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第四章 三角形
第19讲 相似三角形
比例线段及其性质
1．比例线段及其性质
概念 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
性质1 ＝ ad＝bc(abcd≠0)
性质2 ＝ ＝(bd≠0)
性质3 ＝＝…＝(bd·…·n≠0，b＋d＋…＋n≠0) ＝(等比性质)
2.黄金分割
定义 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即＝≈0.618，≈0.382
图示
3.平行线分线段成比例
基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，l3∥l4∥l5，且被直线l1，l2所截，那么＝，＝，＝
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．如图2，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝；如图3，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝
图示
相似三角形的性质与判定
概念 三个角对应相等，三条边对应成比例的三角形．相似三角形任意对应边的比叫做相似比
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方
判定 方法 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两组角分别对应相等的两个三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)三边对应成比例的两个三角形相似
【夺分宝典】相似三角形的判定思路：
(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角
(2)有一组等角，找
(3)有两组边对应成比例，找
相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比
性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
图形的位似
概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，我们就说这两个图形关于这个点位似
性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一个点； (3)位似图形对应边平行(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标比等于k或－k
【夺分宝典】
与相似三角形相关的证明与计算：
1．利用相似三角形的性质求线段的比例关系或数量关系：
(1)先看要求比值的线段或所求线段所在的三角形，确定可能的相似三角形；
(2)找出两个三角形相似的条件并证明，结合相似三角形性质求解，如果这两个三角形不相似，则可找中间比代换或作辅助线构造相似三角形求解．
在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE.
(1)如图1，若DE∥BC，AB＝6，AD＝3，AC＝4，则AE＝2，＝，＝，△ADE与△ABC的周长之比为；
(2)如图2，若∠ADE＝∠C，＝，AE＝4，则AB＝6，＝；
(3)如图3，当点E与点C重合时，若∠ACD＝∠B，AD＝6，BD＝4，则∠ADC＝∠ACB(填与之相等的角)，AC＝2；
(4)如图4，当点 D，E分别在BA，CA的延长线上时，已知∠B＝50°，∠BAC＝70°，若△ABC与△ADE相似，则∠E＝50°或60°；
2.利用相似三角形求线段的长：
通过证明包含所求线段所在的两个三角形相似，通过列比例式进行求解，或通过证明其他两个三角形相似，进而通过线段之间的等量关系进行求解．
易错提醒
如果题中只说两个三角形相似而不是“相似于(∽)”，需分类讨论，相似三角形的分类讨论实质上是相似三角形顶点对应位置的讨论．(5)如图5，已知在△ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的高，CD与BE交于点F.若BF∶CF＝3∶2，则△BDF与△CEF的周长之比为3∶2；
(6)如图6，已知AB＝BC，BE平分∠ABC，DE⊥AB.求证：BE2＝BD·BC.
【自主解答】证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，∠DBE＝∠EBC，
∴∠BEC＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°＝∠BEC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，∴BE2＝BD·BC.
命题点1 平行线分线段成比例
1．(2023·恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC，交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为( A )
A． B． C．2 D．3
2．(2022·襄阳)如图，在△ABC中，D是AC的中点，∠BAC的平分线AE交BD于点F.若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝3，则△ABC的周长为5．
命题点2 相似三角形的判定与性质
3．(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为( C )
A．1 B．
C．－1 D．＋1
4．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为边CD的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
5．(2018·恩施州)如图，在正方形ABCD中，G为边CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F.已知FG＝2，则线段AE的长为( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．(2021·随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为；若CE＝CF，则的值为．
7．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC.
(2)解：由(1)知△ABC∽△DEC，
∴＝()2＝.
又∵BC＝6，∴EC＝9.
8．(2022·仙桃、潜江、天门联考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为AB的中点，连接CE，交BD于点F，延长CE，交⊙O于点G，连接BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG；
(2)若AB＝6，求FB和EG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∴＝，
∴∠DBA＝∠G.
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，∴＝，
∴FB2＝FE·FG.
(2)解：连接OE.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝6，∠A＝90°，AD∥BC，
∴BD＝＝6，
∴OB＝BD＝3.
∵E为AB的中点，
∴OE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，
∴OE∥AD，OE＝AD＝BC，
∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，
∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴FB＝2.
由勾股定理，得EC＝＝3.
连接AG，易得AE·BE＝EG·EC，∴EG＝.
命题点3 相似三角形的应用
9．(2022·十堰)如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，那么零件的厚度x为( B )
A.0.3 cm
B．0.5 cm
C．0.7 cm
D．1 cm
10．(2019·荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．已知小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.
解：令OE＝a m，AO＝b m，CB＝x m.
由题意，易得△GDC∽△EOC，
∴＝，
即＝，
整理，得3.2＋1.6b＝2.1a－ax①.
由题意，得△FBA∽△EOA，
∴＝，即＝，
整理，得1.6b＝2a－ax②.
将②代入①，得3.2＋2a－ax＝2.1a－ax，
∴a＝32，即OE＝32 m.
答：楼的高度OE为32 m．
命题点4 位似
11．
(2023·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3.若点A(9，3)，则点A1的坐标是(3，1)．
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第19讲 相似三角形
考点精讲精练
第四章 三角形
知识点1 比例线段及其性质
1．比例线段及其性质
＝
2.黄金分割
3.平行线分线段成比例
成比例
知识点2 相似三角形的性质与判定
概念 三个角对应相等，三条边____________的三角形．相似三角形任意对应边的比叫做相似比
性质 (1)相似三角形的对应角______，对应边________；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于________；
(3)相似三角形的周长比等于相似比；
(4)相似三角形的面积比等于______________
对应成比例
相等
成比例
相似比
相似比的平方
判定 方法 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两组角分别对应______的两个三角形相似；
(3)两边对应成比例且______相等的两个三角形相似；
(4)三边对应________的两个三角形相似
相等
夹角
成比例
知识点3 相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比
性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
知识点4 图形的位似
概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，我们就说这两个图形关于这个点位似
性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一个点；
(3)位似图形对应边平行(或在一条直线上)；
(4)位似图形对应角相等；
(5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标比等于k或－k
2
6
∠ACB
50°或60°
3∶2
A
C
C
D
B
(3，1)
谢谢
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第四章 三角形
第19讲 相似三角形
比例线段及其性质
1．比例线段及其性质
概念 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
性质1 ＝ ad＝bc(abcd≠0)
性质2 ＝ ＝(bd≠0)
性质3 ＝＝…＝(bd·…·n≠0，b＋d＋…＋n≠0) ＝(等比性质)
2.黄金分割
定义 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即＝≈0.618，≈0.382
图示
3.平行线分线段成比例
基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，l3∥l4∥l5，且被直线l1，l2所截，那么＝，＝，＝
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．如图2，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝；如图3，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝
图示
相似三角形的性质与判定
概念 三个角对应相等，三条边对应成比例的三角形．相似三角形任意对应边的比叫做相似比
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方
判定 方法 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两组角分别对应相等的两个三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)三边对应成比例的两个三角形相似
【夺分宝典】相似三角形的判定思路：
(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角
(2)有一组等角，找
(3)有两组边对应成比例，找
相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比
性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
图形的位似
概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，我们就说这两个图形关于这个点位似
性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一个点； (3)位似图形对应边平行(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标比等于k或－k
【夺分宝典】
与相似三角形相关的证明与计算：
1．利用相似三角形的性质求线段的比例关系或数量关系：
(1)先看要求比值的线段或所求线段所在的三角形，确定可能的相似三角形；
(2)找出两个三角形相似的条件并证明，结合相似三角形性质求解，如果这两个三角形不相似，则可找中间比代换或作辅助线构造相似三角形求解．
在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE.
(1)如图1，若DE∥BC，AB＝6，AD＝3，AC＝4，则AE＝2，＝，＝，△ADE与△ABC的周长之比为；
(2)如图2，若∠ADE＝∠C，＝，AE＝4，则AB＝6，＝；
(3)如图3，当点E与点C重合时，若∠ACD＝∠B，AD＝6，BD＝4，则∠ADC＝∠ACB(填与之相等的角)，AC＝2；
(4)如图4，当点 D，E分别在BA，CA的延长线上时，已知∠B＝50°，∠BAC＝70°，若△ABC与△ADE相似，则∠E＝50°或60°；
2.利用相似三角形求线段的长：
通过证明包含所求线段所在的两个三角形相似，通过列比例式进行求解，或通过证明其他两个三角形相似，进而通过线段之间的等量关系进行求解．
易错提醒
如果题中只说两个三角形相似而不是“相似于(∽)”，需分类讨论，相似三角形的分类讨论实质上是相似三角形顶点对应位置的讨论．(5)如图5，已知在△ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的高，CD与BE交于点F.若BF∶CF＝3∶2，则△BDF与△CEF的周长之比为3∶2；
(6)如图6，已知AB＝BC，BE平分∠ABC，DE⊥AB.求证：BE2＝BD·BC.
【自主解答】证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，∠DBE＝∠EBC，
∴∠BEC＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°＝∠BEC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，∴BE2＝BD·BC.
命题点1 平行线分线段成比例
1．(2023·恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC，交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为( A )
A． B． C．2 D．3
2．(2022·襄阳)如图，在△ABC中，D是AC的中点，∠BAC的平分线AE交BD于点F.若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝3，则△ABC的周长为5．
命题点2 相似三角形的判定与性质
3．(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为( C )
A．1 B．
C．－1 D．＋1
4．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为边CD的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
5．(2018·恩施州)如图，在正方形ABCD中，G为边CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F.已知FG＝2，则线段AE的长为( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．(2021·随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为；若CE＝CF，则的值为．
7．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC.
(2)解：由(1)知△ABC∽△DEC，
∴＝()2＝.
又∵BC＝6，∴EC＝9.
8．(2022·仙桃、潜江、天门联考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为AB的中点，连接CE，交BD于点F，延长CE，交⊙O于点G，连接BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG；
(2)若AB＝6，求FB和EG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∴＝，
∴∠DBA＝∠G.
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，∴＝，
∴FB2＝FE·FG.
(2)解：连接OE.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝6，∠A＝90°，AD∥BC，
∴BD＝＝6，
∴OB＝BD＝3.
∵E为AB的中点，
∴OE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，
∴OE∥AD，OE＝AD＝BC，
∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，
∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴FB＝2.
由勾股定理，得EC＝＝3.
连接AG，易得AE·BE＝EG·EC，∴EG＝.
命题点3 相似三角形的应用
9．(2022·十堰)如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，那么零件的厚度x为( B )
A.0.3 cm
B．0.5 cm
C．0.7 cm
D．1 cm
10．(2019·荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．已知小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.
解：令OE＝a m，AO＝b m，CB＝x m.
由题意，易得△GDC∽△EOC，
∴＝，
即＝，
整理，得3.2＋1.6b＝2.1a－ax①.
由题意，得△FBA∽△EOA，
∴＝，即＝，
整理，得1.6b＝2a－ax②.
将②代入①，得3.2＋2a－ax＝2.1a－ax，
∴a＝32，即OE＝32 m.
答：楼的高度OE为32 m．
命题点4 位似
11．
(2023·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3.若点A(9，3)，则点A1的坐标是(3，1)．
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