专题26.4 反比例函数与几何图形【九大题型】
【人教版】
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】 1
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】 2
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】 4
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】 5
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】 7
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】 9
【题型7 反比例函数中的定值问题】 10
【题型8 反比例函数中的存在性问题】 12
【题型9 反比例函数中的最值问题】 14
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在轴上，与此同时顶点C落在点处，则过点的反比例函数中，k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ；
【变式1-2】（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）如图，将一块直角三角板放在平面直角坐标系中，，，点在第一象限，过点的双曲线为，在轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后的像是．设，
（1）当点与点A重合时，t的值是 ；
（2）当落在双曲线上时，t的值是 ．
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边的中点D横坐标为，反比例函数的图象经过点A、D．若，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【变式2-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为 ．
【变式2-3】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．
(1)求点A的坐标及m和k的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集．
(3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围．
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】
【例3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·广西·模拟预测）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ．
【变式3-3】（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数（，）的图象经过上的两点、，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】
【例4】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为9，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式4-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴．
(1)求的值；
(2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积．
【变式4-3】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围；
(4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，在正方形中，边在轴上，，，点在反比例函数(，)的图象上，交反比例函数的图象于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G．
(1) ．
(2)求点E的坐标及四边形的面积．
(3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
【变式5-3】（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正方形在第一象限，点，，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
(1)接写出k的取值范围；
(2)当反比例函数图象与交于点E，且E是中点，连接，点F在第一象限反比例函数图象上，点X为x轴上一点，且平分，求点F的坐标．
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】
【例6】（2024·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1＝ ，b＝ ；k2＝ ；
(2)结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，ACOD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【变式6-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，梯形的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，，反比例函数 经过点A、点B，已知，若的面积为9，则k的值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求b和k的值：
(2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求、的值？
（2）直接写出时x的取值范围？
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【题型7 反比例函数中的定值问题】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求△OMN的面积；
（2）在点M的运动过程中，试证明：是一个定值．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）已知双曲线的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式7-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．
(1)如图1，当D点坐标为时．
①求的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由；
(3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示）
【变式7-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．
(1)求点P的坐标；
(2)若，求的度数；
(3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．
【题型8 反比例函数中的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由．
【变式8-1】（23-24九年级·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点．
(1)求a，b的值及反比例函数的表达式．
(2)若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标．
(3)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．
(1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式．
(2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接，求；
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
【题型9 反比例函数中的最值问题】
【例9】（2024·四川泸州·模拟预测）直线常数和双曲线的图像有且只有一个交点．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)如图，一次函数与轴交于点，点是线段上的动点，点在反比例函数图像上，且满足．
①若时，点在移动过程中，求的最小值；
②如图，设与线段的交点为，若，试求的值．
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于和，以为对角线作矩形，点C恰好在反比例函数的图象上．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接、，求的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则周长的最小值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，梯形的边在x轴的正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线于点D，交边于点E．若点C的坐标．则阴影部分面积S最小值为 ．
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上．
(1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
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【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】 1
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】 7
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】 13
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】 17
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】 23
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】 29
【题型7 反比例函数中的定值问题】 37
【题型8 反比例函数中的存在性问题】 43
【题型9 反比例函数中的最值问题】 52
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在轴上，与此同时顶点C落在点处，则过点的反比例函数中，k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明是等腰直角三角形，根据旋转角，求出点的坐标即可得到答案．
【详解】解： ，，，
，轴，
是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作轴于点，
，
，
是旋转得到，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故过点的反比例函数中，k的值为．
故选D．
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值．
【详解】解：设，其中，
由于点B是的中点，
则；
因点C在y轴上，则，
∴；
即，；
∵轴于点，点为线段的三等分点，且
∴D点的坐标为，E点坐标为，
∴，；
如图，连接，
∵点为线段的中点，
∴；
∵，
∴，
即，
整理得：，
解得：；
故答案为：．
【变式1-2】（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键．
【详解】解：设，
为直角三角形，且，
，，
设直线的解析式为，
把，代入解析式可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
的面积为，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）如图，将一块直角三角板放在平面直角坐标系中，，，点在第一象限，过点的双曲线为，在轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后的像是．设，
（1）当点与点A重合时，t的值是 ；
（2）当落在双曲线上时，t的值是 ．
【答案】 4 或
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到图形翻折变换的性质、反比例函数图象上点的坐标特点即用待定系数法求一次函数的解析式等知识．
（1）根据轴对称变换的性质得到当点与点重合时，直线垂直平分，则，由，，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，然后由点坐标为，则，，在中利用勾股定理得到，求出的值；
（2）连接，，作轴于点，由图形翻折变换的性质可知直线是线段的垂直平分线，所以，再由可知，所以，故是线段的垂直平分线，由待定系数法求出直线的解析式，故可得出直线的解析式，由此可得出点的坐标，进而可得出的值．
【详解】解：点与点重合时，直线垂直平分，如图1，
连，则，
，，
，
，
点坐标为，则，，
在中，，即，
解得，
故答案为：4；
（2）解：连接，，作轴于点，
点于点重合，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
∴，
，
是线段的垂直平分线，
设直线的解析式为，
，，
，
，即，
直线的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为：①．
，
直线的解析式为：②，
①②联立得，或，
当时，
，
，
，
，
，即；
当时，点在轴负半轴，与点关于轴对称，
，
故答案为：或．
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边的中点D横坐标为，反比例函数的图象经过点A、D．若，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键．
设，，则，，由题意知，，则，即，由反比例函数的图象经过点A、D，可得，可求，，进而可求．
【详解】解：设，，则，，
由题意知，，
∴，即，
∵反比例函数的图象经过点A、D，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标．
【详解】（1）解：，、，四边形是平行四边形，
，
，
把点代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）设点，
，，
，，
，
，
，
或．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，设，根据平行四边形面积计算公式可得，再由两点中点坐标公式得到，则，可得，据此可得答案．
【详解】解：设，
∵的面积为24，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵反比例函数图象经过点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．
(1)求点A的坐标及m和k的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集．
(3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①；②或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质：
（1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可；
（2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解；
（3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解．
【详解】（1）解：令， 则，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴设，
∵平行四边形的面积是 12，
∴，即，
∴，，即，
∵点C在直线上，
∴，
；
（2）解：①由（1） 知，
∴直线的解析式为
由（1） 知，，
∴反比例函数的解析式为 ，
联立得：，解得：或 ，
∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；
②由图可得， 当或时，反比例函数 的图象在一次函数的图象上方或两图象相交，
∴不等式 的解集为：或；
（3）解：如图所示， 当直线经过点C时， t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，
将点代入， 得：
，解得；
将点代入， 得：
，解得，
∴若直线与四边形有交点时， t的取值范围为．
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】
【例3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比例函数的中的关系是解题的关键．
根据题意设，则，，可求出反比例函数解析式，可得的纵坐标为b，根据折叠的性质可得，在直角中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解
【详解】解：根据题意，设，则，
∴，
∵点是矩形对角线的中点，
∴，且点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，即点的纵坐标为，
∴把点的纵坐标代入反比例函数解析式得，，
解得，，即，
∴，
∵沿着折叠，点与点重合，如图所示，连接，则，
在中，，
∴，且，则，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
故选：B ．
【变式3-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，首先设，表示出，再根据都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求解，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
【详解】解：设，
∵矩形，
∴，
∵为的中点，
∴也为的中点，
∵点在轴上，
∴的纵坐标为，
∴，
∵为的中点，
∴点，
∴点 ，
∵的面积为，，
∴，
∴，
解得，
故选：．
【变式3-2】（2024·广西·模拟预测）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即．
【详解】解：点坐标为，点的坐标为，
则，，
矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，
，
，
在此反比例函数图象上，
，
．
故答案为：．
【变式3-3】（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数（，）的图象经过上的两点、，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，先证明，得出，设的坐标为，即可求出点的坐标和点的坐标，由即可得出关于的等式，解出即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形为矩形，为对角线交点，
，
，
又为的平分线，
，
，
，
，
设的坐标为，
，
点的纵坐标为，
又点在反比例函数图象上，
将点的纵坐标代入反比例函数解析式得：，即，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，判定出从而得到是解题关键．
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】
【例4】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为9，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质.首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于9，解方程即可．
【详解】解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵菱形的面积为9，
∴，点D也是中点，
∴点D的坐标为，
∴，
解得，
故选：D．
【变式4-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，连接，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可得的面积，即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，连接交于点，
，四边形是菱形，
，，
，
，
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴．
(1)求的值；
(2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积．
【答案】(1)2
(2)，
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合应用、勾股定理等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
（1）首先结合点在直线上，可求得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，即可获得答案；
（2）首先解得点坐标，然后根据勾股定理求得，再结合菱形的性质求解点坐标及菱形的面积．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
即点的坐标为，
∵点是反比例函数的图像与正比例函数图像的交点，
∴，即的值是2；
（2）由题意，可得，
解得或，
经检验或是原方程的解，
∵点在第四象限，
∴，
∵点，
∴，
∵菱形是以为边，且轴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
【变式4-3】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围；
(4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)的面积为
(3)或
(4)点P的坐标为或
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式即可求解；
（3）根据图象求解即可；
（4）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入直线可得，
解得，
将代入反比例函数可得，
解得：；
∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）设与y轴相交于F，
当时，，即，
解，得
，，
∴，
∴；
（3）由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或；
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
设P点坐标为，
则，
∴，
∵，
当P在A的左侧时，，
∴，
∴，
当P在A的右侧时，，
∴，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键．
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，在正方形中，边在轴上，，，点在反比例函数(，)的图象上，交反比例函数的图象于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，由正方形的性质及和勾股定理求出边长，则可求得点的坐标，由点在反比例函数图象上，即可求得的值，从而确定函数解析式，然后求出的长，代入解析式得点的纵坐标，最后求出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴（负值已舍去），
∴，，
∵点在反比例函数，
∴，
∴反比例函数，
∴当，，
∴，
∴，
故选：．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，易证，根据全等三角形的性质，进一步证明，根据全等三角形性质，求出的值，再设正方形边长为，在中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知点坐标，即可求出的值．
【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示：
在正方形中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，在反比例函数上，
，
，
，
解得，
设正方形边长为，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得或（舍，
点坐标为，，
将点坐标代入反比例函数解析式，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与正方形的综合，涉及三角形全等，正方形的性质，勾股定理等，构造全等三角形求出的长再根据勾股定理求出正方形的边长是解题的关键，本题综合性较强．
【变式5-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G．
(1) ．
(2)求点E的坐标及四边形的面积．
(3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)8
(2)，四边形的面积为4
(3)或
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键．
（1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可；
（2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积；
（3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：8；
（2）解：∵点为边中点，，
∴，
∵，
∴反比例函数的解析式为，
∵交该函数图象于点，
∴当时，，
解得，
∴，
∴，
∵轴，轴，，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积；
（3）解：∵，
∴，
∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值．
【变式5-3】（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正方形在第一象限，点，，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
(1)接写出k的取值范围；
(2)当反比例函数图象与交于点E，且E是中点，连接，点F在第一象限反比例函数图象上，点X为x轴上一点，且平分，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质：
（1）结合正方形的性质求出点C的坐标为，然后分别求出反比例函数图象过点A和点D时k的值，即可求解；
（2）过点E作轴于点G，交于点P，过点P作于点H，根据角平分线的性质可得，证明，可得，然后求出点E的坐标为，可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到点P的坐标为，分别求出直线的解析式，反比例函数解析式，然后联立两解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点，，
∴，轴，
∴点C的坐标为，
当反比例函数图象过点A时，，
当反比例函数图象过点C时，，
∴k的取值范围为；
（2）解：如图，过点E作轴于点G，交于点P，过点P作于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，，E是中点，
∴点E的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴反比例函数解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴点F的坐标为．
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】
【例6】（2024·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1＝ ，b＝ ；k2＝ ；
(2)结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，ACOD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【答案】(1)3，9，-6
(2)﹣2＜x＜﹣1或x＞0
(3)M点的坐标为（﹣5， ）
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）设点M的坐标为（m，-），则D（m，0），C（m，3），即可得出AC=-2-m，CD=3，OD=-m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=图象交于点B（-1，6）、A，
∴k2=-1×6=-6，
∴反比例函数y=-，
把y=3代入得，3=-，
∴x=-2，
∴A（-2，3），
把A、B坐标代入y=k1x+b得，
解得，
故答案为：k1=3，b=9，k2=-6，
（2）由图象可知，k1x+b＞时x的取值范围是-2＜x＜-1或x＞0；
（3）设点M的坐标为（m，-），
∵CD⊥x轴于D，
∴D（m，0），
∵AC∥OD，A（-2，3），
∴C（m，3），
∴AC=-2-m，
∴CD=3，OD=-m，
∴S梯形AODC=（AC+OD） CD，
即12=（-2-m-m）×3，
解得m=-5，
∴M点的坐标为（-5，）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
【变式6-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，梯形的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，，反比例函数 经过点A、点B，已知，若的面积为9，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，则，所以，设，则，即点A的坐标是，利用建立方程可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
设，则，即点A的坐标是，
∵反比例函数 经过点A、点B，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故正确答案为：12．
【变式6-2】（23-24九年级·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求b和k的值：
(2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标．
【答案】(1)，6
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键．
（1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可；
（2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解；
（3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点，
∴把点代入一次函数，得：
∴
∴一次函数的解析式为：，
把点代入，得：，
解得，
∴，
把代入，得，
（2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图，
∵，故为等腰直角三角形，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点G的坐标为，
设直线的表达式为，
把代入得，，
解得，
故直线的表达式为；
（3）解：∵是梯形，
∴当时，如图，
∵，点在轴上，
∴；
当时，如图，
对于，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
综上，点的坐标为或
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求、的值？
（2）直接写出时x的取值范围？
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）k1=﹣3，k2=6；（2）1＜x＜2；（3）PC=PE，理由见解析．
【分析】（1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法即可求得k1的值；
（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，据此解答即可；
（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，进而可得结论．
【详解】解：（1）由题意：k2=1×6=6，∴反比例函数的解析式为：，
又∵B（a，3）在的图象上，∴a=2，
∴B（2，3），
∵直线过点A（1，6），B（2，3），
∴ ，解得：；
∴k1=﹣3，k2=6；
（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，x的取值范围：1＜x＜2；
（3）判断PC=PE．
理由：设点P的坐标为（m，n），
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m－2，OD=m＋2，
∴S梯形OBCD=，即，解得：m＝4，
又∵mn＝6
∴，即
∴PC=PE．
【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，解题时要注意反比例函数图象上的点的坐标特点和利用待定系数法求函数解析式的方法，此外还要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标．
【题型7 反比例函数中的定值问题】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求△OMN的面积；
（2）在点M的运动过程中，试证明：是一个定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；
②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN计算可得．
（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝，求出N（4，），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣，再代入计算可得．
【详解】(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，
∵点M是BC中点，
∴CM＝2，
则点M(2，2)，
∴反比例函数解析式为y＝；
②当x＝4时，y＝＝1，
∴N(4，1)，
则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，
∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN
＝4×2﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×1
＝3；
(2)设M(a，2)，
则k＝2a，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝4时，y＝，
∴N(4，)，
则BM＝4﹣a，BN＝2﹣，
∴＝＝＝2．
【点睛】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、割补法求三角形的面积．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）已知双曲线的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），是定值，见解析．
【分析】（1）利用待定系数法及反比例函数的性质解题；
（2）分别求出点A、B、C、D的坐标，证明AC=BD，OA=OC，OB=OD即可解题；
（3）连接OA，证明，利用轴对称的性质解题．
【详解】解：（1）双曲线的图象过点（1，2），
时，
时，；
（2）证明：A、B、C、D都是整点，
反比例函数是中心对称图形，
四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD是矩形；
（3）如图，连接OA，
反比例函数是中心对称图形，
反比例函数关于直线对称，，
关于直线对称，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，
在上，
，是定值．
【点睛】本题考查反比例函数的综合题，涉及反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、中心对称图形的性质、勾股定理、矩形的判定方法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式7-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．
(1)如图1，当D点坐标为时．
①求的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由；
(3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3；
(2)当时，；
(3)
【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；
②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论；
（2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可；
（3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可．
【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式，
；
即的值为4；
②如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，解得．
，的值为1，3；
（2）解：当时，，理由如下：
如图，过点作轴于点，
同理（1）可得，，
，，
，
，
，
若，则，
，，
，
即当时，；
（3）解：由（2）得，，又，
∴，
，，
，即，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，
，
设，，
，，
点是的中点，
；
，
，
点在上，
，整理得，
（舍）或；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．
(1)求点P的坐标；
(2)若，求的度数；
(3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，和是定值
【分析】（1）过P作轴于C，作轴于点D，于E，根据角平分线性质得，设，则，代入反比例函数解析式求得a的值即可；
（2）由等腰直角三角形的性质求出，再由角平分线的定义求得和的度数，进而由三角形外角的性质求得结果；
（3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的表达式，根据是定值求出的值和的值即可．
【详解】（1）解：过P作轴于C，作轴于点D，于E，如图1，
∵和分别是和的平分线，
∴，
设，则，
把代入得：，
∴（负值舍去），
∴；
（2）如图1，∵，，
∴，
∴，
∵和分别是和的平分线，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）把代入中，得，
∴，
把代入中，得，
∴，
把代入中，得，
∴，
当时，
∴，
当时，；
当时，
∴，
当时，，但，故此情况舍去，
综上：当时，的和是定值．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
【题型8 反比例函数中的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在．，，
【分析】（1）先求出一次函数解析式，再把代入求出m，然后再求反比例函数解析式；
（2）先求出，设，然后利用的面积为3列方程求解即可；
（3）设，然后分3种情况利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴把代入，得，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
综上可知，P点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数与几何综合等知识，数形结合是解答本题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点．
(1)求a，b的值及反比例函数的表达式．
(2)若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标．
(3)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，理由见解析，或
【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，比例系数的意义及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）分别将点A和点B代入函数解析式，得出，，将点的坐标代入反比例函数即可确定函数解析式；
（2）点在线段上，连接．结合图形得出，设点，根据图形的面积及反比例函数的意义求解即可；
（3）设点，连接．用勾股定理分别表示出，然后分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
将点代入，
得，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
，
反比例函数的表达式为．
（2）如图，点在线段上，连接．
，
．
设点，则，
，，
．
又，
，
，
点的坐标为．
（3）存在，理由如下：
如图，设点，连接．
，
，
，
．
分三种情况：
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，
．
，
此情况不成立
③当时，，
，
，
，
或．
令，得，
，
，
∴此时点与点重合，不能构成三角形，
，
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰三角形．
【变式8-2】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．
(1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式．
(2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或或
【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键．
（1）根据题意分别求出点，点和点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出点和点的坐标，若以点，，，为顶点的四边形为菱形则点在直线上，且，据此等量关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
设过点的反比例函数解析式为，
代入点坐标得，，
解得，
过点的反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
代入点和点坐标得，，
解得，
过，两点的一次函数的表达式为；
（2）存在，
设，则，
①若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且，
，
整理得，
解得或，
当时，，
此时，
即；
当时，，
此时，
即；
②若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且与互相垂直平分，
则点的纵坐标为3，且，
解得，
，
，
，
综上所述，若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为或或．
【变式8-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接，求；
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)9
(3)存在，
【分析】（1）根据得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线的交点，所以先求出直线的表达式，再将反比例函数的表达式与直线的表达式联立，即可求出点E的坐标；
（2）根据即可求出；
（3）存在，当时，四边形是平行四边形，当时，可证，此时平行四边形为矩形，利用勾股定理分别求出，即可得到矩形的周长．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点 D的纵坐标为2，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为
设直线的解析式为，
∵点A 在直线上，
∴，
解得
∴直线的解析式为
联立得
解得 或
∴，；
（2）解：由（1）可知，
∵，
；
（3）解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：
∵设，
∴，
∵，
∴，
∴四边形 是平行四边形，当 时，
∴，即或，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴此时平行四边形为矩形，
∵点M在点N 的左侧，
∴，
∴矩形周长为
【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键．
【题型9 反比例函数中的最值问题】
【例9】（2024·四川泸州·模拟预测）直线常数和双曲线的图像有且只有一个交点．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)如图，一次函数与轴交于点，点是线段上的动点，点在反比例函数图像上，且满足．
①若时，点在移动过程中，求的最小值；
②如图，设与线段的交点为，若，试求的值．
【答案】(1)
(2)①当时，的值最小，最小值为；②
【分析】（1）构建方程组根据有且只有一个交点，即，确定与的关系，再求出方程组的解即可；
（2）①如图中，作过关于的对称点，连接交于，此时，设，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；②过点作于交于，设交于利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题．
【详解】（1）解：由消去得到关于的一元二次方程，，图像有且只有一个交点，且二次项系数为，一次项系数为，常数项为，根据根的判别式得，
∴得，，
∴，即反比例函数解析式为，解方程组得到，，
∴．
（2）解：①如图所示，
作过关于的对称点，连接交于，此时，设，，
∴，则，
∴，整理得，，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为；
②如图所示，
过点作于交于，设交于，由题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于和，以为对角线作矩形，点C恰好在反比例函数的图象上．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接、，求的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则周长的最小值为 ．
【答案】(1)一次函数，反比例函数表达式
(2)
(3)+1
【分析】（1）将和代入可得k和b的值，从而得出点C的坐标，即可解决问题；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小，根据勾股定理求出的长，从而得出答案．
【详解】（1）解：将和代入得，
，
解得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数，反比例函数表达式；
（2）解：由题意知，
∴；
（3）：由题意知，
∴；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为+，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称 最短路线问题是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，梯形的边在x轴的正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线于点D，交边于点E．若点C的坐标．则阴影部分面积S最小值为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识点，由题意可得：则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把或代入可得到A点的坐标为，点E的坐标为
，再根据列出解析式，然后根据二次函数的性质即可解答；将阴影部分的面积函数解析式表示出来是解题关键．
【详解】解：∵梯形的边在x轴的正半轴上，
∴，
∵C的坐标为，
∴A点的坐标为，点E的坐标为，点E的坐标为，
∴．
当时，最小，最小值为．
故答案为：．
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上．
(1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
【答案】(1)存在，点的坐标为；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（答案不唯一）
【分析】（）由是定值，则最小即为的周长最小，利用轴对称可解决问题；
（）根据题意，提出问题即可；
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，利用轴对称的性质求最小值问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：存在；
如图，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为；
（2）解：在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为．
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