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第四章 三角形
第17讲 直角三角形
直角三角形及勾股定理
性质 (1)直角三角形的两个锐角互余(图中∠A＋∠B＝60°)； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(图中中线CD＝AB)； (3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半(图中AC＝AB)； (4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定 (1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(定义)； (2)如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； (3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形； (4)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形(且边c所对的角为直角)
面积 S＝ab＝ch(a，b为两直角边，h为斜边c上的高)
【夺分宝典】已知直角三角形的斜边中点时，常添加辅助线作斜边中线，利用“直角三角形的斜边上的中线等于斜边长的一半”进行求解．
【夺分宝典】
(1)使用勾股定理的前提必须是在直角三角形中．
(2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分情况讨论：①已知两边为直角边；②已知边中的较长边是斜边，切勿漏解．
(3)若直角三角形中出现45°角或两边相等，可利用等腰直角三角形的性质进行求解，常用到“等腰直角三角形斜边长等于倍直角边长”这一结论．
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D是斜边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，且DE⊥DF.若BE＝1，CF＝2，则EF的长为；
(2)用四个同样的含60°角的直角三角形拼成如图2所示的正方形ABCD，若正方形EFGH的边长是－1，则正方形ABCD的边长是2；
(3)如图3，△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°，F是BD上一点，延长AD至点E，使DE＝DF，连接BE，AF，延长AF交BE于点C.若BE＝5，则AF的长为5；
(4)如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点E，过点A作AD⊥BE，交BE的延长线于点D.若AD＝2，则BE的长为4．
命题点1 直角三角形的判定与性质
1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．若EF＋CH＝8，则CH的长为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，则CD与BD的数量关系是BD＝2CD.
3．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE的长为3．
4．(2022·荆州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD的长为．
命题点2 勾股定理
5．(2022·荆门)如图，数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，则可求得A，B之间的距离为( C )
A．20 B．60 C．30 D．30
6．(2022·荆门)如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来的高度为( B )
A．120 m B．60 m
C．60 m D．120 m
7．(2022·仙桃、潜江、天门联考)勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦为m2＋1．(结果用含m的式子表示)
8．(2023·恩施州)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．
9．(2023·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长为5．
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中考数学一轮复习课件
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第17讲 直角三角形
考点精讲精练
第四章 三角形
知识点 直角三角形及勾股定理
互余
中线
30°
2
5
4
B
BD＝2CD
3
C
B
m2＋1
8，6，10
5
谢谢
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第四章 三角形
第17讲 直角三角形
直角三角形及勾股定理
性质 (1)直角三角形的两个锐角互余(图中∠A＋∠B＝60°)； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(图中中线CD＝AB)； (3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半(图中AC＝AB)； (4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定 (1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(定义)； (2)如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； (3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形； (4)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形(且边c所对的角为直角)
面积 S＝ab＝ch(a，b为两直角边，h为斜边c上的高)
【夺分宝典】已知直角三角形的斜边中点时，常添加辅助线作斜边中线，利用“直角三角形的斜边上的中线等于斜边长的一半”进行求解．
【夺分宝典】
(1)使用勾股定理的前提必须是在直角三角形中．
(2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分情况讨论：①已知两边为直角边；②已知边中的较长边是斜边，切勿漏解．
(3)若直角三角形中出现45°角或两边相等，可利用等腰直角三角形的性质进行求解，常用到“等腰直角三角形斜边长等于倍直角边长”这一结论．
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D是斜边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，且DE⊥DF.若BE＝1，CF＝2，则EF的长为；
(2)用四个同样的含60°角的直角三角形拼成如图2所示的正方形ABCD，若正方形EFGH的边长是－1，则正方形ABCD的边长是2；
(3)如图3，△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°，F是BD上一点，延长AD至点E，使DE＝DF，连接BE，AF，延长AF交BE于点C.若BE＝5，则AF的长为5；
(4)如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点E，过点A作AD⊥BE，交BE的延长线于点D.若AD＝2，则BE的长为4．
命题点1 直角三角形的判定与性质
1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．若EF＋CH＝8，则CH的长为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，则CD与BD的数量关系是BD＝2CD.
3．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE的长为3．
4．(2022·荆州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD的长为．
命题点2 勾股定理
5．(2022·荆门)如图，数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，则可求得A，B之间的距离为( C )
A．20 B．60 C．30 D．30
6．(2022·荆门)如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来的高度为( B )
A．120 m B．60 m
C．60 m D．120 m
7．(2022·仙桃、潜江、天门联考)勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦为m2＋1．(结果用含m的式子表示)
8．(2023·恩施州)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．
9．(2023·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长为5．
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