/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
第16讲 等腰三角形
等腰三角形
性质 (1)等腰三角形两腰相等(图中AB＝AC)； (2)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”，图中∠B＝∠C)； (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)； (4)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”)
等边三角形
性质 (1) 等边三角形三边相等(图中AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质； (3)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°(图中∠BAC＝∠B＝∠C＝60°)； (4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合； (5)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【夺分宝典】
1．等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．
2．“等边对等角”和“等角对等边”的前提条件是必须在同一个三角形中．
3．等腰三角形顶角、底角的取值范围：0°<顶角<180°，0°<底角<90°.
4．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰和底之分，角有底角和顶角之分．
5．遇到高线的问题要考虑高在三角形内和三角形外两种情况．
【夺分宝典】
1．三角形中有多组线段相等时，可考虑等边对等角，列方程求角度；
2．等腰三角形中有顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线中的一线时，可考虑“三线合一”；
3．等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为定值(腰上的高)，等腰三角形底边延长线上的点到两腰的距离之差为定值(腰上的高)；
如图1，则有DE＋DF＝CG；
如图2，则有DF－DE＝CG.
(一题多设问)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点．
(1)如图1，若∠BAC＝50°，∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠B的度数为65°，∠EDC的度数为15°；
(2)在△ABC中，若有两条边长分别为4和5，则△ABC的周长为13或14；
(3)若AB＝5，BC＝8，则△ABC的面积为12，AB上的高为；
4．涉及等腰三角形且图形不定时，应分类讨论，即有边时，考虑谁为腰，谁为底；有角时，考虑谁为顶角，谁为底角；有高时，考虑高在三角形内，还是高在三角形外．(4)如图2，若AD为边BC上的中线，DE⊥AC，AB＝13，BC＝10，则DE的长为；
(5)如图3，若AD平分∠BAC，DE∥AB.求证：△ADE为等腰三角形．
【自主解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE为等腰三角形．
命题点1 等腰三角形的性质与判定
1．(2022·鄂州)如图，直线l1∥l2，点C，A分别在l1，l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为( B )
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．(2022·荆州)如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是( B )
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．(2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为40°．
命题点2 等边三角形的性质与判定
4．(2020·宜昌)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48 m，则AC＝48m.
5．(2023·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE.
证明：∵BD是等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°，
∴∠E＝∠CDE，
∴CD＝CE.
6．(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证：∠E＝∠ECD；
(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，判断△BCE的形状，并说明理由．
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B.
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.
(2)解：△BCE是等边三角形．理由如下：
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD.
由(1)知∠E＝∠ECD，∴∠BCE＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
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第四章 三角形
第16讲 等腰三角形
等腰三角形
性质 (1)等腰三角形两腰相等(图中AB＝AC)； (2)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”，图中∠B＝∠C)； (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)； (4)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”)
等边三角形
性质 (1) 等边三角形三边相等(图中AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质； (3)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°(图中∠BAC＝∠B＝∠C＝60°)； (4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合； (5)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【夺分宝典】
1．等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．
2．“等边对等角”和“等角对等边”的前提条件是必须在同一个三角形中．
3．等腰三角形顶角、底角的取值范围：0°<顶角<180°，0°<底角<90°.
4．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰和底之分，角有底角和顶角之分．
5．遇到高线的问题要考虑高在三角形内和三角形外两种情况．
【夺分宝典】
1．三角形中有多组线段相等时，可考虑等边对等角，列方程求角度；
2．等腰三角形中有顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线中的一线时，可考虑“三线合一”；
3．等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为定值(腰上的高)，等腰三角形底边延长线上的点到两腰的距离之差为定值(腰上的高)；
如图1，则有DE＋DF＝CG；
如图2，则有DF－DE＝CG.
(一题多设问)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点．
(1)如图1，若∠BAC＝50°，∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠B的度数为65°，∠EDC的度数为15°；
(2)在△ABC中，若有两条边长分别为4和5，则△ABC的周长为13或14；
(3)若AB＝5，BC＝8，则△ABC的面积为12，AB上的高为；
4．涉及等腰三角形且图形不定时，应分类讨论，即有边时，考虑谁为腰，谁为底；有角时，考虑谁为顶角，谁为底角；有高时，考虑高在三角形内，还是高在三角形外．(4)如图2，若AD为边BC上的中线，DE⊥AC，AB＝13，BC＝10，则DE的长为；
(5)如图3，若AD平分∠BAC，DE∥AB.求证：△ADE为等腰三角形．
【自主解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE为等腰三角形．
命题点1 等腰三角形的性质与判定
1．(2022·鄂州)如图，直线l1∥l2，点C，A分别在l1，l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为( B )
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．(2022·荆州)如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是( B )
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．(2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为40°．
命题点2 等边三角形的性质与判定
4．(2020·宜昌)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48 m，则AC＝48m.
5．(2023·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE.
证明：∵BD是等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°，
∴∠E＝∠CDE，
∴CD＝CE.
6．(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证：∠E＝∠ECD；
(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，判断△BCE的形状，并说明理由．
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B.
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.
(2)解：△BCE是等边三角形．理由如下：
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD.
由(1)知∠E＝∠ECD，∴∠BCE＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
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第16讲 等腰三角形
考点精讲精练
第四章 三角形
知识点1 等腰三角形
相等
∠C
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)；
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等(简称“____________”)
等角对等边
知识点2 等边三角形
60°
60°
65°
15°
13或14
12
B
B
40°
48
谢谢
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