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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第20讲 解直角三角形及其应用
考点精讲精练
第四章 三角形
知识点1 锐角三角函数
知识点2 解直角三角形
c2
90°
知识点3 解直角三角形的实际应用
60°
45°
B
C
2.7
D
A
13.8
51
谢谢
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刃
45.
B
水平地面
i=3:4
1
1
1
B
F
E
B
60°
450
D
北
坛
45
A
30.
60
B
30
目60A
■
B
C
B/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
第20讲 解直角三角形及其应用
锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义
正弦 ∠A的正弦：sin A＝
余弦 ∠A的余弦：cos A＝
正切 ∠A的正切：tan A＝
【夺分宝典】锐角三角函数之间的联系
sin2A＋cos2A＝1 cosA＝sin(90°－∠A) sin A＝cos(90°－∠A) tan A＝
2．特殊角的三角函数值
α 三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
解直角三角形
三边关系 a2＋b2＝c2
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90°
边角关系 sin A＝cos B＝；cos A＝sin B＝；tan A＝
解直角三角形的实际应用
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
坡度 (坡比) 坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tan α＝
方向角 一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度．如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向)
【夺分宝典】
1．求一个锐角的三角函数值，必须将这个锐角置于直角三角形中，利用锐角三角函数的意义求值．若不在直角三角形中，可以利用相等的角转化或作垂线构造直角三角形．
2．在网格图形中，求一个角的三角函数值，往往需要找到以这个角为内角的直角三角形，然后根据勾股定理，算出需要的直角三角形的边长，再根据三角函数的定义求解．
3．巧记30°，45°，60°角的三角函数值
(1)正弦、余弦值可表示为的形式，正弦的m值顺口溜为：1，2，3；余弦的m值顺口溜为：3，2，1.
(2)正切值可表示为的形式，m值的顺口溜为：3，9，27.
4．在解直角三角形的实际问题中，需要添加辅助线将其进行转化，常见的添加辅助线的类型有：①三角形作高法；②梯形作高法．
(2023·鄂州)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点F处沿水平方向步行30 m到达自动扶梯底端点A处，在点A处用仪器测得条幅下端点E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端点D，测得点A和点D的水平距离为15 m，且tan ∠DAB＝；然后他从点D又沿水平方向行走了45 m到达点C，在点C测得条幅上端点G的仰角为45°.(图上各点均在同一个平面内，且点G，C，B共线，点F，A，B共线，点G，E，F共线，CD∥AB，GF⊥FB)
(1)求自动扶梯AD的长度；
(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)
图1
【自主解答】解：(1)过点D作DH⊥AB于点H.
在Rt△ADH中，AH＝15 m，tan ∠DAB＝＝，
∴DH＝AH·tan ∠DAB＝15×＝20(m)，
图2
∴AD＝＝＝25(m).
答：自动扶梯AD的长度为25 m.
(2)过点C作CM⊥AB于点M，
∴HM＝DC＝45 m，CM＝DH＝20 m.
∵DC∥AB，
∴∠B＝∠DCG＝45°.
在Rt△CMB中，BM＝＝20(m).
∵AF＝30 m，AH＝15 m，
∴BF＝AF＋AH＋HM＋BM＝30＋15＋45＋20＝110(m).
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AF·tan 30°＝30×＝10(m).
在Rt△GFB中，GF＝BF·tan 45°＝110(m)，
∴GE＝GF－EF＝(110－10)m.
答：大型条幅GE的长度为(110－10)m.
命题点1 锐角三角形函数和解直角三角形
1．(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为( B )
A． B．
C． D．
2．(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB，交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是( C )
A． B．
C． D．3
3．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
命题点2 解直角三角形的实际应用
4．(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度为( D )
A．(15＋)m B．5 m
C．15 m D．(5＋)m
5．(2022·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为( A )
A.m(cos α－sin α)
B．m(sin α－cos α)
C．m(cos α－tan α)
D．－
6．(2023·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为13.8m.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
7．(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则黄鹤楼的高度约是51m.(参考数据：tan 63°≈2)
8．(2023·仙桃、潜江、天门联考)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
由题意，得AF⊥BC，DE＝AF.
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，
∴设AF＝3x m，则BF＝4x m.
在Rt△ABF中，AB＝＝5x m.
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin C≈20×0.31＝6.2(m)，
∴AF＝DE＝6.2 m，
∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3 m.
答：斜坡AB的长约为10.3 m．
9．(2022·恩施州)如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50 m到达点D，测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C.
设AC＝x m．∵AD＝50 m，
∴CD＝AC＋AD＝(x＋50)m.
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC·tan ∠CAB＝x m.
在Rt△BCD中，∠D＝45°，
∴tan D＝＝1，∴BC＝CD，
即x＝x＋50，解得x＝25＋25，
∴AC＝(25＋25)m，
∴AB＝＝≈137(m).
答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137 m．
10．(2023·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10 m，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，点B，C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离；
(2)求该建筑物的高度AB.
解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∴∠DEC＝90°.
∵α＝30°，
∴DE＝CD＝5 m.
答：点D到地面BC的距离为5 m.
(2)过点D作DF⊥AB于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝5 m，DF＝BE.
在Rt△CDE中，CE＝＝5 m.
设BC＝x m，则DF＝BE＝(5＋x)m.
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan ∠ACB＝＝＝，
解得AB＝x，
∴AF＝AB－BF＝(x－5)m.
在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，
∴tan ∠ADF＝＝＝，
解得x＝5.
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴AB＝x＝×5＝15(m).
答：该建筑物的高度AB为15 m．
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第四章 三角形
第20讲 解直角三角形及其应用
锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义
正弦 ∠A的正弦：sin A＝
余弦 ∠A的余弦：cos A＝
正切 ∠A的正切：tan A＝
【夺分宝典】锐角三角函数之间的联系
sin2A＋cos2A＝1 cosA＝sin(90°－∠A) sin A＝cos(90°－∠A) tan A＝
2．特殊角的三角函数值
α 三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
解直角三角形
三边关系 a2＋b2＝c2
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90°
边角关系 sin A＝cos B＝；cos A＝sin B＝；tan A＝
解直角三角形的实际应用
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
坡度 (坡比) 坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tan α＝
方向角 一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度．如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向)
【夺分宝典】
1．求一个锐角的三角函数值，必须将这个锐角置于直角三角形中，利用锐角三角函数的意义求值．若不在直角三角形中，可以利用相等的角转化或作垂线构造直角三角形．
2．在网格图形中，求一个角的三角函数值，往往需要找到以这个角为内角的直角三角形，然后根据勾股定理，算出需要的直角三角形的边长，再根据三角函数的定义求解．
3．巧记30°，45°，60°角的三角函数值
(1)正弦、余弦值可表示为的形式，正弦的m值顺口溜为：1，2，3；余弦的m值顺口溜为：3，2，1.
(2)正切值可表示为的形式，m值的顺口溜为：3，9，27.
4．在解直角三角形的实际问题中，需要添加辅助线将其进行转化，常见的添加辅助线的类型有：①三角形作高法；②梯形作高法．
(2023·鄂州)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点F处沿水平方向步行30 m到达自动扶梯底端点A处，在点A处用仪器测得条幅下端点E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端点D，测得点A和点D的水平距离为15 m，且tan ∠DAB＝；然后他从点D又沿水平方向行走了45 m到达点C，在点C测得条幅上端点G的仰角为45°.(图上各点均在同一个平面内，且点G，C，B共线，点F，A，B共线，点G，E，F共线，CD∥AB，GF⊥FB)
(1)求自动扶梯AD的长度；
(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)
图1
【自主解答】解：(1)过点D作DH⊥AB于点H.
在Rt△ADH中，AH＝15 m，tan ∠DAB＝＝，
∴DH＝AH·tan ∠DAB＝15×＝20(m)，
图2
∴AD＝＝＝25(m).
答：自动扶梯AD的长度为25 m.
(2)过点C作CM⊥AB于点M，
∴HM＝DC＝45 m，CM＝DH＝20 m.
∵DC∥AB，
∴∠B＝∠DCG＝45°.
在Rt△CMB中，BM＝＝20(m).
∵AF＝30 m，AH＝15 m，
∴BF＝AF＋AH＋HM＋BM＝30＋15＋45＋20＝110(m).
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AF·tan 30°＝30×＝10(m).
在Rt△GFB中，GF＝BF·tan 45°＝110(m)，
∴GE＝GF－EF＝(110－10)m.
答：大型条幅GE的长度为(110－10)m.
命题点1 锐角三角形函数和解直角三角形
1．(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为( B )
A． B．
C． D．
2．(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB，交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是( C )
A． B．
C． D．3
3．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
命题点2 解直角三角形的实际应用
4．(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度为( D )
A．(15＋)m B．5 m
C．15 m D．(5＋)m
5．(2022·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为( A )
A.m(cos α－sin α)
B．m(sin α－cos α)
C．m(cos α－tan α)
D．－
6．(2023·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为13.8m.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
7．(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则黄鹤楼的高度约是51m.(参考数据：tan 63°≈2)
8．(2023·仙桃、潜江、天门联考)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
由题意，得AF⊥BC，DE＝AF.
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，
∴设AF＝3x m，则BF＝4x m.
在Rt△ABF中，AB＝＝5x m.
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin C≈20×0.31＝6.2(m)，
∴AF＝DE＝6.2 m，
∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3 m.
答：斜坡AB的长约为10.3 m．
9．(2022·恩施州)如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50 m到达点D，测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C.
设AC＝x m．∵AD＝50 m，
∴CD＝AC＋AD＝(x＋50)m.
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC·tan ∠CAB＝x m.
在Rt△BCD中，∠D＝45°，
∴tan D＝＝1，∴BC＝CD，
即x＝x＋50，解得x＝25＋25，
∴AC＝(25＋25)m，
∴AB＝＝≈137(m).
答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137 m．
10．(2023·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10 m，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，点B，C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离；
(2)求该建筑物的高度AB.
解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∴∠DEC＝90°.
∵α＝30°，
∴DE＝CD＝5 m.
答：点D到地面BC的距离为5 m.
(2)过点D作DF⊥AB于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝5 m，DF＝BE.
在Rt△CDE中，CE＝＝5 m.
设BC＝x m，则DF＝BE＝(5＋x)m.
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan ∠ACB＝＝＝，
解得AB＝x，
∴AF＝AB－BF＝(x－5)m.
在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，
∴tan ∠ADF＝＝＝，
解得x＝5.
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴AB＝x＝×5＝15(m).
答：该建筑物的高度AB为15 m．
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