，
∴CD=AD=DB，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB=60°，
根据旋转的性质，得∠PDF=60°，DP=DF，
∵∠CDB -∠PDB=∠PDF -∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF．
（2）DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtanα．理由如下：
∵，，CD是AB边的中线，，
∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，
根据旋转的性质，得∠PDF=2α，DP=DF，
∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，
故∠CDB +∠PDB=∠PDF +∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF，
∴BF=BC+BP，
∵CD=DB，，，
∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，
∴∠EDB=α，
∴tanα=，即BE=DE tanα，
∴BC=2BE=2 DE tanα，
∴BF-BP=2DEtanα．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1章 直角三角形的边角关系单元提升卷
【北师大版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·北京·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若 ，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点C是线段的中点，，若则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（23-24九年级·湖北随州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（ ）
A．12 B．17 C．20 D．21
9．（3分）（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米
10．（3分）（2024·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，中，，点在上，，若，，则的长度为 ．
12．（3分）（23-24九年级·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ．
13．（3分）（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
14．（3分）（2024·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则 ．
15．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ．
16．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·福建南平·期末）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）（23-24九年级·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
19．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！
20．（8分）（23-24九年级·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
21．（8分）（23-24九年级·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
22．（8分）（23-24九年级·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________．
(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________．
【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中．
(3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________．
23．（8分）（2024·北京·二模）在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
(1)如果
①如图1，DE与BE之间的数量关系是______
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
